Практическое задание №5 по предмету «Статистика»

Практическое задание  №5 по предмету «Статистика»

 

 

                                                                                     Выполнил: ТОКПАКОВ Р.Ж.

 

1 курс 2 г.о. ДО, специальность  «Менеджмент»

 

1. Значение и виды средних величин. Простая и взвешенная средняя арифметическая и средняя гармоническая

 

Средняя величина представляет собой обобщенную количественную характеристику признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и  времени. Средние величины исчисляются  для характеристики уровня цен, заработной платы, основного капитала, численности  населения и др. однородной совокупности социально-экономических явлений.

Требования, предъявляемые  к средним величинам:

– средняя должна характеризовать  качественно однородную совокупность;

– средние должны исчисляться  по данным большого числа единиц, составляющих совокупность, то есть отображать массовые социально-экономические явления.

Для более глубокого научного анализа изучаемых явлений исчисляют  средние величины не только всей совокупности, но и по составляющим эту совокупность. Задача статистики состоит в том, чтобы дать смысловую социально-экономическую  оценку результатам расчетов средних  показателей.

Средняя величина всегда именованная, она имеет ту же размерность, что  и признак у единиц совокупности.

В экономических исследованиях  применяются две категории средних: степенные средние и структурные  средние.

 

Наименование   средней	Формула средней
	Простая	Взвешенная
Арифметическая
Гармоническая
Геометрическая
Квадратическая

 

х – индивидуальное значение признака,

n – число значений  признака.

К степенным средним относятся:

• средняя арифметическая,
• средняя гармоническая,
• средняя геометрическая,
• средняя квадратическая.

 

Структурные средние используются для более полной характеристики совокупности. К ним относятся:

• Мода – это варианта с наибольшей частотой (М₀);
• Медиана – это варианта, делящая совокупность на две равные части (Ме).
• Квартили – это варианта, делящая совокупность на четыре равные части;
• Децили – это варианта, делящая совокупность на десять равных частей.

 

Средняя обозначается через . Черта вверху символизирует процесс осреднения индивидуальных значений. Частота – повторяемость отдельных значений признака – обозначается буквой f.

Различные средние выводятся  из общей формулы степенной средней:

при k = 1 - средняя арифметическая; k = -1 - средняя гармоническая; k = 0 - средняя  геометрическая; k = -2 - средняя квадратическая. Средние величины бывают простые и взвешенные. Взвешенными средними называют величины, которые учитывают, что некоторые варианты значений признака могут иметь различную численность, в связи с чем каждый вариант приходится умножать на эту численность. Иными словами, «весами» выступают числа единиц совокупности в разных группах, т.е. каждый вариант «взвешивают» по своей частоте. Частоту f называют статистическим весом или весом средней.

Вопрос о выборе средней  решается в каждом отдельном случае, исходя из задач исследования и наличия  исходной информации.

 

Средняя арифметическая (простой) - самый распространенный вид средней. Она используется, когда расчет осуществляется по несгруппированным статистическим данным, где нужно получить среднее слагаемое. Средняя арифметическая - это такое среднее значение признака, при получении которого сохраняется неизменным общий объем признака в совокупности. Формула средней арифметической (простой) имеет вид:

где х1,х2,х3,…,хn - значения усредняемого признака;

n - число признака.

 

Средняя арифметическая взвешенная используется, когда данные сгруппированы, а отдельные значения признака встречаются неодинаковое число раз.

Средняя арифметическая взвешенная вычисляется по формуле

 

Среднюю гармоническую называют обратной средней арифметической, поскольку эта величина используется при k = -1.Простая средняя гармоническая используется тогда, когда веса значений признака одинаковы. Ее формулу можно вывести из базовой формулы, подставив k = -1:

В статистической практике чаще используется гармоническая взвешенная, формула которой имеет вид:

Данная формула используется в тех случаях, когда веса (или  объемы явлений) по каждому признаку не равны. В исходном соотношении  для расчета средней известен числитель, но неизвестен знаменатель.

Средняя геометрическая находит свое применение при определении средних темпов роста (средних коэффициентов роста), когда индивидуальные значения признака представлены в виде относительных величин. Она используется также, если необходимо найти среднюю между минимальным и максимальным значениями признака (например, между 100 и 1000000). Существуют формулы для простой и взвешенной средней геометрической. Для простой средней геометрической:

 

 

Для взвешенной средней  геометрической:

 

Основной сферой применения средней квадратической величины является измерение вариации признака в совокупности (расчет среднего квадратического отклонения). Формула простой среднейквадратической:

Формула взвешенной средней квадратической:

 

В итоге можно сказать, что от правильного выбора вида средней  величины в каждом конкретном случае зависит успешное решение задач статистического исследования.

Выбор средней предполагает такую последовательность:

а) установление обобщающего показателя совокупности;

б) определение для данного  обобщающего показателя математического соотношения величин;

в) замена индивидуальных значений средними величинами;

г) расчет средней с помощью  соответствующего уравнения.

 

 

2. Расчет средней в дискретных и интервальных рядах распределения

 

Для вычисления средней в  дискретных рядах варианты нужно  умножить на частоты и сумму произведений разделить на сумму частот, то есть по средней арифметической взвешенной

 

Для вычисления средней в  интервальных рядах нужно перейти  к дискретному ряду, то есть по каждой группе вычислить значение интервала, заменить интервал его средним значением  и вычислить по формуле

 

 

 

Для того чтобы проверить  правильность выбора формул, надо учитывать:

– среднее значение признака не должно выходить за пределы минимального и максимального значений признака совокупности;

– среднее значение ближе  к тому значению признака, которому соответствует большая частота.

Степенные средние дают обобщающую характеристику совокупности и являются абстрактными величинами, полученными  расчетным путем, в то же время  эти средние не отражают всех особенностей совокупности, они могут быть различными для одинаковых совокупностей или  иметь одинаковое значение для совокупности с различным строением.

Структурные средние используются для более полной характеристики совокупности.

Выбор вида средней величины в каждом конкретном случае определяется целью исследования и характером имеющихся данных.

Для дискретного ранжированного ряда значения признака расположены  в порядке возрастания или  убывания, место медианы в ряду определяют по формуле

,

где n – число членов ряда.

Если же ряд распределения  состоит из четного числа членов, то за медиану принимают среднюю  арифметическую из двух средних значений.

В интервальном ряду мода определяется по формуле

,

где х_м0 – нижняя граница модального интервала;

f_м0 – частота модального интервала;

f_(м0-1) – частота интервала, предшествующего модальному;

f_(м0+1) – частота интервала, следующего за модальным.

В интервальном ряду распределения  для нахождения медианы сначала  указывают интервал, в котором  она находится.

Медианным является первый интервал, в котором сумма накопленных  частот превысит половину общего числа  наблюдений.

Численное значение медианы  вычисляется по формуле

,

где n – сумма частот ряда;Х_ме – нижняя граница медианного интервала;

i – величина интервала;S_(mе-1) – накопленная частота интервала, предшествующего медианному;f_mе – частота медианного интервала.

Мода, медиана, средняя для  дискретного ряда распределения  и для интервального ряда называются показателями центра распределения, т.к. они используются для анализа  вариационных рядов.

 

3. Расчет средней по «способу моментов»

 

Расчет средней по способу моментов основан на свойствах средней арифметической. В качестве условного ноля – X₀ выбирают середину одного из центральных интервалов, обладающего наибольшей частотой.Этот способ используется только в рядах с равными интервалами.

Вышеприведенные свойства средней арифметическойпозволяют упростить расчеты. Для вычисления среднейсначала уменьшают (увеличивают) варианты на одно и тоже число, затем полученные величины уменьшают(увеличивают) в одно и то же число раз и вычисляютсреднюю из них, а на полученный конечный результатнаносят поправки, но в обратном порядке. Этот способвычисления средней называется способом моментов илиспособом отсчета от условного нуля.

Допустим, что все варианты (х) сначала уменьшены на одно и  то же число А, а затем уменьшены в В раз. Наибольшее упрощение достигается, когда в качестве А выбирается значение середины интервала, обладающего наибольшей частотой, а в качестве В – величина интервала (для рядов с одинаковыми интервалами). Величина А называется началом отсчета, поэтому этот метод вычисления средней называется способом отсчета от условного нуля или способом моментов.

После такого преобразования получим новый вариационный ряд  распределения, варианты которого равны  . Их средняя арифметическая, называемая моментом первого порядка, выражаетсяформулой и согласно второго и третьего свойств средней арифметической равна средней из первоначальных вариант, уменьшенной сначала на А, а потом в В раз, т. е. .

Для получения действительной средней (средней первоначального  ряда)нужно момент первого порядка  умножить на В и прибавить А:

 

 

4. Известны данные  по двум бригадам:

 

№ п.п	Урожайность, ц с га	Посевная площадь, га
1	18	200
2	23	100

Определить среднюю урожайность (ц с га) по двум бригадам?

 

Решение:

Среднюю урожайность находим  по формуле среднейарифметической взвешенной

 

 

Средняя урожайность по двум бригадамсоставляет 19,7 ц/га.

 

5. Известны данные  по двум бригадам:

 

№ п.п	Урожайность, ц с га	Валовой сбор,ц
1	20	400
2	25	1000

Определить среднюю урожайность (ц с га) по двум бригадам?