Прогнозирование в регрессионных моделях

Рис. 3.2-. Прогнозирующая функция для двух процессов (1,1,0):

а — прогнозы процесса (1,1,0) (1 — 0,8 )  , б — прогнозы процесса (1,1,0) (1 — 0,8 ) ( — 0,2) =  .

Нестационарные модели авторегрессии  порядка  . Для модели

затухать до своего среднего значения при прогнозировании на несколько шагов вперед будет уже  -я разность процесса. Среднее   будет, как правило, предполагаться нулевым, если только не появится каких-либо свидетельств в пользу противного. Если это необходимо, можно, как указывалось в гл. 4, ввести ненулевое среднее, заменив в модели   на  . Например, рассмотрим модель

                                                     

После замены   на  , переходя к условным математическим ожиданиям при известном на момент  прошлом, легко получим и следующими за ним)

Эта формула показывает, что прогнозируемая разность экспоненциально убывает от начального значения  до своего среднего значения  . Суммируя такие выражения для  , изменяющегося от 1 до   получаем прогнозирующую функцию

которая асимптотически приближается к прямой линии

На рис, 5.10 показаны прогнозы для двух случаев  и  . Мы увидим в гл. 7, что модель (5.4.17)  с   и   хорошо описывает ряд  ; прогнозы, основанные на этой модели, уже демонстрировались на рис. 3.1 и 3.2. Рассмотрим теперь прогнозирование некоторых важных смешанных моделей.

В заключение остановимся  на задаче прогнозирования, когда ошибки в исходной модели (1.1), 17.2) коррелированы по времени, а именно, образуют авторегрессионный процесс первого порядка:

?t = рЄі-І + щ, t = l,...,n,n + l, (1.13)

где {ft, t = l,...,n,n + 1} — последовательность независимых нормально распределенных случайных величин с нулевым средним и постоянной дисперсией а2, \р\ < 1. Покажем, как можно использовать информацию об ошибках (7.13) для улучшения прогнозирования. Предположим, как и в начале этого раздела, что все параметры (/?, р) известны. Но теперь в качестве оценки у величины уп+1 возьмем не x'n+i(3, как раньше, а

Нетрудно проверить, что

е = Уп+1 - У = fn+l. откуда сразу следует, что Ее = 0 и

Ее2 = al = (1 - pV2. (1.15)

Таким образом, удается уменьшить  ошибку прогноза по сравнению со случаем  некоррелированных ошибок.

Реально параметры регрессии  неизвестны, поэтому при прогнозировании величины уп+і в формуле (1.14) значения /3 и р заменяют их оценками, полученными с помощью, например, одной из процедур, описанных ранее:

У = <+i3 + r{yn - x'JB). (1.16)

Мы не можем дать аналитическое  выражение для среднеквадратичной ошибки прогноза.

На практике используют формулу (1.15) с заменой величины сг2 на ее оценку, получаемую из регрессии (1.11), (1.12).

Таким образом, прогноз у величины Уп+1 в модели (1.1), (1.2) задается par венством (1.3), где ^3 — МНК-оценка вектора ^3, полученная в регрессии (1.1); 2)эта оценка обладает минимальной среднеквадратичной ошибкой в классе линейных несмещенных оценок величины yn+1;

3)среднеквадратичная ошибка  прогнозирования определяется равенством (1.8);

4)при наличии ошибок  в независимых переменных ошибка  прогнозирования возрастает в соответствии с формулой (1.12);

5)если ошибки в модели (1.1), (1.2) образуют авторегрессионный процесс первого порядка, то можно уменьшить ошибку прогнозирования, воспользовавшись формулой (1.16). (9,с.512)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК  ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1.Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. М., "Мир", 2006.

2.Айвазян С.А., Мхитарян B.C. Прикладная статистика и основы эконометрики. М., "Юнити", 2008.

3.Боровиков В.П. , Ивченко Г.И. Прогнозирование в системе Statistica в среде Windows. M., "Финансы и статистика", 2009.

4.Дуброва Т.А. Статистические методы прогнозирования в экономике. МЭСИ (МВБШ).- М,, 2003.

5.Дуброва Т.А. Статистические методы прогнозирования. УПП., МЭСИ-М, 2000.

6.Кендэл М. Временные ряды. М., "Финансы и статистика", 1981.

7.Кильдишев Г. С, Френкель А. А. Анализ временных рядов и прогнозирование. М., "Статистика", 1973.

8.Мхитарян B.C. Прикладная статистика и основы эконометрики. М.; ЮНИТИ, 2008.

9.Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий АЛ. Эконометрика. Начальный курс: Учеб. — 6-е изд., перераб. и доп. — М.: Дело. — 576 с., 2004 - перейти к содержанию учебника

10.Пугачев М.И., Ляпунцов Ю.П. Методы социально-экономического прогнозирования. - М., Экономический факультет МГУ, ТЕИС, 1999.

11.Пукашин Ю. П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования. М., "Статистика", 1979.