Индексы потребительского спроса

Аналитические индексы определяются в рамках классической модели рационального потребительского выбора, заключающейся в максимизации порядковой функции полезности (непрерывной, возрастающей и вогнутой) при ограничении, задаваемом вектором цен и расходами e потребителей на данном сегменте рынка:

.      (3.1)

Значение v(p,e) этой задачи называется косвенной функцией полезности. Решение при различных параметрах (p,e)) определяет отображение спроса, возможно многозначное. Теория аналитических индексов построена в предположении регулярности задачи (3.1), когда это отображение однозначно и непрерывно. Оно называется функцией спроса x( (p,e)).

Для задачи (3.1) ставится взаимная задача, в которой целевая функция и функция , определяющая ограничение, меняются местами:

.      (3.2)

Здесь – заданный уровень потребления, определяемый некоторым набором благ , т.е. . Эта задача разрешима при любых положительных значениях ((p,w)). Функция (3.2) определяет аналитические индексы цен и количеств потребления на статистических данных (1.1), соответственно,

, .  (3.3)

Индекс Конюса в данных обозначениях это индекс цен .

Известно, что индексы (3.3) обладают свойствами транзитивности, перекрестной мультипликативности, т.е. .

В случае однородности функции полезности выполняется тождество

(относительно p>0, x>0), где – обратный множитель Лагранжа задачи (3.2). Соответственно, индексы (3.3) зависят только от пар или :

,    (3.4)

Ввиду независимости этих индексов от сопряженных величин (соответственно, количеств и цен) они названы инвариантными индексами. Инвариантные индексы удовлетворяют всем тестам Фишера, т.е. являются идеальными. Однако реальные предпочтения потребителей для содержательных групп с товарами различной субъективной ценности не однородны, следовательно, эти индексы имеют ограниченное значение.

Для практического построения аналитических индексов по данным (1.1) требуется полное решение обратной задачи для модели (3.1), т.е. построение функции полезности u(x) по данным (1.1). Имея u(x), можно будет вычислять значения функции потребительских расходов (3.2) для этих данных, т.е. числа . Это сложная задача и до настоящего времени эффективные методы построения дифференцируемых функций полезности по конечному набору значений спроса развиты недостаточно.

 

 

4. ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПОЛЕЗНОСТИ ПО ТОРГОВОЙ СТАТИСТИКЕ. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ (НК)

Одним из подходов к построению функций полезности является классический параметрический метод наименьших квадратов (МНК). Здесь функция полезности ищется в некотором параметрическом классе непрерывно дифференцируемых возрастающих вогнутых функций. Свойства дифференцируемости и строгой вогнутости искомой функции обеспечивают однозначность и дифференцируемость расчётного спроса. Для такого спроса определена матрица Слуцкого, позволяющая выполнить глубокий содержательный анализ спроса. Принципиальным недостатком параметрического метода является трудность выбора класса параметризации. Плохой результат построения функции полезности в любом классе не исключает возможность лучшего результата в другом классе.

Пусть исследуется рынок n бесконечно делимых благ. Введём пространство благ – неотрицательный ортант евклидова пространства со скалярным произведением . Классическая задача потребительского спроса заключается в максимизации непрерывной, возрастающей и вогнутой функции полезности на множестве  благ, доступных при данных ценах p и расходах (expenditures) e на данном рынке:

. \* MERGEFORMAT

Это задача выпуклого программирования определяет функцию спроса как зависимость покупаемого набора товаров от цен и величины расходов. При анализе спроса также рассматривается множитель Лагранжа

Конкретные рынки представляются торговой статистикой, под которой здесь понимается конечный набор цен и количеств продаж за отчётный период:

                                                .  (1.2)

Эти данные определяют также потребительские расходы  .

Использование модели \* MERGEFORMAT (1.4) для анализа статистики (1.2) требует решения обратной задачи теории спроса, заключающейся в построении такой функции полезности , что расчётный спрос повторяет при значениях аргументов статистический спрос .

 Основными  предпосылками, определяющими возможность  удовлетворительного решения обратной задачи, являются стабильность предпочтений потребителей рынка и достаточная вариабельность наблюдений (1.2). Здесь решается обратная задача в параметрических классах дифференцируемых функций полезности , где – параметры функции и множество определяется ограничениями, обеспечивающими свойства положительности, возрастания и вогнутости функций  . Соответствующий спрос будет . Условия соответствия расчётного и статистического спросов в идеальном варианте представляются равенствами

,   . (1.3)

Равенства (1.3) в общем случае не выполняются по трём причинам: условность модели \* MERGEFORMAT (1.4), ограничение области поиска классом функций, неточность статистических данных. Соответственно, наилучшие параметры данного класса определяются методом наименьших квадратов, т.е. минимизацией функции квадратичной невязки

 (1.4)

при условии . Будем считать, что решение этой задачи существует.

Задачи МНК часто рассматриваются в рамках регрессионного анализа, при этом качество решения определяется свойствами остатков – невязок уравнений (1.3)

. (1.5)

Эти невязки являются моделью ошибок моделирования. Представляют интерес относительные отклонения расчётного и статистического спросов и их наибольшая величина

 (1.6)

Дополнительный критерий качества построения функции полезности представляет непараметрический метод анализа спроса.

 

 

 

 

5. РЕШЕНИЕ ТЕСТОВОЙ ЗАДАЧИ

Задача

Для торговой статистики из [3], табл.3 построить функции спроса функции ПЭЗ методом НК, описанным в [2]. Параметры построенных функций спроса определяют также соответствующие функции полезности.

Решение задачи

Функции спроса для функции ПЭЗ в общем виде представлены в пункте 4 «Примеры» в [2]. Выглядят они так:

, .

, ,

где  σ = 1/(ρ+1) – эластичность замещения одного из благ другим.

Т.к. в торговой статистике из [3], табл. 3 используются данные о потреблении четырех групп продовольственных товаров: хлебные продукты, молоко и молочные продукты, мясо и мясопродукты, фрукты, т.е. рассматривается четырехфакторная модель, то, следовательно, и функций спроса у нас будет четыре. Распишем их:

Для построения данных функций спроса нам необходимо оценить коэффициенты β1, β2, β3, β4. Сделать это можно в пакете Excel с помощью метода наименьших квадратов, описанным в [2]. Т.е. нам нужно минимизировать сумму сумм квадратов невязок четырех функций спроса:

При этом сумма β1, β2, β3, β4 должна равняться единице:

.

Внесем данные торговой статистики и вычислим невязки для четырех функций спроса на Листе 1 нового документа Microsoft Excel.

Листинг 5.1.

Затем посчитаем сумму квадратов для каждого столбца невязок (листинг 5.2) и просуммируем полученные суммы квадратов.

Листинг 5.2.

После этого запускаем Надстройку Excel – Поиск решения. В развернувшемся диалоговом окне в качестве целевой ячейки устанавливаем ячейку с конечной суммой всех сумм квадратов по столбцам невязок. В пустые ячейки записываются значения коэффициентов β1, β2, β3, β4 и ρ, и эти ячейки выделяем в поле «Изменяя ячейки». И в конце добавляем ограничение, про которое уже было сказано, сумма коэффициентов β1, β2, β3, β4 должна равняться 1. Нажимаем кнопку Выполнить. (Листинг 5.3)

Листинг 5.3.

 

В итоге получаем значения коэффициентов: , , , , . Запишем функции спроса с уже посчитанными коэффициентами:

 

 

 

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Горбунов В.К. Математическая модель потребительского спроса: Теория и прикладной потенциал. М.: Экономика, 2004. (в библиотеке).

2. Горбунов В.К., Ледовских А.Г. Построение дифференцируемых функций полезности по торговой статистике // Труды XV Байкальской международной школы-семинара «Методы оптимизации и их приложения». 2011. Т. 6 – Иркутск: РИО ИДСТУ СО РАН, 118-124.

3. Горбунов  В.К., Козлова Л.А. Методы построения инвариантных и квазиинвариантных индексов потребительского спроса. 2011 (Рукопись).

4. Горбунов В.К. Математическое  моделирование рыночного спроса. Учебное пособие. – Ульяновск: Изд-во  УлГУ, 2013 (в работе).

5. Руководство по индексу  потребительских цен: теория и практика Вашингтон, МВФ. 2007 - Перевод МВФ “Consumer price index manual: Theory and practice” (ILO, Geneva, 2004). (Доступно в интернете)