Контрольная работа по «Математической статистике»

Следовательно, . Заданный уровень значимости , количество интервалов группировки , и потому p=1-a=0,95 и число степеней свободы k=m-3=7-3=4.

Теперь по таблице  критических точек распределения  отыщем значение .

Сравним значения  и . Имеем 1,205<9,5 , следовательно, < , гипотеза о нормальном распределении признака x подтверждается. Необходимо найти с надежностью g=0,95 доверительные интервалы для оценки математичиского ожидания  и среднего квадратического отклонения признака x генеральной совокупности.

где  - среднее квадратическое отклонение, а величина t определяется по таблице значений функции Лапласа из равенства .

. Из этого равенства по  таблице значений интегральной  функции Лапласа  находим значение t=1,96. Величина = 2,132   и n= 548 ,    .

Вычислим  .

, запишем доверительный интервал для оценки математического ожидания  = .

 

 

 

Задача 3.

Проведите сравнительный  анализ результатов педагогического  эксперимента в контрольных и  экспериментальных группах, используя критерий однородности Пирсона.

,  где  и .

Уровень значимости

Таблица 3.0.

Значение варианты	2	3	4	5	ni
Частота появления  в экспериментальной группе	16	15	16	5	52
Частота появления  в контрольной группе	5	3	11	6	25
nj	21	18	27	11	77

Проведем сравнительный  анализ результатов педагогического эксперимента в контрольных и экспериментальных группах, используя критерий однородности Пирсона: , где 2, 3, 4, 5 - вариационный ряд (оценки, выставляемые по результатам проведения контрольных работ), - частота появления i-ой варианты в экспериментальной группе, - частота появления i-ой варианты в контрольной группе, - объем выборки в экспериментальной группе, - объем выборки в контрольной группе, m=4 - количество различных значений варианты (количество интервалов группировки), k=m-1=3 - количество степеней свободы.

Найдем  и . =16+15+16+5=52, =5+3+11+6=25.

Теперь вычислим .

= =11,20

По таблице критических  точек распределения  , приведенной в приложении 3, для числа степеней свободы k=3 и уровня значимости a=0,05 находим значение =7,81.

Так как  > (11,20>7,81), то согласно правилу принятия решения, делаем вывод, что существуют достоверные различия между результатами проведения контрольных работ в экспериментальной и контрольной группах на уровне надежности g=1-a=1-0,05=0,95.

 

 

В результате проведенного эксперимента было выявлено снижение качества

обучения. 
Задача 4.

Исследуется зависимость коэффициента усвоения знаний, выраженного в процентах ( %) от уровня посещаемости занятий ( %) в группе из четырнадцати учащихся ( - порядковый номер учащегося). Статистические данные приведены в таблице.

Требуется:

1) Найти оценки  параметров линейной регрессии  на . Построить диаграмму рассеяния и нанести прямую регрессии на диаграмму рассеяния.

2) На уровне  значимости  проверить гипотезу о согласии линейной регрессии с результатами наблюдений.

3) С надежностью  найти доверительные интервалы для параметров линейной регрессии.

Таблица 4.0.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
xi	10	8	9	7	7	6	14	6	13	13	12	10	11	11
yi	7	6	6	6	5	4	9	4	8	8	8	7	6	7

 

Найдем точечные статистические оценки и параметров и линейной регрессии Y на X: .

Для уравнения прямой регрессии  по статистическим данным таблицы 4.0 найдем оценки и ее параметров методом наименьших квадратов. Применим известные формулы

, где  , ;

Вычисления организуем в форме следующей расчетной таблицы:

 

 

i
1	10	7	70	100	49
2	8	6	48	64	36
3	9	6	54	81	36
4	7	6	42	49	36
5	7	5	35	49	25
6	6	4	24	36	16
7	14	9	126	196	81
8	6	4	24	36	16
9	13	8	104	169	64
10	13	8	104	169	64
11	12	8	96	144	64
12	10	7	70	100	49
13	11	6	66	121	36
14	11	7	77	121	49
	137	91	940	1435	621
	9,79	6,50	67,14	102,50	44,36

Таким образом, , , , , .

Далее вычисляем ковариации:

;

;

;

и по указанным выше формулам находим

;

.

В результате получаем уравнение  прямой регрессии

.

Проверим согласованность  выбранной линейной регрессии с  результатами наблюдений. Для этого решим следующую задачу проверки статистической гипотезы.

На заданном уровне значимости выдвигается гипотеза об отсутствии линейной статистической связи. Для проверки выдвинутой гипотезы используется коэффициент детерминации и применяется статистика Фишера F.

В случае парной линейной регрессии коэффициент детерминации равен квадрату выборочного коэффициента корреляции Пирсона, т.е. .

Статистика F выражается формулой и при условии справедливости гипотезы имеет классическое распределение Фишера с и степенями свободы.

В соответствии с приведенными формулами вычисляем коэффициент детерминации и наблюдаемое значение статистики Фишера:

,

.

Критическое значение статистики Фишера находим по таблице квантилей распределения Фишера, исходя из равенства , где p=1-a (порядок квантили),  и . В данном случае .

Сравниваем между собой  наблюдаемое и критическое значения статистики Фишера. Так как  , то выдвинутая гипотеза не отвергается, то есть уравнение значимое, достоверное, надежное.

 

Задача 5.

Предположим, что в  педагогическом эксперименте участвовали  три группы студентов по 10 человек  в каждой. В группах применили  различные методы обучения: в первой – традиционный , во второй – основанный на компьютерных технологиях , в третьей – метод, широко использующий задания для самостоятельной работы . Знания оценивались по десятибалльной системе.

Требуется обработать полученные данные об экзаменах и сделать заключение о том, значимо ли влияние метода преподавания, приняв за уровень значимости .

Результаты экзаменов  заданы таблицей, – уровень фактора – оценка -го учащегося обучающегося по методике .

Таблица 5.0.

		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Уровень фактора		8	1	5	2	8	7	4	8	7	10
		5	1	7	10	9	8	9	5	9	2
		6	5	2	7	2	1	3	4	6	7

 

Поместим в таблице  экзаменационные оценки  ( ), их отклонения от общей средней ( ) и квадраты этих отклонений . Уровни фактора означают: - традиционный метод, - применение компьютерной технологии, - увеличение доли самостоятельной работы.

 

Номер испытан.1	Уровни фактора  (различные методы преподавания)
	Оценки			Оценки			Оценки
1	8	2,40	5,76	5	-0,60	0,36	6		0,40	0,16
2	1	-4,60	21,16	1	-4,60	21,16	5		-163,00	26569,00
3	5	-0,60	0,36	7	1,40	1,96	2		-24,60	605,16
4	2	-3,60	12,96	10	4,40	19,36	7		-134,40	18063,36
5	8	2,40	5,76	9	3,40	11,56	2		-3,79	14,39
6	7	1,40	1,96	8	2,40	5,76	1		-12,30	151,29
7	4	-1,60	2,56	9	3,40	11,56	3		-2,24	5,00
8	8	2,40	5,76	5	-0,60	0,36	4		1,46	2,13
9	7	1,40	1,96	9	3,40	11,56	6		6,00	36,00
10	10	4,40	19,36	2	-3,60	12,96	7		7,00	49,00
Груп. сред.2	6	0,4	7,76	6,5	0,9	9,66	4,3		-32,547	4549,549
S	60	4	77,6	65	9	96,6	43	-325,5		45495,5