Математическая модель

Введение

 

 

В прикладных областях различают следующие виды абстрактных  моделей:

1. традиционное (прежде всего для теоретической физики, а также механики, химии, биологии, ряда других наук) математическое моделирование без какой-либо привязки к техническим средствам информатики;
2. информационные модели и моделирование, имеющие приложения в информационных системах;
3. вербальные (т.е. словесные, текстовые) языковые модели;

4)  информационные (компьютерные) технологии, которые надо делить. Итак, укрупненная классификация абстрактных (идеальных) моделей такова:

1) Вербальные (текстовые)  модели. Эти модели используют  последовательности предложений  на формализованных диалектах  естественного языка для описания  той или иной области действительности (примерами такого рода моделей являются милицейский протокол, правила дорожного движения).

2) Математические  модели - очень широкий класс знаковых  моделей (основанных на формальных  языках над конечными алфавитами), широко использующих те или  иные математические методы. Например, можно рассмотреть математическую модель звезды. Эта модель будет представлять собой сложную систему уравнений, описывающих физические процессы, происходящие в недрах звезды. Математической моделью другого рода являются, например, математические соотношения, позволяющие рассчитать оптимальный (наилучший с экономической точки зрения) план работы какого-либо предприятия.

3) Информационные  модели - класс знаковых моделей,  описывающих информационные процессы (возникновение, передачу, преобразование  и использование информации) в системах самой разнообразной природы.

Граница между  вербальными, математическими и  информационными моделями может  быть проведена весьма условно; вполне возможно считать информационные модели подклассом математических моделей. Однако, в рамках информатики как самостоятельной науки, отделенной от математики, физики, лингвистики и других наук, выделение информационных моделей в отдельный класс является целесообразным.

Существуют  и иные подходы к классификации  абстрактных моделей; общепринятая точка зрения здесь еще не установилась. В частности, есть тенденция резкого расширения содержания понятия «информационная модель», при котором информационное моделирование включает в себя и вербальные, и математические модели.

Основное содержание данной курсовой работы связано с прикладными математическими моделями, в реализации которых используются компьютеры. Это вызвано тем, что внутри информатики именно компьютерное

математическое  и компьютерное информационное моделирование  могут рассматриваться как ее составные части. Компьютерное математическое моделирование связано с информатикой технологически; использование компьютеров и соответствующих технологий обработки информации стало неотъемлемой и необходимой стороной работы физика, инженера, экономиста, эколога, проектировщика ЭВМ и т.д. Неформализованные вербальные модели не имеют столь явно выраженной привязки к информатике  ни в принципиальном, ни в технологическом аспектах.

Математическая  модель выражает существенные черты  объекта или процесса языком уравнений и других математических средств. Собственно говоря, сама математика обязана своим существованием тому, что она пытается отразить, т.е. промоделировать, на своем специфическом языке закономерности окружающего мира.

Путь математического  моделирования в наше время гораздо более всеобъемлющ , нежели моделирования натурного. Огромный толчок развитию математического моделирования дало появление ЭВМ, хотя сам метод зародился одновременно с математикой тысячи лет назад.

Математическое  моделирование как таковое отнюдь не всегда требует компьютерной поддержки. Каждый специалист, профессионально занимающийся математическим моделированием, делает все возможное для аналитического исследования модели. Аналитические решения (т.е. представленные формулами, выражающими результаты исследования через исходные данные) обычно удобнее и информативнее численных. Возможности аналитических методов решения сложных математических задач, однако, очень ограниченны и, как правило, эти методы гораздо сложнее численных. В данной курсовой доминируют численные методы, реализуемые на компьютерах. Это связано с тем, что моделирование здесь рассматривается под углом зрения компьютерных (информационных) технологий. Такой подход несколько сужает возможности метода в целом; его достоинство - некоторое снижение барьера необходимой математической подготовки (хотя, разумеется, и в численные методы при профессиональном занятии математическим моделированием приходится углубляться настолько, что при этом требуется значительное математическое образование). Наконец, понятия «аналитическое решение» и «компьютерное решение» отнюдь не противостоят друг другу, так как

1. все чаще компьютеры при математическом моделировании используются не только для численных расчетов, но и для аналитических преобразований;
2. результат аналитического исследования математической модели часто выражен столь сложной формулой, что при взгляде на нее не складывается восприятия описываемого ей процесса. Эту формулу (хорошо еще, если просто формулу!) нужно протабулировать, представить графически, проиллюстрировать в динамике, иногда даже озвучить, т.е. проделать то, что называется «визуализацией абстракций». При этом компьютер - незаменимое средство.

 

 

1 Основные понятия теории моделирования

 

 

Моделированием называется замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта – оригинала с помощью объекта – модели.

Всем моделям присуще наличие  некоторой структуры (статической  или динамической, материальной или  идеальной), которая подобна структуре  объекта – оригинала. В процессе работы модель выступает в роли относительно самостоятельного квазиобъекта, позволяющего получить при исследовании некоторые знания о самом объекте. Если результаты такого исследования (моделирования) подтверждаются и могут служить основой для прогнозирования в исследуемых объектах, то говорят, что модель адекватна объекту. При этом адекватность модели зависит от цели моделирования и принятых критериев.

Процесс моделирования предполагает наличие:

1. объекта исследования; исследователя, имеющего конкретную задачу;
2. модели, создаваемой для получения информации об объекте, необходимой для решения задачи. По отношению к модели исследователь является экспериментатором. Одним из наиболее важных аспектов моделирования систем является проблема цели. Любую модель строят в зависимости от цели, которую ставит перед ней исследователь, поэтому одна из основных проблем при моделировании – это проблема целевого назначения. Подобие процесса, протекающего в модели, реальному процессу является не самоцелью, а условием правильного функционирования модели. Если цели моделирования ясны, то возникает следующая проблема, - проблема построения модели. Это построение оказывается возможным, если имеется информация или выдвинуты гипотезы относительно структуры, алгоритмов и параметров исследуемого объекта.

Когда модель построена, то следующей проблемой является проблема работы с ней, реализация модели. Здесь основные задачи – минимизация  времени получения конечных результатов  и обеспечение их достоверности. Для правильно построенной модели характерным является то, что она выявляет лишь те закономерности, которые нужны исследователю, и не рассматривает свойства системы – оригинала, несущественные в данный момент.

 

2 Этапы и цели компьютерного математического моделирования

 

 

Здесь рассматривается процесс компьютерного математического моделирования, включающий численный эксперимент с моделью

Первый этап – определение целей моделирования. Основные из них таковы:

1)  модель нужна для того, чтобы понять как устроен конкретный объект, какова его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром (понимание);

2)  модель нужна для того, чтобы научиться управлять объектом (или процессом) и определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях (управление);

3)  модель нужна для того, чтобы прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект (прогнозирование).

Поясним это  на примерах. Пусть объект исследования – взаимодействие потока жидкости или газа с телом, являющимся для этого потока препятствием. Опыт показывает, что сила сопротивления потоку со стороны тела растет с ростом скорости потока, но при некоторой достаточно высокой скорости эта сила скачком уменьшается с тем, чтобы с дальнейшим увеличением скорости снова возрасти. Что же произошло, обусловив уменьшение силы сопротивления? Математическое моделирование позволяет получить четкий ответ: в момент скачкообразного уменьшения сопротивления вихри, образующиеся в потоке жидкости или газа позади обтекаемого тела, начинают отрываться от него и уноситься потоком.

Пример совсем из другой области: мирно сосуществовавшие со стабильными численностями популяции  двух видов особей, имеющих общую  кормовую базу, “вдруг” начинают резко  менять численность – и здесь математическое моделирование позволяет (с известной долен достоверности) установить причину (или, по крайней мере, опровергнуть определенную гипотезу).

Математическая модель выражает существенные черты-объекта  или процесса языком уравнений и других математических средств. Собственно говоря, сама математика обязана своим существованием тому, что она пытается отразить, т.е. промоделировать, на своем специфическом языке закономерности окружающего мира. Путь математического моделирования в наше время гораздо более всеобъемлющ, нежели моделирования натурного. Огромный толчок развитию математического моделирования дало появление ЭВМ, хотя сам метод зародился одновременно с математикой тысячи лет назад.

Математическое моделирование  как таковое отнюдь не всегда требует компьютерной поддержки. Каждый специалист, профессионально занимающийся математическим моделированием, делает все возможное для аналитического исследования модели.

Аналитические решения (т.е. представленные формулами, выражающими результаты исследования через исходные данные) обычно удобнее и информативнее численных. Возможности аналитических методов решения сложных математических задач, однако, очень ограниченны и, как правило, эти методы гораздо сложнее численных.

 

 

3 Принципы моделирования

 

 

Моделирование является универсальным принципом  человеческого познания. В глубокой древности, чтобы узнать, сколько  будет овец в стаде, если соединить  две отары, заменяли овец камешками  или палочками и пересчитывали  их вместо овец. Потом появился абак, предшественник счетов, а затем и сами счеты, за ними механический калькулятор, электронный калькулятор, компьютеры. Как бы ни ушел далеко в техническом отношении современный компьютер от счетов или горстки камешков, принцип действия в них один – пересчитываются дискретные величины.

Моделирование широко применяется в науке. Прежде чем поднять самолет в воздух, модель его целиком и по частям обдувают в аэродинамической трубе. В медицинских экспериментах  моделью человека выступают животные. Наука и искусство являются для человека моделью окружающего мира, в т.ч. его самого.

Принцип моделирования  весьма прост. Пусть имеется объект А над которым человек собирается совершить некоторые действия, напр., управлять им. Объект А подвергается внешним воздействиям, множество которых обозначим как вектор Х_А. Элементы этого множества назовем входными величинами. Состояние объекта описывается множеством параметров, которое обозначим как вектор Y_А, элементы его назовем выходными величинами. Изменение во времени Y_А под воздействием Х_А назовем поведением. Y_А=F(Х_А), т.е. поведение объекта есть функция внешних воздействий. Именно она интересует исследователя. Выявление этой функции на самом объекте может быть затруднено по разным причинам (опасно для жизни,  дорого,  медленно и т.п.). Тогда исследователь находит другой объект В, похожий на А (В~А), помещает его в условия, аналогичные условиям А (Х_В~Х_А), и выявляет Y_В (поведение объекта В). Все сказанное означает, что В является моделью А. На основании сходства между объектами и условиями исследователь заключает, что поведение объекта А будет аналогично поведению его модели В  (Y_А~Y_В).

Важнейшая проблема моделирования  – адекватность (соответствие, совпадение) модели оригиналу. К модели предъявляются  противоречивые требования. С одной стороны, она должна по возможности полнее совпадать с оригиналом; чем больше такое совпадение, тем ценнее знание, полученное при исследовании модели. С другой стороны, модель должна быть как можно более простой, чтобы с ней было легче оперировать. В разрешении этого противоречия и состоит проблема адекватности модели.

Абсолютно адекватен  оригиналу только сам оригинал. От модели не требуется такого абсолютного  совпадения. Она должна соответствовать  оригиналу только в главном, существенном, в том, что интересует исследователя;  все несущественное должно быть отброшено.