Создание полосового фильтра на линии с распределенными параметрами

Лабораторная работа № 3 по курсу  «Электромагнитные поля и волны»

СОЗДАНИЕ ПОЛОСОВОГО ФИЛЬТРА НА ЛИНИИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

1. Цель работы

Цель работы заключается в изучении методики проектирования полосовых фильтров на элементах с распределенными параметрами на основе последовательных преобразований фильтра-прототипа нижних частот.

2. Трансформация Сопротивлений

Отрезок линии, нагруженный на одном  конце на некоторое сопротивление, обладает трансформирующими свойствами, поскольку его входное сопротивление отличается от сопротивления нагрузки, что создает определенные трудности при расчете линий передачи, однако оказывается полезным, если правильно используется разработчиком. Проиллюстрируем особенности, связанные с явлением трансформации, на следующих примерах. Возможность трансформировать заданное сопротивление нагрузки с помощью отрезка линии передачи определенной длины позволяет практически реализовывать разнообразные согласующие цепи. Однако измерение неизвестного сопротивления нагрузки усложняется, поскольку отрезок линии между нагрузкой и измерительным устройством трансформирует это сопротивление. Поэтому результаты измерений требуют дополнительной корректировки, прежде чем ими можно будет воспользоваться. В обоих случаях необходимо владеть методом, позволяющим учесть явление трансформации.

 

Рисунок 1 Отрезок линии передачи, нагруженный на сопротивление Z_н

 

Распределение напряжения вдоль линии  передачи с распределенными параметрами описывается выражением

 

V(х)=Аехр(–gх)+Вехр(gх). (1)

 
где A, B – амплитуды падающей и отраженной волн, соответственно, g – коэффициент распространения, ось, вдоль которой расположена линия передачи.

Полный  ток I в некотором сечении линии (рисунок 1) равен сумме токов, которые создаются падающей волной I_пад, распространяющейся в направлении от сечениях x=0 до х=l, и отраженной волной I_отр в сечении х=l, где подключено сопротивление Z_н:

 

I(x)=I_пад(x)-I_отр(x),

. (2)

 

В сечении x=l отношение величин V_н=V(l) и I_н=I(l) из (1) и (2) должно быть равно сопротивлению

 

, (3)

 
откуда

. (4)

 

Множитель ехр(–gl) в правой части последнего выражения характеризует изменение амплитуды и фазы волны, обусловленное тем, что волна проходит по линии двойной путь: от источника до нагрузки и обратно.

Теперь перейдем к рассмотрению токов и напряжений в сечении  х=0. Полагая х=0, запишем отношение  выражений (1) и (2):

 

,

 
откуда

 

 (5)

 

Здесь Z_вх – входное сопротивление отрезка линии (см. рис.1). Подставляя (4) в (5), получаем

 

 (6)

 

Прервем преобразования и выпишем  ряд известных соотношений  для гиперболических функций:

 

,

,

.

 

Вернемся к равенству (6), подставив в него полученные выражения и сократив в числителе и знаменателе общий множитель 2ехр(–gl):

 

 (7)

 

Выражение (7) устанавливает искомую связь между сопротивлением нагрузки на конце линии длиной l и входным сопротивлением последней. Равенство (7) можно записывать по-разному. Например, разделив числитель и знаменатель в правой части (7) на Z_вch(gl), получим

 

. (8)

 

Из (8) следует, что при равенстве сопротивлений нагрузки и волнового (Z_н=Z_в) входное сопротивление Z_вх линии совпадает с волновым, т. е. Z_вх=Z_в. В этом случае исчезает волна, отраженная от нагрузки, и говорят, что линия идеально согласована.

Расчеты по формуле (8) проводят либо используя таблицы функции th(gl), либо опираясь на графическое представление. Следует учитывать, что в общем случае величина g комплексна, т. е. g=a+jb, и гиперболический тангенс от комплексного аргумента принимает комплексные значения. При численных расчетах можно воспользоваться известной формулой из тригонометрии

 

.

 

В последнем выражении действительная и мнимая части разделены.

3. Режим Полного Отражения

Пусть к входу линии подключен  генератор гармонических колебаний  с фиксированной частотой, являющийся источником распространяющейся в линии волны. Если длина линии бесконечна, эта волна никогда не достигнет конца линии. Какое бы расстояние ни прошла волна, ее структура остается неизменной, однако амплитуда волны будет меньше, чем на зажимах генератора, поскольку из-за потерь в линии, обусловленных конечностью сопротивления проводников и несовершенством диэлектрика, часть энергии теряется. В линии без потерь сохраняются неизменными как структура, так и амплитуда волны; имеет место лишь задержка во времени, величина которой пропорциональна пути, пройденному волной вдоль линии.

Все реальные линии имеют конечную длину и вносят затухание. Ограничимся  случаем, когда потерями в линии  можно пренебречь. Попробуем ответить на вопрос, что происходит в линии, когда волна от генератора достигает разомкнутого конца линии? Так как потери в линии равны нулю, вся энергия волны доходит до конца линии, где ток при идеальном режиме холостого хода равен нулю. Поэтому какое-либо рассеяние энергии на конце линии невозможно. В результате вся энергия волны, распространяющейся вдоль линии в прямом направлении (падающая волна), должна вернуться обратно к генератору (иначе нарушается закон сохранения энергии), т. е. в сечении, где линия разомкнута, образуется такая обратная (отраженная) волна, что полный ток на разомкнутом конце обращается в нуль. Поскольку отраженная волна распространяется по той же самой линии, что и падающая, но в обратном направлении, в отдельных сечениях линии она суммируется с падающей и в результате образуются максимумы (пучности). В тех сечениях, где волны вычитаются, образуются минимумы (узлы). На разомкнутом конце линии располагаются узел тока и пучность напряжения. Во всех сечениях, где образуются пучности тока, располагаются узлы напряжения, и наоборот. Процедура формирования стоячей волны при полном отражении иллюстрируется на рис.2.

 

Рисунок 2 Образование стоячей волны в линии передачи без потерь при идеальном отражении от ее конца

 

Из левой диаграммы 1 на рис. 2 видно, что в начальный момент времени падающая и отраженная волны тока противофазны, а суммарный ток в любом сечении линии равен нулю. В тот же момент времени падающая и отраженная волны напряжения синфазны (правая диаграмма 1), суммарное напряжение в отдельных сечениях вдвое превышает то, которое имеет место в бесконечно длинной либо идеально согласованной линии. Линия конечной длины идеально согласована, когда сопротивление нагрузки на ее конце равно волновому сопротивлению линии. Из диаграммы 2, соответствующей более позднему моменту времени, видно, что отраженная волна прошла справа налево расстояние, равное l/4, а падающая - то же расстояние, но в обратном направлении. В результате обе волны оказались в фазе и в отдельных сечениях суммарный ток стал больше вдвое, чем ток падающей или отраженной волны (левая диаграмма 2). В тот же момент времени падающая и отраженная волны напряжения полностью гасят друг друга в любом сечении линии. Аналогично строятся распределения тока и напряжения, представленные на диаграммах 3 и 4. В любом сечении линии зависимость напряжения (тока) от времени носит синусоидальный характер. Суперпозиция падающей и отраженной волн образует в линии без потерь чисто стоячую волну. При идеальном коротком замыкании на конце линии построения ведутся тем же способом. В режиме холостого хода на рис.2 достаточно поменять местами распределения тока и напряжения.

4. Линия При Чисто Активном Либо Реактивном Сопротивлении Нагрузки

При экспериментальном исследовании структуру стоячей волны в том виде, как она изображена на рис.2, получить трудно. Металлический пробник, с помощью которого ведется исследование, размещается внутри или вблизи линии передачи так, чтобы он находился под воздействием электрического либо магнитного поля. Ток или напряжение, наводимые в пробнике меняющимся электромагнитным полем, обычно усредняются измерительным прибором, так что сохраняется информация лишь об амплитуде компонент поля и теряется информация о фазе. Поэтому распределение тока и напряжения вдоль линии в режиме стоячих волн изображают, как показано на рис.3.

Рисунок 3 Распределение напряжения и тока в линии передачи, нагруженной на идеально отражающую нагрузку

 

При сдвиге на четверть длины волны от сечения с коротким замыканием согласно рис.3 напряжение достигает максимума, а ток будет равен нулю. Точно такие же значения напряжение и ток принимают на разомкнутом конце линии. Следовательно, распределение напряжения и тока в разомкнутой на конце линии без потерь не изменится, если подключить к разомкнутому концу четвертьволновый короткозамкнутый отрезок линии. Кроме того, как следует из рис.3, структура стоячей волны повторяется через каждые полволны. Оба эти свойства линии находят практическое применение.

В предыдущем разделе было показано, что в режиме стоячей волны напряжение в пучности вдвое превышает напряжение падающей волны. Кроме того, в результате интерференции  падающей и отраженной волн вдоль линии появляются сечения, в которых при отсутствии потерь в линии напряжение равно нулю. Реальные линии обязательно вносят затухание, т.е. амплитуда как падающей, так и отраженной волны монотонно уменьшается по мере их перемещения вдоль линии. В результате напряжение (ток) в пучностях не достигает удвоенного значения, а в узлах становится невозможной полная компенсация. Нули "заплывают", как показано на рис.4.

Рисунок 4 Распределение напряжения в линии при наличии потерь.

 

Для характеристики режима работы линии вводят понятие  о коэффициенте стоячей волны  по напряжению (K_стU) или просто коэффициенте стоячей волны (K_ст), равном отношению напряжений в максимуме и минимуме. В линии без потерь это отношение равно бесконечности в режиме стоячих волн. В реальных линиях с потерями величина К_ст всегда конечна. Все сказанное о К_ст можно без изменений перенести на распределение стоячих волн тока.

В практических ситуациях обычно лишь часть энергии  падающей волны отражается от нагрузки. Уровень отражений зависит от характера и величины сопротивления нагрузки. Поглощение (полное или частичное) энергии падающей волны возможно, если только активная часть сопротивления нагрузки отлична от нуля. На рис.5,б представлено аналогичное изображенному на рис.2 распределение напряжения, но с учетом неполного отражения.

 

 

Рисунок 5 Стоячие волны в пинии при неполном отражении на конце пинии

 

Как видно из рис.5, в,

 

. (9)

 

В эту формулу можно подставлять  как амплитудные, так и действующие ( от амплитудного) значения.

Нагрузкой может быть сосредоточенное  сопротивление Z_н либо отрезок линии с волновым сопротивлением Z_н, отличным от Z_в. В обоих случаях отражение части энергии падающей волны происходит в том сечении, где расположена нагрузка. На рис.6 это сечение АА'. Доля энергии падающей волны, которая не претерпела отражений, распространяется дальше за это сечение.

 

 

Рисунок 6 Неоднородность в месте подключения к линии сосредоточенного сопротивления (а), элемента с распределенными параметрами (б) и токи в месте подключения (в)

 

Запишем уравнения Кирхгофа в сечении АА' для тока:

 

, (10)

 
и напряжения:

 

V_пад+V_отр=V_прош. (11)

 

Подставляя  значение V_прош из (11) в (10), определяем коэффициент отражения

 

. (12)

 

Так как  сопротивления Z_н и Z_в в общем случае комплексны, то комплексна и величина Г, т.е.

 

Г=|Г|ехр(jq). (13)

 

Так как  согласно (9)

 

, (14)

 
то из (12)

 

. (15)

 

Отметим, что величина K_стU в отличие от Г всегда действительна и меняется от единицы при идеальном согласовании (Z_н=Z_в) до бесконечности при коротком замыкании (Z_н=0) или холостом ходе (Z_н=¥).

Найдем соотношение, связывающее  величину K_стU с долей мощности, поступающей в нагрузку. Из закона сохранения энергии следует, что мощность падающей волны равна сумме мощностей, рассеянной в нагрузке и отраженной:

 

P_пад=P_н+P_отр.

 

Предполагается, что потери в линии  равны нулю. Следовательно,

 

. (16)

 

Второе слагаемое в правой части (16) равно отношению (V_отр/V_пад)², так как мощность пропорциональна V²/Z. Таким образом, отношение мощностей – поступившей из линии в нагрузку и падающей связано согласно (15) с K_стU равенством

 

. (17)

 

Наличие квадратичного множителя в знаменателе (17) – отражение того факта, что мощность, поступающая в нагрузку из линии, быстро уменьшается по мере возрастания величины K_стU (по сравнению с 1). Например, при K_стU=3 только 75 % мощности падающей волны поглощается в нагрузке, а при K_стU=20 – лишь 18 %. В реальных устройствах K_стU обычно не превышает 1,1, что соответствует передаче в нагрузку 99,8 % мощности.

 

Рисунок 7 Определение входного сопротивления отрезка линии по коэффициенту отражения

 

В ряде случаев  необходимо определять входное сопротивление  линии по известному значению коэффициента отражения. Обратимся к рис.7, где указаны все величины, необходимые для анализа. В принятых обозначениях

 

. (18)

 

Перепишем равенство (12) в виде

 

 
и учтем, что

 

Г_вх=Г₁exp(–2gl). (19)

 

Тогда

 

.

 

Если потерями можно пренебречь, то в (19) и далее

 

Г_вх=Г₁exp(–j2bl). (20)

 

При решении задач, связанных с  длинными линиями, широко используется графическое представление в  виде диаграмм зависимости входного сопротивления от коэффициента отражения. Такие представления получили название диаграмм Смита.

5. Четная И Нечетная Моды В Связанных Полосковых Линиях

Пусть в симметричной либо микрополосковой  линии две металлические полоски  равной ширины располагаются, как показано на рис.8. Поскольку электрические поля, возникающие вокруг этих проводников, существуют не только в непосредственной близости от каждого из них, появляется взаимодействие между ними за счет краевых полей, величина которых зависит от разности потенциалов между проводниками и их формы, расстояния между ними и параметров диэлектрической подложки.