Построенние моделей экспоненциального сглаживания

Далее смотрим таблицу прогноза по данной модели. Таблица результатов содержит прогнозы и их доверительные интервалы:

	Прогноз	Нижний	Верхний	Ст.ошиб.
73	-0,007768	-0,082426	0,066890	0,044651
74	0,092750	0,013428	0,172073	0,047441
75	-0,070109	-0,149431	0,009214	0,047441
76	-0,001969	-0,081292	0,077353	0,047441
77	-0,042562	-0,121885	0,036760	0,047441
78	-0,011187	-0,090509	0,068136	0,047441
79	-0,033950	-0,113272	0,045373	0,047441
80	0,035475	-0,043848	0,114797	0,047441
81	0,012469	-0,066854	0,091791	0,047441
82	-0,001076	-0,080399	0,078246	0,047441
83	-0,009342	-0,088664	0,069981	0,047441
84	0,007143	-0,072180	0,086465	0,047441

График прогноза выглядит следующим образом:

Проводим анализ остатков. Распределение может быть проверено с помощью нормальных вероятностных графиков. Ниже показан Нормальный график.

И гистограмма остатков, которая показанная ниже, также служит визуальным подтверждением нормальности остатков:

В общем, кажется, что модель достаточно адекватно подходит к данным. Однако имеются и другие важные способы оценки адекватности. Имеются два предположения модели АРПСС: (1) остатки  нормально распределены, что видно из гистограммы, (2) остатки независимы друг с другом, т.е. между ними нет остаточной корреляции, для подтверждения чего необходимо построить АКФ и ЧАКФ.

Из графика видно, что подгонка модели АРПСС очень хорошая, т.к. остатки практически не коррелированы друг с другом.

Преобразовываем и строим модель АРПСС для исходного (непреобразованного) ряда взяв разность с лагом 1 и порядком 1 и натуральный логарифм с лагом 1 и порядком 1. Результаты следующие:

Переменная: Кросс-пр  Преобразования:  ln(x),D(1),D(1)           Модель: (0,1,1)(0,1,1)  Сезонный лаг:  12  Число набл.:70  Начальная SS=1,2976  Итоговая SS=,46726 (36,01%)  MS=,00687   Параметры (p/Ps-авторегрессии, q/Qs-скольз. средн.); выделение: p<.05               q(1)  Qs(1)      Оценка: ,97304 -,6686    Ст.ошиб.: ,02404 ,09008

Ниже представлена таблица с данными прогноза по кросс-продажам мороженного и доверительными интервалами:

 

	Прогноз	Нижний	Верхний		Прогноз	Нижний	Верхний
73	543,5152	473,3453	624,087	79	695,7311	468,3268	1033,555
74	528,6859	433,6561	644,54	80	690,5153	449,8383	1059,962
75	566,2667	442,8047	724,152	81	663,1537	418,5046	1050,82
76	557,4104	418,0234	743,275	82	642,2225	392,9223	1049,698
77	574,7861	414,894	796,297	83	630,8975	374,4351	1063,019
78	650,748	453,2159	934,374	84	675,6865	389,1946	1173,069

На графике прогнозов переменной видим прогноз и доверительные верхние и нижние интервалы. Можно сделать вывод, что амплитуда колебаний временного ряда уменьшится.

 

Ниже представлен график остатков. Необходимо отметить, что анализ остатков чрезвычайно важен и необходим при анализе временных рядов. Процедура оценивания предполагает, что остатки не коррелированы и нормально распределены.

По гистограмме можно сделать вывод о том, что распределение остатков близко к нормальному.

Визуально, исходя из рисунка, который изображен ниже, отмечу, что распределения остатков близки к нормальному значению и можно сделать вывод о целесообразности выбора параметров скользящего среднего и MA с сезонным лагом.

В построенной АКФ видно, что остатки немного выходят за границы белого шума.

Из частной автокорреляционной функции видим, что остатки немного выходят за границы доверительного интервала.

 

Подгонка модели АРПСС очень хорошая, т.к. остатки имеют примерно равную вариацию на всем протяжении ряда и очевидного тренда или сдвига в них нет. Для идентификации в процессе построения стационарного временного ряда используются функция автокорреляции и частная функция автокорреляции.

Данные модели АРПСС для временного ряда кросс-продаж с 1 января 2004 года по 31 декабря 2010 года, с прогнозом, построенным на 1 квартал 2011 года (зима), показывают о возможности спада спроса. Это является вполне реальной перспективой, т.к. лишь небольшой процент покупателей предпочтет покупать мороженное в зимний период.

 

Заключение

В заключение нужно отметить, что из всех построенных моделей экспоненциального сглаживания наиболее адекватно представили прогноз модели с экспоненциальным трендом. Для наглядности ниже представлен график прогнозов по двум наилучшим моделям.

Т.е. по результатам прогноза модели с аддитивной сезонностью и экспоненциальным трендом начисленная премия по ОСАГО, в следующие 12 недель будет продолжать расти. Также и по модели с мультипликативной сезонностью и экспоненциальным трендом начисленная премия будет расти, но более умеренными темпами, нежели в модели с аддитивной сезонностью.

Другой обычной мерой надежности модели является сравнение прогноза, построенного по урезанному ряду с "известными (исходными) данными". В которой модель с аддитивной сезонной компонентой показала приближенные к реальности значения.