Обучение школьников приемам решения текстовых арифметических задач

    При обучении  анализу или синтезу следует  тщательно  подбирать  задания,  поскольку в каждом из них  необходимо обоснование  конкретного   метода.  

 ____________________________________________________________

cherkasov_metodika_prepodovaniya_matematiki

Ю.М. Колягин, В.А. Оганесян Методика преподавания математики в средней  школе – М. 1975

   Анализ и синтез  при решении текстовых задач. 

Текстовыми задачами здесь названы математические задачи, в  которых  входная  информация  содержит  не только математические данные, но еще и некоторый сюжет

(фабулу задачи).

   При решении текстовых  задач с помощью аппарата  арифметики  роль  анализа сводится  к  составлению  плана  решения,  задача  же  чаще  всего  решается синтетическим методом.

   Пример: Два самолета  с реактивными двигателями   одновременно  вылетели  с двух аэродромов навстречу друг другу. Расстояние между  аэродромами  1870км.

Через сколько часов они  встретятся, если один из них в  2/5  часа  пролетает

360км, а скорость второго  составляет 8/9 скорости первого.

   Главная трудность  при решении данной  задачи  это  составление  плана   её

решения разбиение условия  на  отдельные  этапы.  Для  этого  нужен  глубокий анализ условия. Само решение отдельных задач трудности уже  не  вызывает  но бывает трудно свести решения этих задач к ответу на основной вопрос задачи.

   Решение:

   1.Какова скорость  первого самолета?

   360:2/5 = 900км/ч

   2.Какова скорость  второго самолета?

   900•8/9 =  800км/ч

   3.На сколько самолеты  сближаются в течение часа?

   900+800 = 1700км

   4.Через сколько  часов после вылета самолеты  встретятся?

   1870:1700 = 1.1 часа

  

Задача 2.   Большая комната  имеет длину м и ширину

4 м, а меньшая — длину  4 м и ширину На сколько площадь одной из них больше площади другой?

Анализ. Чтобы ответить на вопрос задачи, надо вычислить разность площадей комнат, а для этого надо знать площадь каждой комнаты. Площадь  же комнаты равна произведению ее длины и ширины. План задачи: найти площадь каждой из комнат и из большей вычесть меньшую.

Синтез.   1-й способ.  1) Какова площадь большей комнаты?

2)   Какова площадь  меньшей комнаты?

3)  На сколько площадь  первой комнаты больше площади  второй комнаты?

2-й способ.   Площадь   большей   комнаты  площадь меньшей их разность (составили    выражение,    затем   вычислили   его значение).

Очевидно, 2-й способ синтетического решения более удобен, так как  применение распределительного закона умножения (по отношению к сложению) значительно упрощает вычисления. . При решении текстовых задач алгебры (это обычно задачи на составление уравнений, их систем, неравенств и их систем, систем уравнений и неравенств) применением только анализа или только синтеза практически обойтись не удается. Дело в том, что при составлении уравнения (системы уравнений, неравенства и т. д.) чаще всего идут от искомых (введенное переменное) к данным, т. е. применяют анализ. Решение уравнения (системы уравнений и др.) выполняется методом синтеза.

3 а д а ч а 3. Теплоход  прошел за 15 ч движения против  течения такое же расстояние, какое он проходит за 13 ч движения  по течению реки. Найдите скорость  течения реки, если собственная  скорость теплохода 70 км/ч.

Анализ. Для вычисления скорости течения реки достаточно знать собственную  скорость теплохода (70 км/ч) и скорость движения его по течению или против течения реки. Если скорость течения  реки v км/ч, то скорость движения по течению (70 + v) км/ч, а против течения (70 — v) км/ч. Выразив с учетом времени движения пройден Ное теплоходом расстояние, составим уравнение, т. е. придем к данным задачи —равенству расстояний, пройденных при движении по течению и против него.

Аналогично применяются  анализ и синтез при решении текстовых задач начал анализа (к ним можно отнести текстовые задачи на отыскание наибольших и наименьших значений, на составление и решение дифференциальных уравнений и др.).

 

 

1.3  Метод моделирования.

      Для моделирования  привлекаются различные математические  объекты: числовые формулы, числовые  таблицы, буквенные формулы, функции,  уравнения алгебраические или  дифференциальные и их системы,  неравенства, системы неравенств (а также неравенств и уравнений), ряды, геометрические фигуры, разнообразные  графосхемы, диаграммы Венна, графы  и т. д. 

Математическое моделирование  находит применение при решении ' многих текстовых (сюжетных) задач. Уже  уравнение, составленное по условию  текстовой задачи, является ее алгебраической (аналитической) моделью.

Но нередко решению  задачи помогает и предметная ее модель (например, объемная геометрическая фигура, модель с использованием или изображением предметов и объектов, заданных в  задаче, и др.).

Пример 3. Если каждому ученику в  классе раздать по 2 конфеты, то 17 конфет останется. Если же раздать по 3 конфеты, то двум ученикам конфет не достанется. Сколько имеется конфет и сколько учеников в классе?

Эту задачу можно решать, составляя систему двух линейных уравнений (начиная с VI класса). Но эту же задачу могут решить ученики начальной школы, если составить ее предметную модель (рис.  37).

На модели видно: чтобы первые ученики, имеющие по 2 конфеты, получили по 3 конфеты, надо раздать 17 оставшихся конфет и еще 4 конфеты (двум ученикам конфет не хватило), т. е. раздать дополнительно 21 конфету. Следовательно, в классе 23 ученика, а конфет было 21 • 3 = 63. Особую роль в курсе математики средней   школы   играет графическое моделирование: математическими моделями служат диаграммы, графики функций, графические интерпретации уравнений, неравенств, графы и т. д. Графическая модель очень часто позволяет найти путь решения задачи.

Пример 4. Артели косцов надо было скосить два луга, один вдвое более другого. Половину дня вся артель косила большой луг. После полудня половина артели осталась на большом лугу и к вечеру докосила его до конца. Вторая половина косила малый луг, на котором к вечеру остался участок, скошенный на другой день одним косцом, проработавшим целый день. Сколько было косцов в артели? Предполагается, что полдень делит рабочий день на две равные части, а производительность всех косцов одинакова.

Решение. Обозначим число  косцов х. Условие задачи изображено на диаграмме (рис. 38). С помощью этой диаграммы легко составляется уравнение 0,5x + 2 = 0,5 • 1,5х, откуда х = 8.

 

1.4  Метод исчерпывающих  проб.

метод исчерпывающих проб, основой которого является выявление  всех логических возможностей и отбор  из них таких, которые удовлетворяют  условию задачи. Если логических возможностей, соответствующих условию задачи, — конечное число, то может оказаться возможным перебрать все их и в ходе этого перебора выделить вполне удовлетворяющие условию. С помощью этого приема решаются, в частности, некоторые элементарные задачи теоретико-числового содержания.

Пример 1. Найдите все четырехзначные числа, удовлетворяющие двум условиям: сумма цифр числа равна 11, само число делится на 11.

Решение.   Пусть искомое  число Можно составить систему уравнений:

 

Второе уравнение, этой системы  выражает делимость искомого числа  на 11. Суммируя уравнения системы, получим  уравнение 2 (а + с) = = 11 (k + 1),   в   котором Действительно,   разность

в левой части второго  уравнения не может быть меньше —11 и больше 11 (сумма цифр равна 11). Применяем метод исчерпывающих проб:

 что   противоречит   условию   (число четырехзначное,   чего   не   может быть: левая часть делится,  а правая — не делится на 2. k = 1 2(а+ с) ₂₂ а + с = 11,  b = 0, d = 0,  значения и   с находятся опять методом исчерпывающих проб и могут быть представлены в таблице

Методом исчерпывающих проб с большим успехом можно пользоваться и для решения многих логических задач.

 

1.5 Метод сведения

Метод сведения находит постоянные применения при решении текстовых  задач арифметическими способами. Суть дела здесь состоит в том, что данная задача сводится к простым  задачам.

Все арифметические задачи по числу  действий, выполняемых для их решения, делятся на простые и составные. Задача, для решения которой надо выполнить один раз арифметическое действие, называется простой. Задача, для решения которой надо выполнить несколько действий называется составной.

Простые задачи в системе обучения математике играют чрезвычайно важную роль. С помощью решения простых  задач формируется одно из центральных  понятий начального курса математики – понятие об арифметических действиях  и ряд других понятий. Умение решать простые задачи является подготовительной ступенью овладения учащимися умением  решать составные задачи, так как  решение составной задачи сводится к решению ряда простых задач. При решении простых задач  происходит первое знакомство с задачей  и её составными частями.

В связи с решением простых задач  дети овладевают основными приемами работы над задачей.

На первом этапе знакомства детей  с простой задачей перед учителем возникает одновременно несколько  довольно сложных проблем:

1. Нужно, чтобы в сознание детей вошли и укрепились вторичные сигналы к определенным понятиям, связанным с задачей.
2. Выработать умение видеть в задаче данные числа и искомое число.
3. Научить сознательно выбирать действия и определять компоненты этих действий. Разрешение указанных проблем нельзя расположить в определенной последовательности. В занятиях с детьми довольно часто приходится добиваться результатов не одного за другим, а идти к достижению нескольких целей одновременно, постепенно развивая и расширяя достигнутые успехи в нескольких направлениях.

При знакомстве с задачами и их решением нельзя избежать специфических  терминов, но дети должны их понимать, чтобы осознавать смысл задачи. Работа с детьми по усвоению ими терминологии начинается с первых дней занятий  в школе и ведётся систематически на протяжении всех лет обучения.

Составная задача включает в себя ряд простых задач, связанных  между собой так, что искомые  одних простых задач служат данными  других. Решение составной задачи сводится к расчленению её на ряд  простых задач и к последовательному  их решению. Таким образом, для решения  составной задачи надо установить систему  связей между данными и искомым, в соответствии с которой выбрать, а затем выполнить арифметические действия.

Рассмотрим в качестве примера  задачу: «В школе дежурили 8 девочек, а мальчиков на 2 больше. Сколько  детей дежурило в школе?».

Эта задача включает 2 простых:

1. В школе дежурили 8 девочек, а мальчиков на 2 больше. Сколько мальчиков дежурило в школе?
2. В школе дежурили 8 девочек и 10 мальчиков. Сколько всего детей дежурило в школе?

Как видим, число, которое было искомым  в первой задаче, стало данным во второй.

Последовательное решение этих задач является решением составной  задачи:  1) 8 + 2 = 10;  2) 8 + 10 = 18.

Запись решения составной задачи с помощью составления по ней  выражения позволяет сосредоточить  внимание учащихся на логической стороне  работы над задачей, видеть ход решения  её в целом. В то же время дети учатся записывать план решения задачи и экономить время.

Запись решения многих составных  задач и составление по ним  выражения связаны с использованием скобок. Скобки – математический знак, употребляемый для порядка действий. В скобки заключается то действие, которое нужно выполнить раньше.

В решении составной задачи появилось  существенно новое сравнительно с решением простой задачи: здесь  устанавливается не одна связь, а  несколько, в соответствии с которым  вырабатываются арифметические действия. Поэтому проводится специальная  работа по ознакомлению детей с составной  задачей, а также по формированию у них умений решать составные  задачи.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава III ОБУЧЕНИЕ ШКОЛЬНИКОВ  ПРИЕМАМ РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

3.1 Решение задач на  совместное движение

 

Начиная с 5-го класса, ученики  часто встречаются с этими  задачами. Еще в начальной школе  учащимся дается понятие «общей скорости». В результате у них формируются  не совсем правильные представления  о скорости сближения и скорости удаления (данной терминологии в начальной  школе нет). Чаще всего, решая задачу, учащиеся находят сумму. Начинать решать эти задачи лучше всего с введения понятий: «скорость сближения», «скорость  удаления». Для наглядности можно  использовать движение рук, объясняя, что тела могут двигаться в  одном направлении и в разном. В обоих случаях может быть и скорость сближения и скорость удаления, но в разных случаях они  находятся по-разному. После этого  ученики записывают следующую таблицу: