Определение требований к частотным характеристикам аналогового ФНЧ

где – нормированная частота,

При расчетах n принимать равно 1, так как функция периодическая.

С учетом введенных замен комплексная передаточная функция может быть представлена:

,

– модуль: ;

– аргумент: .

По этим зависимостям можно рассчитать АЧХ и ФЧХ.

 

 

 

Раздел 5

Построение схем цифрового фильтра

 

Обобщенная структурная схема ЦФ во временной области изображена на рисунке (5.1):

При канонической реали- зации по передаточной функции число умно- жителей равно сумме количества коэффициентов и ; используется 2 сумматора, количество ре- гистров сдвига равно M.

Обобщенная структурная схема ЦФ непосредственной реализации изображена на рисунке (5.2):

 

Рисунок 5.2 – Структурная схема канонической реализации фильтра (операторная схема замещения)

 

Реализовать цифровой фильтр также возможно с помощью каскадного соединения звеньев второго и первого порядков. Для этого передаточную функцию необходимо представить в виде произведения полиномов второго порядка, если порядок фильтра чётное число, или в произведения полиномов второго и первого порядков, если порядок фильтра нечётное число:

– для четного порядка фильтра

,

где

;

– для нечетного порядка фильтра

,

где

,

,

где – порядок фильтра.

 Чтобы представить полином в произведения можно воспользоваться следующим алгоритмом:

1) находят корни полиномов числителя и знаменателя;

2) записывают числитель и знаменатель в виде

;

3) составляют пары комплексно-сопряженных корней и записывают произведение полиномов второй степени для четного порядка фильтра и произведение полиномов второго порядка и полинома первого порядка для нечетного порядка фильтра.

Для полученных полиномов составляют канонические схемы и соединяют их каскадно, как изображено на рис. 5.3.

 

Рисунок 5.3 – Структурная схема каскадного соединения звеньев:

а – схема фильтра нечетного порядка;

б – схема фильтра четного порядка

 

На рис. 5.4 изображены канонические звенья структурных схем первого и второго порядков.

Рисунок 5.4 – Структурная схема канонического звена:

а – второго порядка; б – первого порядка

 

 

Раздел 6

Синтез цифровых полосовых фильтров с характеристиками Баттерворта и Чебышева

 

Существуют два метода синтеза цифровых полосовых фильтров, которые отличаются используемыми прототипами:

1 Синтез полосового цифрового фильтра по аналоговому ФНЧ прототипу;

2 Синтез полосового цифрового фильтра по цифровому ФНЧ прототипу.

При первом методе необходимо синтезировать аналоговый ФНЧ прототип, аналогично тому, как это сделано в разделах 2 и 3 данного методического руководства. Далее к передаточной функции прототипа применяют преобразование ФНЧ-ПФ вида:

Далее к полученной передаточной функции применяют билинейное z-преобразование.

В связи с громоздкостью дальнейших вычислений, проектирование цифрового полосового фильтра можно выполнить, прибегнув к программе Filter Solutions или ей аналогичной.

Программа Filtr Solution предназначена для синтеза фильтров как аналоговых так и цифровых.

Ниже приведен внешний вид программы:

Рисунок 6.1 – Главное окно программы

 

Программа имеет следующие панели:

– Filter Type – выбор типа аппроксимации фильтра (используемые значения Butterworth – Баттерворта,  Chebyshev1– Чебышева 1 рода);

– Filter Class – тип фильтра ( Low Pass – ФНЧ, High Pass – ФВЧ, Band Pass – Полосовой,  Band Stop – Режекторный);

– Filter Attributes – параметры фильтра:

Standart Pass Band Attenuation – стандартное  затухание в полосе пропускания (для фильтра Баттерворта – 3 дБ, если задано другое значение, то снять галочку и ввести требуемое значение),

Order – порядок (если порядок не  задан то нажать Set Order и ввести  значения затухания в полосе  задерживания (StopBandAttenuation) и ширину  полосы задерживания (пропускания)(Stop(Pass)BandWidth)),

PassBandFreqensy – граничная частота  полосы пропускания ,

Lower Coner Freq – нижняя граница полосы  пропускания,

Upper Coner Freq – верхняя граница  полосы пропускания;

– Graph Limits – пределы вывода графиков частотных характеристик:

Min Freq – нижняя граница диапазона  вывода графика;

Max Freq – верхняя граница диапазона  вывода графика;

– Freq Scale – единицы измерения частоты

  Rad/Sec – рад/сек,

Hertz – герцы,

Log – логарифмические единицы;

– Implementation – реализации фильтра:

 Passive – аналоговый пассивный,

 Active –  аналоговый активный,

 Digital – цифровой.

– Design – вывод характеристик фильтра:

Transfer Function – передаточная функция,

Time Response – временные характеристики,

Pole Zero Plots – диаграмма нулей и полюсов,

Frequency Response – Частотные характеристики.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примеры выполнения курсовой работы

 

Приложение А

Билинейное z-преобразование

 

Преобразование заключается в том, что в операторной передаточной функции аналогового фильтра На(р) производится замена оператора р на , в результате чего функция из р-области переходит в z-область :

,                                             (А.1)

где k = 2fд , а fд – частота дискретизации.                                

На рис. A.1 изображена процедура преобразования частотных спектров. Это преобразование приводит к смещению частотной характеристики цифрового фильтра относительно аналогового прототипа. Поэтому перед z-преобразованием применяем тангенциальное преобразование к граничным частотам фильтра:

                                         (А.2)

Для частот цикличных это выражение запишется так:

             (А.3)

Частота дискретизации fд теоретически выбирается на основании теоремы отсчетов [2]. Практически эта частота .

Рисунок А.1 – Связь между частотами аналогового

и цифрового фильтра

.

 

 

Приложение Б

Пример расчета требований к прототипу цифрового фильтра

 

Используя данные для ПФ, рассчитать цифровой ФНЧ прототип.

Нижняя граница полосы пропускания f1n = 7060 Гц

Верхняя граница полосы пропускания f2n = 10430 Гц

Нижняя граница полосы задерживания f1з = 5560 Гц

Верхняя граница полосы задерживания f2з = 12990 Гц

Неравномерность в полосе пропускания А1 = 0,1773 дБ

Затухание в полосе задерживания А2 = 33,9 дБ

Для построения шаблона требований к частотной характеристике передаточной функции ПФ определим H(f) по формуле (1.1):

,

.

 

Рисунок Б.1 – Шаблон требований к частотной характеристике

аналогового полосового фильтра:

а – затухания; б – коэффициента передачи

 

По известным требованиям к ПФ определяем требования к ФНЧ.

Ширина полосы пропускания (ПП) ФНЧ-прототипа f1 будет равна ширине ПП ПФ, а граничная частота полосы задерживания ПЗ f2 – разности граничных частот ПЗ ПФ:

= 10,43 – 7,06 = 3,37 кГц

= 12,99 – 5,56 = 7,43 кГц

Рисунок А.2 – Шаблон требований к частотной характеристике

аналогового фильтра нижних частот:

а – затухания; б – коэффициента передачи

 

Определим частоту дискретизации fд ≥ 2,3 f2a = 20 кГц.

Произведем операцию преобразования частот для цифрового фильтра. Частоты f1цп и f2цп рассчитываем по (А.3):

 кГц;

кГц.

Рисунок А.3 – Амплитудно-частотная характеристика

прототипа цифрового фильтра.

 

 

Приложение В

Пример расчета цифрового ФНЧ с характеристикой

Баттерворта по аналоговому прототипу

 

Определяем порядок фильтра по формуле (2.1):

3,96,

примем n = 4.

Запишем квадрат модуля передаточной функции Баттерворта полученного порядка:

.

Найдем Сn по формуле (2.5):

С = 100,1∙0,1773  – 1 = 0,0417.

Вычислим корни полинома Баттерворта по (2.7):

Данные корни равномерно распределены по окружности с единичным радиусом.

Составим комплексно-сопряженные пары:

Искомый полином будет иметь вид:

.

Передаточная функция при Сn = 1 будет иметь вид:

.

Передаточная функция подлежащая реализации при Сn ≠ 1 примет вид:

где .

На рис. В.1 изображено расположение корней полинома Баттерворта, рассчитываемого фильтра.

Далее к каждому сомножителю применяем билинейное z-преобразова- ние, предварительно выполнив норми- рование относительно граничной частоты полосы пропускания:

,

Эти выражения подставляем в формулу HБ(p) и произведем преобразования:

Окончательный вариант передаточной функции цифрового фильтра подлежащий реализации имеет вид:

 

 

Приложение Г

Пример расчета цифрового ФНЧ с характеристикой Чебышева по аналоговому прототипу

 

Определяем порядок фильтра по формуле (3.1):

Примем n = 3.

Вычислим коэффициент неравномерности в полосе пропускания по формуле (3.5):

.

Найдем корни передаточной функции:

На рис. Г.1 изображено расположение корней полинома Чебышева аналогового ФНЧ.

Составим передаточную функцию

 Далее к каждому сомножителю применяем билинейное z-преобразование аналогично фильтру Баттерворта:

 

 

 Окончательный вариант передаточной функции цифрового фильтра подлежащий реализации имеет вид:

.

 

Приложение Д

Построение частотных характеристик цифрового ФНЧ Баттерворта

 

Приведем передаточную функцию Н(z) к классическому виду:

Произведем замену :

Введем обозначения:

где – модуль передаточной функции,

 – аргумент передаточной функции.

По этим формулам можно рассчитать АЧХ и ФЧХ фильтров.

Приведем пример расчета значения для граничной частоты полосы пропускания данного фильтра:

,

,

– при условии, что угол изначально был задан в диапазоне от до . При построении графиков часто используется другой диапазон измерения углов: от до . Ниже приведен график арктангенса для данного диапазона углов:

В этом случае :

На рис. Д.2 и Д.3 изображены АЧХ и ФЧХ соответственно проектируемого цифрового ФНЧ Баттерворта, построен- ные с помощью программы Filter Solutions.

На рис. Д.3 изображена ФЧХ с ложными скачками фаз на частотах 4,5 кГц и 15,5 кГц. Данные скачки обусловлены тем, что при построении графика арктангенс вычислялся в диапазоне от до , в реальности ФЧХ продолжает спадать до частоты дискретизации на которой имеется действительный скачок фаз.

На практике зачастую пользуются групповым временем пробега входного сигнала (ГВП), поэтому многие программы имеют возможность построить этот параметр. На рис. Д.4 приведен график ГВП данного фильтра построенный с помощью программы Filter Solutions.

 

 

Рисунок Д.2 – АЧХ проектируемого цифрового ФНЧ

 

Рисунок Д.3 –ФЧХ проектируемого цифрового ФНЧ

 

Рисунок Д.4 –ГВП проектируемого цифрового ФНЧ

Приложение Е

Построение схемы цифрового фильтра

 

Построим схему цифрового фильтра Баттерворта в канонической форме