Принятие решений в условиях риска

 

Процесс решения статистической игры отличается от решения обычной матричной игры, где оба игрока ведут игру сознательно. Отличие состоит, прежде всего, в упрощении игры: выявление дублирующих и доминируемых стратегий производится только для стратегий статистика . Отбрасывать те или иные состояния природы (стратегии игрока П) нельзя, так как она может реализовать любое состояние независимо от того, выгодно оно статистику или нет. Природа может реализовать состояния, заведомо выгодные статистику, и, более того, не имеет умысла навредить статистику.

 

Понятие риска статистика

Если природа реализует состояние , о котором статистику заранее неизвестно, то его реальные выигрыши при применении каждой стратегии составят соответственно (элементы -го столбца платежной матрицы).

Величина - максимально возможный выигрыш игрока при применении стратегии и состоянии природы . Величина - это наибольший элемент -го столбца платежной матрицы.

• Риском статистика, применяющего стратегию в условиях состояния природы , называется число, равно разности между максимально возможным выигрышем при состоянии природы и реальным выигрышем :             .    (1)

Таким образом, риск игрока есть упущенная возможность максимального выигрыша при определенном состоянии природы.

Пример 1. Известна платежная матрица статистической игры: . Составить матрицу рисков.

Решение

Найдем наибольший элемент в каждом столбце платежной матрицы:

; ; .

Вычислим риски статистика для элементов каждого столбца.

, .

, .

, .

Процесс нахождения рисков представим в виде преобразования таблиц.

 

      Таблица 3 – Платежная  матрица      Таблица 4 – Матрица рисков

	2	-1	0			3-2=1	4-(-1)=5	3-0=3
	3	4	3			3-3=0	4 - 4=0	3-3=0
	3	4	3

 

Анализируя матрицу рисков, заметим, что:

1) при состоянии природы  статистик будет более всего рисковать, применяя стратегию , т.к. элемент риск =3 - наибольший в первом столбце;

2) при состоянии природы  статистик будет более всего рисковать, применяя стратегию , т.к. элемент 5 наибольший во втором столбце;

3) больший риск статистик будет  иметь, если при состоянии природы  будет применять стратегию , т.к. элемент 5 наибольший в третьем столбце.

 

 

3. Критерии принятия решения при известных вероятностях состояний природы (Байеса, Лапласа)

 

Критерии принятия оптимальных управленческих решений в статистических играх формулируются на основе здравого смысла, интуиции и практической целесообразности. Они помогают оценить принимаемое решение с различных позиций и избежать ошибок в экономической ситуации.

Существуют две группы критериев – использующие и не использующие априорные вероятности состояний природы.

Если вероятности состояний природы известны, то для нахождения оптимального управленческого решения ЛПР применяют критерии Байеса и Лапласа, которые используют понятие среднего значения выигрыша и среднего значения риска статистика.

Применяют следующие варианты выбора наилучших решений:

1. Известны вероятности состояния внешней среды. Тогда лучим решением является то, при котором среднее ожидаемое значение выигрыша максимально. Оно определяется как сумма произведений выигрышей на соответствующие вероятности различных вариантов.

2. Вероятности возможных поведений внешней среды неизвестны, но имеются сведения об их относительных величинах. В этом случае делается допущение об одинаковой вероятности появления различных событий, и поступают, как в первом варианте, либо вероятности наступления событий устанавливают на основе оценок экспертов.

В зависимости от этого, последствия решений можно оценить через систему критериев, предусматривающих различную степень риска.

 

 

3.1. Критерий Байеса (максимизации среднего выигрыша)

 

• Показатель оптимальности стратегии - величина среднего выигрыша.

За оптимальную стратегию принимается чистая стратегия , при которой максимизируется средний выигрыш статистика

.    (4)

 

• Показатель оптимальности стратегии - величина среднего риска.

За оптимальную стратегию принимается чистая стратегия , при которой минимизируется средний риск

.    (5)

 

Байесовское решение является оптимальным не в каждом отдельном случае, а в среднем. Такого рода оптимальность реально может проявить себя лишь при многократном проведении операции, когда среднее значение постепенно стабилизируется.

Применение критерия Байеса оправданно, если ситуация, в которой принимается решение, характеризуется признаками:

• вероятности состояний природы известны и не зависят от времени;
• решение реализуется большое (теоретически бесконечное) число раз.

 

Пример 2. Фирма купила станок за 100 ден. ед.  Для его ремонта можно купить специальное оборудование за 50 ед. или обойтись старым оборудованием. Если станок выходит из строя, его ремонт с помощью спецоборудования обходится в 10 ед., без спецоборудования - в 40 ед.

Известно, что в течение срока эксплуатации станок выходит из строя не более трех раз: вероятность того, что станок не сломается - 0,3;  сломается 1 раз - 0,4; сломается 2 раза - 0,2;  сломается 3 раза - 0,1.

Требуется определить целесообразность приобретения специализированного ремонтного оборудования.

Формализация. Первый игрок имеет две чистые стратегии: покупать и не покупать специализированное ремонтное оборудование. У природы - второго игрока - четыре состояния: станок не выйдет из строя, выйдет один раз, сломается два раза и три раза. Функция выигрыша - затраты фирмы на покупку и ремонт станка, задается платежной матрицей:

 

	Выход станка из строя
Ремонтное оборудование	ни разу	1 раз	2 раза	3 раза
не купить	-100	-140	-180	-220
купить	-150	-160	-170	-180

 

Решение.

Рассмотрим сначала эту задачу как антагонистическую игру.

В матрице методом минимакса находим седловую точку: (2,4), таким образом,  x* = ( 0, 1 ),  y* = ( 0, 0, 0, 1 ), цена игры v* = - 180 ден. ед.

Ответ: нужно купить специализированное оборудование.

 

Однако в играх с природой положение коренным образом меняется: уже в условии заложена устойчивая смешанная стратегия природы: у = (0,3; 0,4; 0,2; 0,1) и мы знаем, что именно этой стратегии придерживается природа. Запишем эти вероятности внизу платежной матрицы.

	Выход станка из строя
Ремонтное оборудование	ни разу	1 раз	2 раза	3 раза
не купить	-100	-140	-180	-220
купить	-150	-160	-170	-180

Вероятности           0,3                0,4            0,2               0,1

 

Если же человек - первый игрок - будет продолжать играть оптимально (применит вторую стратегию «купить»), то его выигрыш составит

v(x*) = - 150 0,3 - 160 0,4 - 170 0,2 - 180 0,1 = - 161;

а если применит первую, неоптимальную стратегию, то математическое ожидание его выигрыша составит

v(x') = - 100  0,3 - 140  0,4 - 180 0,2 - 220  0,1 = - 144 .

Таким образом, первому игроку выгодно играть неоптимально!

Ответ: не покупать специализированное оборудование.

 

Существенное различие между значениями v(x*) и v(x') объясняется тем, что смешанная стратегия природы неоптимальна и она, "отклоняясь" от своей оптимальной стратегии, «недополучает» 36 ден. единиц выигрыша.

 

 

 

 

 

 

 

3.2. Критерий Лапласа  недостаточного основания – «ориентируйся на среднее»

 

Если состояния природы в равной мере правдоподобны, то их полагают равновероятными, т.е. .

• Показатель оптимальности стратегии - величина среднего выигрыша.

Оптимальной считается чистая стратегия , обеспечивающая максимум среднего выигрыша при одинаковых априорных вероятностях:

.   (6)

Применение критерия Лапласа оправданно, если ситуация, в которой принимается решение, характеризуется признаками:

• вероятности состояний природы неизвестны, не зависят от времени и равны;
• решение реализуется большое (теоретически бесконечное) число раз;
• для небольшого числа реализаций допускается некоторый неоцениваемый риск.

Пример 3. Найти оптимальное решение статистической игры, заданной платежной матрицей , применяя критерий Лапласа, считая, что состояния природы равновозможны, т.е. .

Решение

Найдем средние выигрыши статистика :

Найдем наибольший средний выигрыш: .

Значит, по критерию Лапласа оптимальной стратегией статистика, который считает состояния природы равновозможными, будет чистая стратегия .

Гипотеза о равновероятности состояний природы является довольно искусственной, поэтому принципом Лапласа можно пользоваться лишь в ограниченных случаях. В более общем случае следует считать, что состояния природы не равновероятны и использовать для решения критерий Байеса-Лапласа.

 

 

 

 

 

Список использованных источников

 

1. Цыгичко В.Н. Руководителю - о принятии решений.-М.:ИНФРА-М,2006 г.

2. Стратегический менеджмент, под  ред Верховской О. ; 2006

3. Гинзбург А. И., Экономический  анализ. Предметы и методы. Комплексный  и локальный анализы. Оценка управленческих  решений, Питер, 2007 г.

4. Ларичев О. И. Теория и методы  принятия решений; М: «Логос», 2000 г.

5. Соболь И. М., Статников Р. Б., Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями; М: «Наука», 2000 г.

6. Менеджмент, Юрайт, под ред Томилова В.В; 2003

7. Трофимова Л.А., Трофимов В.В. Информационные  технологии менеджмента//Актуальные  вопросы менеджмента: Сб. трудов  ФМ СПбГУ – СПб.: Изд-во «Недра», 1998.

8. Коротков Э.М. Концепция менеджмента. – М.: ДЕКА, 1996.

9. Глущенко В. В., Глущенко И.И. Разработка  управленческого решения. Прогнозирование  и планирование. Теория проектирования  экспериментов. – г. Железнодорожный Моск. Обл.: ТОО НЦП «Крылья», 1997.

10. Вертакова Ю.В., Козьева И.А., Кузьбожев Э.Н., Управленческие решения: разработка и выбор. - М.: КНОРУС, 2005 г.

11. Голубков Е.П. Какое принять решение? – М.: Экономика, 1990 г.

12. Ларичев О. И. Наука и искусство  принятия решений; М: «Наука», 1998 г.