Структурные средние величины

2.1 Медиана 

     Медиана (Ме) — величина варьирующего признака, делящая совокупность на две равные части — со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы.

     В ранжированном вариационном ряду с  нечетным числом единиц совокупности медианой является значение признака у средней в ряду единицы. Медиана  не зависит от значений признака, стоящих  на краях вариационного ряда.

     В интервальном вариационном ряду для  нахождения медианы применяется формула: 

 

      , 

     где X_Me - нижняя граница интервала, в котором находится медиана;

     f´_Me - число наблюдений (или объем взвешивающего признака), накопленное до начала медианного интервала;

     f_Me - число наблюдений или объем взвешивающего признака в медианном интервале (в абсолютном или относительном выражении);

     i - величина медианного интервала;

      - половина от общего числа  наблюдений или половина объема  того показателя, который используется  в качестве взвешивающего в формулах расчета средней величины (в абсолютном или относительном выражении).

     Примером  такого ряда может служить месячная заработная плата рабочих цеха. 

     Таблица 2.2.1

Порядковый  номер рабочего	1	2	3	4	5	6	7	итого
Месячная  заработная плата, руб. (x)	90	105	148	160	175	220	250	1148

 

     В этом ряду среднее место по размеру  заработной платы занимает рабочий  с номером 4, получивший 160 руб. Эта величина и есть медиана. Меньше и больше медианы одинаковое число вариантов. При нечетном числе вариантов (п) порядковый номер, которому соответствует медиана, определяется по формуле  

 

      . 

     Когда количество вариантов в ряду четное число, медианой считают один из тех  вариантов, который по своей величине мог бы находиться посередине между вариантами с номером и . Так, если бы в цехе был еще и восьмой рабочий с заработной платой в 276 руб., то медиана находилась бы посередине между четвертым и пятым порядковыми номерами. В таких случаях принято считать, что в промежутке между номерами и идет равномерное нарастание или убывание вариантов. Поэтому за медиану принимают среднюю арифметическую из вариантов с номерами и . В данном примере  

       

     Смысл полученного результата такой: одна половина рабочих получила за месяц  меньше, а другая — больше 167,5 руб.

     Следовательно, медиана — обобщающий показатель распределения совокупности, уровень  признака, который делит совокупность на две равные части, и представляет обычно интерес в анализе, как это видно из приведенного примера.

     Медиана, в отличие от средней, не является абстрактной величиной. Она находится  точно в середине ряда, представляет собой реальное значение признака, соответствует определенному варианту и при этом наиболее точна в случае нечетного числа членов совокупности. Медиана как обобщающая характеристика совокупности не может, однако, заменить среднюю. Медиана — это центр распределения численности единиц совокупности, а средняя — центр распределения отклонений значений признака от равнодействующей. Величина медианы определяется лишь одним или двумя серединными значениями признака. Изменения всех остальных величин, если они не меняют последовательности членов в центре ряда, не находят отражения в медиане. Так, если месячную заработную плату наименее оплачиваемых двух рабочих поднять на 40 руб., это не скажется на медиане, несмотря на то, что тем самым значительно повышаются доходы двух рабочих цеха и существенно выравнивается заработная плата членов коллектива. Поэтому медиана, представляющая определенный интерес в анализе, не может заменить среднюю, которая при замене реального коллектива абстрактным коллективом с уравненными значениями признака оставляет неизменным определяющий показатель совокупности.

     Медианой  целесообразно пользоваться, когда  не известны границы открытых крайних  интервалов вариационного ряда, на которые приходится значительная часть  единиц всей совокупности, так как  средняя в этих случаях страдает значительной неточностью. При исчислении же медианы отсутствие сведений об этих границах не влияет на точность расчета. 

     2.2 Мода

     Мода (Мо) - это вариант признака, который при данном сочетании причин разного порядка чаще всего встречается в вариационном ряду. Например, цена, по которой чаще всего реализуется данный товар на рынке, является модой или модальной ценой. Месячная заработная плата, которая чаще всего встречается в данном коллективе, является для него модальной заработной платой.

     Мода - типичная величина, в том смысле, что она встречается в совокупности или объективно может встретиться чаще других. Она имеет важное значение для решения некоторых задач, например какой высоты должны быть предназначенные для массового потребления станки, столы и т. п., какое количество детей чаще всего встречается в семье, какое время дня является «пиковым» для работы предприятий общественного питания, электростанций, городского транспорта  и др., какой уровень выполнения плана наиболее часто встречается в том или ином коллективе рабочих или   предприятий и т. п.

     Мода  соответствует определенному значению признака. На практике моду находят, как  правило, по сгруппированным данным.

     В дискретном ряду мода определяется без  вычисления как значение признака с  наибольшей частотой.

     В интервальном вариационном ряду, тем  более при непрерывной вариации признака, строго говоря, каждое значение признака встречается только один раз. Модальным интервалом является интервал с наибольшей частотой. Внутри этого  интервала находят условное значение признака, вблизи которого плотность распределения, то есть число единиц совокупности, приходящееся на единицу измерения варьирующего признака, достигает максимума. Это условное значение и считается точечной модой. Логично предположить, что такая точечная мода располагается ближе к той из границ интервала, за которой частота в соседнем интервале больше частоты в интервале за другой границей модального интервала. Отсюда имеем обычно применяемую формулу:\ 

      , 

     X_Mo - нижнее значение признака X в модальном интервале;

     i - величина интервала;

     f_Mo - частота (частость) повторения признака X в модальном интервале;

     f_Mo-1 ,f_Mo+1 - соответственно частоты (частости) признака для интервала, предшествующего модальному и следующего за ним. 

 

      Пример: Таблица 2.2.2

Удойность в среднем от одной коровы за год, кг	Процент хозяйств
До 1000	7,6
1000-1649	9,7
1650-1999	16,1
2000-2499	37,5
2500-2999	20,6
3000-3999	8,2
4000 и  выше	0,3
	100

 

     По  табл.2.2.2. модальный интервал составляет 2000 - 2499шт, так как ему соответствует наибольшая частота 37,5%, нижняя его граница х_о = 2000, а величина интервала h = 500. Следовательно,  

       

     Это значит, что чаще всего встречаются  хозяйства, у которых надой в  среднем от одной коровы составляет 2280 кг.

     Для решения практических задач наибольший интерес представляет обычно мода, выраженная в виде интервала, а не дискретным числом. Объясняется это  назначением моды, которая должна выявить наиболее распространенные размеры явления. Выраженная в виде дискретного числа мода часто не отвечает этому требованию. Так, в нашем примере процент хозяйств, у которых годовой надой в среднем на одну корову составляет 2280 кг, хотя и больше, чем хозяйств с любым другим уровнем надоя, но сам по себе он может быть небольшим. Хозяйств же с удойностью в пределах интервала 2000 - 2499 кг - 37,5%, а 2000 - 3000 кг - 58,1, - т. е. весьма значительный процент. 
 
 

     Заключение 

     Средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типический уровень  явления. Он выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности.

     Средние величины делятся на два больших  класса: степенные средние, структурные  средние.

     В качестве структурных средних рассматриваются  мода и медиана.

     Главное требование к формуле расчета среднего значения заключается в том, чтобы все этапы расчета имели реальное содержательное обоснование; полученное среднее значение должно заменить индивидуальные значения признака у каждого объекта без нарушения связи индивидуальных и сводных показателей. Иначе говоря, средняя величина должна исчисляться так, чтобы при замене каждого индивидуального значения осредняемого показателя его средней величиной оставался без изменения некоторый итоговый сводный показатель, связанный тем или другим образом с осредняемым. Этот итоговый показатель называется определяющим, поскольку характер его взаимосвязи с индивидуальными значениями определяет конкретную формулу расчета средней величины. 

 

      Использованная литература 

1. Теория  статистики: Учебно – методический комплекс / Под ред. В.В. Глинского, В.Г. Ионина, Л.И. Яковенко. – Новосибирск: НГУЭУ, 2007. – 108 с.
2. Общая теория статистики: Учебник / А.Я. Боярский, Л.Л. Викторова, А.М. Гольдберг и др.; Под ред. А.М. Гольдберга, В.С. Козлова. – М.: Финансы и статистика,1985. – 367 с.
3. Громыко Л.Г.Общая теория статистики: Практикум. – М.: ИНФРА – М,1999. – 139 с.
4. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учебник / Под ред. чл.-корр. РАН И.И.Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 1996. – 368 с.: ил.
5. Пасхавер И.С. Средние величины в статистике. – М.: Статистика, 1979. – 279 с., ил.
6. Практикум по теории статистики: Учеб. пособие / Под ред. Р.А. Шмойловой. – М.; Финансы и статистика, 2001. – 416 с.: ил.
7. Статистика: учебник / Л.П. Харченко, В.Г. Ионин, В.В. Глинский и др.; под ред. канд. экон. наук, проф. В.Г. Ионина. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: ИНФРА-М, 2008. – 445 с. – (Высшее образование).
8. Харченко Л.П. История статистики. Развитие методологии статистической науки: Учебное пособие. – НГУЭУ, 2005. – 144 с.