Математические методы в теории принятия решений

Правило выбора согласно этому  критерию следующее: матрица решений [W_ij] дополняется столбцом, содержащим средние взвешенные наименьшего и наибольшего результатов для каждой строки. Выбирается тот вариант, в строках которого стоят наибольшие элементы W_ir этого столбца.

При r = 1 критерий Гурвица превращается в критерий Вальда (пессимиста), а при r = 0 - в критерий азартного игрока. Отсюда ясно, какое значение имеет весовой множитель r. В технических приложениях правильно выбрать этот множитель бывает так же трудно, как правильно выбрать критерий. Поэтому чаще всего весовой множитель r = 0.5 принимается в качестве средней точки зрения.

Критерий Гурвица предъявляет  к ситуации, в которой принимается  решение, следующие требования:

о вероятности появления  состояния V_j ничего не известно;

с появлением состояния V_j необходимо считаться;

реализуется лишь малое количество решений;

допускается некоторый риск.

Критерий Ходжа-Лемана базируется одновременно на критериях Вальда и Байеса-Лапласа:

Правило выбора, соответствующее  этому критерию, формулируется следующим  образом: матрица решений [W_ij] дополняется столбцом, составленным из средних взвешенных (с постоянными весами) математического ожидания и наименьшего результата каждой строки. Отбирается тот вариант решения, в строке которого стоит наибольшее значение этого столбца.

При z=1 критерий преобразуется  в критерий Байеса-Лапласа, а при z=0 превращается в критерий Вальда. Таким образом, выбор параметра z подвержен влиянию субъективизма. Кроме того, без внимания остается и число реализаций. Поэтому этот критерий редко применяется при принятии технических решений.

Критерий Ходжа-Лемана предъявляет к ситуации, в которой принимается решение, следующие требования:

о вероятности появления  состояния V_j ничего не известно, но некоторые предположения о распределении вероятностей возможны;

принятое решение теоретически допускает бесконечно большое количество реализаций;

допускается некоторый риск при малых числах реализаций.

Общие рекомендаций по выбору того или иного критерия дать затруднительно. Однако отметим следующее: если в отдельных ситуациях не допустим даже минимальный риск, то следует применять критерий Вальда; если определенный риск вполне приемлем, то можно воспользоваться критерием Сэвиджа. Можно рекомендовать одновременно применять поочередно различные критерии. После этого среди нескольких вариантов, отобранных таким образом в качестве оптимальных, приходится волевым решением выделять некоторое окончательное решение.

 

Рисунок 4 Составление  плана

 

Такой подход позволяет, во-первых, лучше проникнуть во все внутренние связи проблемы принятия решений  и, во-вторых, ослабляет влияние

субъективного фактора. Кроме того, в области технических задач различные критерии часто приводят к одному результату.

Критерий наиболее вероятного исхода.

 Использование данного критерия, также как и в предыдущем случае в значительной степени опирается на опыт и интуицию. При этом необходимо учитывать два обстоятельства, затрудняющие применение этого критерия:

критерий нельзя использовать, если наибольшая вероятность события  недопустимо мала;

применение критерия невозможно, если несколько значений вероятностей возможного исхода равны между собой.

 

 

ЗАДАЧА 1

Найти оптимальный вариант  электростанции по критериям Лапласа, Вальда, Гурвица с показателями 0,8 и 0,3 и Сэвиджа по заданной таблице эффективностей:

 

Среда Варианты	В1	В2	В3	В4
А1	10	8	4	11
А2	9	9	5	10
А3	8	10	3	14
А4	7	7	8	12

 

Таблица эффективностей

Решение:

	В1	В2	В3	В4	Критерий Вальда	Крит. Лапласа	Критерий Гурвица
А1	10	8	4	11	4	8.25	5.4
А2	9	9	5	10	5	8.25	6.85
А3	8	10	3	14	3	8.75	5.25
А4	7	7	8	12	7	8.25	8.1

 

Критерий Лапласа:

 

L (1) =1/4*33=8,25

L (2) =1/4*33=8,25

L (3) =1/4*35=8,75

L (4) =1/4*34=8,5

 

Вывод: по критерию Лапласа оптимальным решением являет выбор 3 типа электростанции.

Критерий Вальда: по критерию Вальда оптимальным решением является выбор 4 типа электростанции.

Критерий Гурвица:

Н (1) =0,8*4+ (1-0,8) *11=5,4

Н (2) =0,8*5+ (1-0,8) *10=6

Н (3) =0,8*3+ (1-0,8) *14=5,2

Н (4) =0,8*7+ (1-0,8) *12=8

Н (1) =0,3*4+ (1-0,3) *11=8,9

Н (2) =0,3*5+ (1-0,3) *10=8,5

Н (3) =0,3*3+ (1-0,3) *14=10,7

Н (4) =0,3*7+ (1-0,3) *12=10,5

 

Вывод: по критерию Гурвица оптимальным решением является выбор 3 и 4 типа электростанции.

Критерий Сэвиджа:

 

	В1	В2	В3	В4	Критерий Сэвиджа
А1	0	2	4	3	4
А2	1	1	3	4	4
А3	2	0	5	0	5
А4	3	3	0	2	3

 

Вывод: по критерию Сэвиджа оптимальным решением является выбор 4 типа электростанции.

Ответ: оптимальное решение - выбор 4 электростанции.

 

 

ЗАДАЧА 2

 

Найти оптимальное решение  задачи о бурении нефтяной скважины по критерию математического ожидания с учетом результата эксперимента:

 

 

Состояние скважины	Тип грунта
	Открытый	Замкнутый
С	50	2
М	8	10
Б	12	28

 

Таблица результатов сейсморазведок

	С	М	Б
Х	-50	30	250
Х	0	0	0

 

Таблица прибылей

Решение:

Х₁ - бурить; Х₂ - не бурить.

Р (С) =0,52; Р (М) =0,18; Р (Б) =0,4

 

Состояние скважины	Тип грунта		Всего
	Открытый	Замкнутый
С	50	2	52
М	8	10	18
Б	12	28	40
Всего	70	40	110

 

 

Рисунок 5 Состояние скважин

 

Построенное дерево определяет игру руководителей группы с природой. Найдем вероятность каждого хода.

 

Р (А) =Р (А∩В)

Р₀ (С) =Р (С∩О) /Р (О) =0,5/0,7=0,71

Р₀ (М) =Р (М∩О) /Р (О) =0,08/0,7=0,11

Р₀ (Б) =Р (Б∩О) /Р (О) =0,12/0,7=0,17

Р₃ (С) =Р (С∩З) /Р (З) =0,02/0,4=0,05

Р₃ (М) =Р (М∩З) /Р (З) =0,1/0,4=0,25

Р₃ (Б) =Р (Б∩З) /Р (З) =0,28/0,4=0,7

а=а₁*р₁+а₂*р₂+а₃*р₃

b=max{b₁,b₂,b₃}

а=-50*0,52+30*0,18+250*0,4=-26+5,4+100=79,4

а=-50*0,71+30*0,11+250*0,17=-35,5+3,3+42,5=20,3

а=-50*0,05+30*0,25+250*0,7=-2,5+7,5+175=180

 

ЗАДАЧА 3.

При выборе квартиры в качестве существенных признаков взяты: Р₁ - метраж (м²), Р₂ - время поездки на работу (мин), Р₃ - время поездки в зону отдыха (мин).

а) найти варианты, оптимальные по Парето;

б) найти единственный оптимальный вариант методом субоптимизации, назначив верхние границы по критериям Р₁ и Р₂.

 

Критерии Варианты	Р1	Р2	Р3
1	45	30	20
2	60	40	30
3	42	20	10
4	45	30	15
5	48	45	25

 

Таблица критериев

Решение:

	Р1	Р2	Р3
1	45	30	20
2	60	40	30
3	42	20	10
4	45	30	15
5	48	45	25

 

а) варианты, оптимальные по Парето: 1>4

б) р₁ - не менее 45

р₂ - не более 30

Вывод: оптимальным вариантом при выборе квартиры является 4 вариант.

Ответ: вариант 4

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

Применение математических методов в бизнесе и конкурентной борьбе за выживание (процветание) производства стало неотъемлемой частью российской экономике и с каждым годом становится все прогрессивнее.

В ходе выполнения практической части  работы, было доказано, что это возможно, этим надо пользоваться и научиться внедрять теории Лапласа и других в управление и способы исследования рынка сбыта и производства. Времена "простой коммерции" давно забылись и мы, будучи людьми образованными, обязаны применять свои знания и главные постулаты на практике. Математические методы применимы не только в экономике, конечно, ими удобно пользоваться и обыденных ситуациях, например в огородничестве (при выращивании какой-либо культуры). Уменье рассуждать, делать правильные выводы, обосновывать свои суждения, то есть умение мыслить логически является неотъемлемым качеством интеллигентного человека. Кроме интеллигентности мы затрагиваем тот факт, когда присутствует возможность экономии денежных ресурсов и материальных. Ведь применив математические теории и сделав правильные расчеты, мы не будем гнать технику за тысячу километров и закупать необходимые комплектующие, зная, что выводы показали, что кампания убыточна! Это накладывает на нас ответственность перед подчиненными, за будущие ошибки, да и просто это интересно. Интересно знать то, чего не знают другие. Мудрость и знания делают из нас, настоящих людей. Человек с большой буквы, думает не только о себе и учится не на своих ошибках. И потом, предвидеть ситуацию дар только избранных, а мы учимся это делать без всякого дара природы. Надо лишь применять логику и мышление и у нас всё получиться.

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Розен В.В. "Теория игр и экономическое моделирование" 2011 год
2. Е.С. Венцель "Исследование операций" Москва Сов. родно 2012 год
3. Браверманн Э.М. "Математические модели планирования правления в экономических системах" Москва "Наука" 2011 год
4. Гейл Д. "Теория линейных экономических моделей" Москва ИЛ 2012 год
5. Андреев В.Н., Герасимов Ю.Ю. Принятие оптимальных решений: Теория и применение в лесном деле. Йоэнсуу: Из-во ун-та Йоэнсуу, 2009, 200 с.
6. Моисеев Н.Н., Математические методы системного анализа М. Наука 2011 год