Интерполяционные кубические сплайны

 

Мы так  же сразу можем найти ΔF(x_i), так как в дальнейших вычислениях эти данные нам пригодятся. ΔF(x_i) находится по формуле:

 

И найдем шаг сетки h. Шаг находится по формуле:

 

Запишем систему для внутренних узлов:

 

 

Так как  h = const, для нахождения значения выбираются формулы:

 

 

Подставляем в эти формулы данные с таблицы, и получаем следующие значения , .

 

 

 

 

 

Получается  система:

 

 

 

 

Далее эту  систему мы будем решать методом  прогонки (см. п. 1.2).

По методу прогонки нам надо вычислить:

; ; по формулам :

;  , где .

Найденные значения P: P₁= 0; Р₂ = -0,25; Р₃ = -0,2667.

Найденные значения Q: Q₁ = 1.00169; Q₂ = 0.349578; Q₃= 1.193179; Q₄= 1.208.

Для получения  нужных значений для нахождения сплайна  используем обратный ход, по формулам:

 

.

Получаем  значения:  M₁ = 1.00169; M₂ = 0.131816; M₃ = 0.871046; M₄ = 1.208.

Все значения нам известны. Можно приступить к  нахождения сплайна.

 

 

Для нахождения сплайна нам понадобится формула:

Где  h_i+1 =  x_i+1- x_i,  Δf_i  = f_i+1 - f_i , Δm_i = m_i+1 – m_i, i=0,1,2,3.

 

 

 Нам  нужно найти значение сплайна  в двух точках Х₁= 0,06 и Х₂ = 0,11. Чтобы знать в какой из сплайнов подставлять Х, надо подставить в промежутки. Х₁ подходит для второго уравнения, Х₂ подходит для третьего. Подставляя Х мы находим значение сплайна в нужном Х.

Подставив 0,06 во второй сплайн, а 0,11в третий сплайн, нашли значение сплайнов, и они  равны:

S_3,1(0.06) = 0.120318, S_3,2 (0.11) = 0.221774

 

 

 

2. Неравномерная сетка.

Пусть дана неравномерная сетка, со значениями функции в точках Х.

I	Xi	F(Xi)	Δ F(Xi)	Hi
0	0.1	1.1052	0.0566	0.05
1	0.15	1.1618	0.0474	0.04
2	0.19	1.2092	0.0748	0.06
3	0.25	1.284

 

Δ F(X_i) = F(X_i+1) - F(X_i), h_i = h_i+1 – h_i , i=0,1,2,3.

Запишем систему для внутренних узлов:

 

 

Так как  h = var , для нахождения значения выбираются формулы:

 

 

 

Получается  система из 4х уравнений, подставим известные нам значения:

 

 

 

 

 

 

Эту систему  можно решить методом Гаусса:

20	-45	25	0	0
0,00833333	0,03	0,006667	0	0,053
0	0,006667	0,033333	0,01	0,061667
0	25	-8,33333	16,66667	0

 

1	-2,25	1,25	0	0
0	0,04875	-0,00375	0	0,053
0	0,006667	0,033333	0,01	0,061667
0	25	-8,33333	16,66667	0

 

1	-2,25	1,25	0	0
0	1	-0,07692	0	1,087179
0	0	0,033846	0,01	0,054419
0	0	-6,41026	16,66667	-27,1795

 

1	-2,25	1,25	0	0
0	1	-0,07692	0	1,087179
0	0	1	0,295455	1,607828
0	0	0	18,56061	-16,8729

 

1	-2,25	1,25	0	0
0	1	-0,07692	0	1,087179
0	0	1	0,295455	1,607828
0	0	0	1	-0,90907

 

По обратному  ходу найдем искомые M_i :

M₁ = 0.425397; M₂ = 1.231519; M₃ = 1.876417; M₄ = -0.90907;

НайдемΔM_i= M_i+1 – M_i . M₁ = 0.806122; M₂ = 0.644898; M₃ = -2.78549.

Все значения нам известны. Можно приступить к  нахождения сплайна.

Для нахождения сплайна нам понадобится формула:

Где  h_i+1 =  x_i+1- x_i,  Δf_i  = f_i+1 - f_i , Δm_i = m_i+1 – m_i , i=0,1,2,3.

 

 

 

 

 

Нам нужно  найти значение сплайна в двух точках Х₁= 0,2 и Х₂ = 0,17. Чтобы знать в какой из сплайнов подставлять Х, надо подставить в промежутки. Х₁ подходит для второго уравнения, Х₂ подходит для третьего. Подставляя Х мы находим значение сплайна в нужном Х.

Подставив 0,17 во второй сплайн, а 0,2в третий сплайн, нашли значение сплайнов, и они  равны:

S_3,1(0.17) = 1.185168, S_3,2 (0.2) = 1.221476.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.5 Блок-схема программной  реализации сплайн интерполяции.

 

 

 

 

 

Да                                                                           Нет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение.

В результате выполнения курсовой работы был изучен теоретический материал по интерполированию кубическими сплайнами  и решен кубический сплайн при  помощи равномерной и неравномерной  сетки, а также полученные знания были закреплен при разработке программного продукта.

В процессе  создания курсового  проекта данный  метод  были рассмотрен в трех математических  пакетах: в C++ , MathCAD’e и Excel.

За время курсового проектирования был закреплен и усвоен материал. Курсовой проект позволяет продемонстрировать знания, полученные при изучении курса  программирования и вычислительной математики. Выполнение курсового проекта  требует творческого подхода  и применения дополнительных знаний.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

1. В.И. Киреев А.В. Пантелеев Численные методы в примерах и задачах.

Москва. «Высшая школа» 2008.

2. Б.И. Квасов Методы Изогеометрическойапроксимации сплайнами. Москва. «Физматлит» 2006.

3. Положение о  курсовой работе. /Утверждено Ученым Советом Рыбницкого филиала ПГУ им. Т.Г.Шевченко – Протокол №1 от 25.09.2008г.

4. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. – М.: Наука, 1979.

5. Интерполяция и функции предсказания. [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://www.exponenta.ru/soft/mathcad/usersguide/chapter13/13_5.asp

(дата обращения: 23.12.2011)