Создание полосового фильтра на линии с распределенными параметрами

Это взаимодействие, обусловленное  краевыми полями, используется в таких  устройствах, как направленные ответвители, являющиеся одним из основных элементов  более сложных устройств типа балансных смесителей и модуляторов. Явление взаимодействия между линиями используется также во многих типах фильтров. Для получения требуемой характеристики в фильтре используются связанные отрезки линии передачи, резонирующие на определенной частоте и соответствующим образом расположенные.

 

Рисунок 8 Структура электрического поля четных и нечетных мод для связанных микрополосковой (а) и симметричной полосковой (б) линий

 

Попытаемся чисто интуитивно представить  себе структуру электрического поля в связанных симметричной полосковой и микрополосковой линиях, изображенных на рис.8. Возможны два способа возбуждения расположенных параллельно и связанных вдоль бокового торца проводников: оба центральных проводника находятся под одним и тем же потенциалом, равным, например, +1 В (четная мода), либо потенциал одного из проводников +1, а второго –1 В (нечетная мода). Тогда на оси симметрии (штрихпунктирная линия на рис.8) будут располагаться магнитная стенка при возбуждении четной моды и электрическая стенка при возбуждении нечетной моды. Термин "магнитная (электрическая) стенка" означает, что в плоскости симметрии касательная составляющая магнитного (электрического) поля равна нулю. Все связанные вдоль бокового торца (боковая связь) линии могут поддерживать четную и нечетную моды. Такой подход оказывается весьма полезным, так как коэффициент связи между линиями обычно может быть выражен через волновое сопротивление линии для четной и нечетной мод. Следующие соотношения устанавливают связь между этими величинами:

• коэффициент связи

 

С[дБ]=20 lg(коэффициент связи по напряжению)=–201gC₀;

 

• волновое сопротивление линии для четной моды

 

; (21)

 

• волновое сопротивление линии для нечетной моды

 

; (22)

. (23)

 

Буква о в индексе от английского  слова odd — нечетный, буква е — от even — четный. Указанные соотношения строго выполняются для ТЕМ мод, например, в коаксиальной или симметричной полосковой линии, где коэффициенты распространения четной и нечетной мод равны. В микрополосковой линии каждая из этих мод имеет свой коэффициент распространения; поэтому для четной моды фазовая скорость равна v_фе, для нечетной v_фо. Равенствами из (21)¸(23) пользоваться можно; однако рассчитанный таким образом направленный ответвитель на микрополосковой линии потребует экспериментальной доработки. Как видно из рис.8, при возбуждении нечетной моды имеет место более высокая концентрация полей в зазоре между полосками, чем при возбуждении четной моды. Поэтому степень связи в первом случае выше. Отметим также, что при нечетном возбуждении волновое сопротивление определено с учетом противоположного направления потоков в полосках.

6. Связанные Симметричные Полосковые Линии

Простейшая реализация связанных  симметричных полосковых линий (СПЛ) изображена на рис.8, где оба центральных проводника расположены на равном расстоянии от внешних проводников и настолько близко друг к другу, что возникает взаимное их влияние.

При t<0,1 и W/b>0,35 формулы анализа имеют вид

 

 (24)

 
где

, ,

, .

 

Формулы синтеза  имеют вид

 

,   , (25)

 
где

, при 1£x£¥,

, при 0£x£1,

.

 

При боковой  связи весьма трудно реализовать  направленные ответвители с сильной  связью (коэффициент связи выше –10 дБ, самое большее –6 дБ). Это обусловлено  трудностями реализации малых зазоров  между полосковыми проводниками на диэлектрической подложке. Петлевые направленные ответвители узкополосны. Поэтому в широкополосных цепях с сильной связью, скажем, меньшей –6 дБ, используются секции с лицевой связью и с частичным перекрытием, т.е. полоски располагаются друг над другом со смещением либо без смещения. Секции с лицевой связью могут обеспечить коэффициент связи от –3 дБ и выше, тогда как различные секции с частичным перекрытием обычно используются для получения коэффициента связи от –6 до –3 дБ, т. е. в промежутке между лицевой и боковой связью.

Напомним, что ширина несвязанного отрезка  полосковой линии определяется его  сопротивлением

 

. (26)

7. Переход От Фильтра-Прототипа Нижних Частот К Фильтру Верхних Частот

Результаты расчета нормированных  параметров (g-параметров) фильтра-прототипа нижних частот можно использовать для получения соответствующих величин элементов фильтра верхних частот (ФВЧ). Напомним, что для n-звенного фильтра с максимально плоской характеристикой (фильтра Баттерворта) g-параметры определяются выражениями

 

g₀=g_n+1=1,

, k=1,2,3,…n.

 

Начнем с частотного преобразования, переводящего частотную характеристику фильтра-прототипа нижних частот в  соответствующую характеристику фильтра  верхних частот. Обратимся к рис.9. Как следует из этого рисунка, при преобразовании идеализированных характеристик необходимо выполнить два условия:

1) частота w¹=0 должна перейти в частоту w=¥;

2) частота w¹=1 должна перейти в w=w_ср.

 

Рисунок 9 Частотное преобразование, переводящее характеристику фильтра нижних частот в характеристику фильтра верхних частот

 

В математической форме такое преобразование имеет вид 

 

w=–w_ср/w.

 

Появление знака "минус", т. е. переход  к отрицательным значениям частоты, обусловлено условием физической реализуемости, указанным ниже. Отметим, что форма АЧХ при указанном преобразовании не меняется.

Чтобы реализовать ФВЧ, воспользуемся  схемой фильтра-прототипа нижних частот на рис.10, где заменим индуктивные элементы на емкостные, а емкостные - на индуктивные.

 

Рисунок 10 Схема П-образного фильтра

 

Так, нормированная индуктивность g_фнчL преобразуется в нормированную емкость, а нормированная емкость g_фнчC преобразуется в нормированную индуктивность:

 

C_{н фвч}=1/(w_срg_фнчL), L_{н фвч}=1/(w_срg_фнчC).

 

Величины активных сопротивлений не изменяются при указанном преобразовании. Поэтому для завершения расчета ФВЧ следует полученные величины параметров пересчитать с учетом заданного значения R_н; для этого все индуктивности и активные сопротивления умножаются на R_н, а все емкости делятся на R_н (см. Лаб2 ФНЧ).

 

Рисунок 11 Схема ФВЧ

 

Поскольку указанное выше частотное  преобразование не влияет на форму  АЧХ, число реактивных элементов  в схеме ФВЧ Баттерворта, необходимое  для обеспечения требуемого затухания A на заданной частоте в полосе заграждения (ниже w_ср), можно рассчитать по

 

, (27)

 
с учетом частотного преобразования.

8. Переход От Фильтра-Прототипа Нижних Частот К Полосовому Фильтру

Переход от ФНЧ к полосовому фильтру (ПФ) основан на преобразовании идеализированных АХЧ, изображенном на рис.12. В данном случае необходимо выполнить следующие преобразования: частота w¹=1 должна перейти в частоту w_в, частота w¹=0 – в частоту w₀, частота w¹=–1 – в частоту w_н.

 

Рисунок 12 Частотное преобразование, переводящее характеристику фильтра нижних частот (а) в характеристику полосового фильтра с шириной полосы пропускания w_в–w_н (б)

 

Требуемое преобразование описывается равенством

 

.

 

Центральная частота ПФ находится  как среднее геометрическое величин w_в и w_н:

 

.

 

Отметим, что нагруженная добротность  ПФ, граничные частоты w_в и w_н полосы пропускания которого определяются по уровню 3 дБ, рассчитывается по простой формуле

 

Q=w₀/(w_в–w_н).

 

Нормированные величины индуктивностей и емкостей ПФ рассчитываются по значениям g-параметров фильтра-прототипа. Для перехода к ненормированным величинам индуктивности умножаются на сопротивление R_н, а емкости делятся на R_н.

Последовательные 

 

, . (28)

 

Параллельные 

 

, . (29)

 

Пример 1. Рассчитать шестиэлементный ПФ с максимально плоской характеристикой и добротностью Q=10. Центральная частота полосы пропускания 50 МГц, сопротивление нагрузки 50 Ом.

Решение

Начнем с расчета трехэлементного  фильтра-прототипа нижних частот с  максимально плоской характеристикой, опираясь на схему рис.13. Действуя, как в примере 1 Лаб2 ФНЧ, при n=3 определяем g-параметры:

 

g₀=g₁=g₃=g₄=1,

 
т.е. L₁=L₂, R_ген=R_н

g₂=2.

 

Напомним, что полученные величины g относятся к фильтру-прототипу, для которого w_ср¹=1 рад/с и R_н=1

Определяем ширину полосы пропускания:

 

w_в–w_н=w₀/Q=2p50×10⁶/10=p10⁷рад/с.

 

На основе частотного преобразования заменим последовательные индуктивности  в схеме ФНЧ последовательными  резонансными контурами LC, а параллельные емкости – параллельными резонансными контурами LC. Указанные замены показаны на рис.13.

 

Рисунок 13 Схемы фильтров для примера 1.

 

Нормированные к сопротивлению  нагрузки величины элементов схемы  на рис.13,б связаны с нормированными величинами элементов фильтра-прототипа следующими формулами:

 

L_1н=L_2н=g₁/(w_в–w_н)=1/(p10⁷)=32нГн/Ом,

C_1н=C_2н=(w_в–w_н)/(w₀²g₁)=p10⁷/[1×(50×2p10⁶)²]=318пФ/Ом,

L_н=(w_в–w_н)/ (w₀²g₂)=0,16нГн/Ом,

C_н=g₂/(w_в–w_н)=64нФ/Ом.

 

Переходим к ненормированным величинам элементов ПФ при R_н=50 Ом:

 

R_ген=R_н=50×1=50 Ом,

L_1н=L_2н=32×50=1,6 мкГн,

C_1н=C_2н=318/50=6,4 пФ,

C_н=64/50=1,3 нФ,

L_н=0,16×50=8 нГн.

 

Расчет завершен.

В табл. 5.2 для ориентировки приведены  формулы, применяемые при частотном  преобразовании.

Таблица 1 Преобразования элементов фильтров

Амплитуда и фаза сигнала на входе  и выходе фильтра различны. Изменение  амплитуды обсуждалось ранее. Сигнал на выходе фильтра запаздывает по фазе, поскольку для его прохождения  через фильтр необходимо определенное конечное время. Поэтому влияние фильтра на фазу проходящего сигнала можно оценивать как временем задержки, так и вносимым фазовым сдвигом. Отметим, что, например при разработке аппаратуры связи, к фазовой характеристике предъявляются более жесткие требования, чем к амплитудной. Иногда для обеспечения необходимого времени задержки в аппаратуру преднамеренно вводят фильтрующую цепь.

9. Проектирование Фильтров Верхних Частот На Элементах С Распределенными Параметрами

Перейдем теперь к синтезу фильтров верхних частот на элементах с распределенными параметрами, выполнив его на основе фильтра-прототипа из сосредоточенных элементов. При рассмотрении фильтра-прототипа верхних частот на сосредоточенных элементах (см. рис.11) возникла проблема реализации последовательно включенного в линию передачи конденсатора. Самое простое решение – сделать зазор в центральном проводнике коаксиального кабеля или в полоске микрополосковой или симметричной полосковой линии. На первый взгляд такое решение очень заманчиво, однако на практике его не используют по двум причинам. Во-первых, для получения требуемых значений емкости в фильтре-прототипе из сосредоточенных элементов необходимы очень малые зазоры, воспроизвести которые при изготовлении весьма трудно. Во-вторых, зазор в токонесущем проводнике линии ведет себя не как чистая сосредоточенная емкость: его более точная эквивалентная схема представляет собой П-образную цепь, состоящую из последовательно и паралльно включенных емкостей. Поэтому использование таких зазоров нежелательно, пока не будут, налажены их тщательный контроль и моделирование. Фильтры верхних частот, содержащие элементы с распределенными параметрами, как правило, выполняются по гибридной технологии, где наряду с элементами с распределенными параметрами используются и сосредоточенные элементы, что позволяет реализовать требуемые схемные решения. Сосредоточенные конденсаторы в виде чипов, изготовленные с помощью тонкопленочной либо толстопленочной технологии, с успехом применяются на частотах до 20 ГГц.

10. Проектирование Полосовых Фильтров На Элементах С Распределенными Параметрами

В примере 1 было показано, что при  преобразовании фильтра-прототипа  нижних частот из сосредоточенных элементов  в полосовой фильтр из тех же элементов  в последнем появляются последовательно и параллельно включаемые резонансные LC-цепи. На первый взгляд иметь дело с параллельными и последовательными резонансными цепями затруднительно. Однако включаемые параллельно резонансные цепи сравнительно просто реализуются на элементах с распределенными параметрами, например на элементах D и F

 

Рисунок 14 Реализации параллельной цепи на элементах с распределенными параметрами

 

Элемент D образован параллельно подключаемыми к линии шлейфами, реализующими сосредоточенные элементы L и С. Элемент F, представляющий отрезок однородной линии со слабой связью и с волновым сопротивлением Z_в ведет себя как параллельная резонансная цепь. Следовательно, параллельные резонансные контуры, включаемые в линию параллельно, реализуются относительно просто. Как реализовать последовательный резонансный контур, включенный в линию последовательно? Самый простой путь – каскадное соединение отрезка линии с высоким волновым сопротивлением, реализующим индуктивность, с конденсатором. Такое решение приемлемо лишь на относительно невысоких частотах, когда допустимо использование сосредоточенных элементов. По мере увеличения частоты приходится искать альтернативные решения. Один из возможных способов, позволяющий отказаться от сосредоточенных элементов, – такое преобразование эквивалентной схемы фильтра, при котором в схему не входят последовательные контуры LC, включенные последовательно.

Подобные схемы получаются при  использовании особых устройств  – инверторов. Инверторы трансформируют входное сопротивление последовательного резонансного контура LC в сопротивление, соответствующее параллельному резонансному контуру. Такую инверсию на фиксированной частоте выполняет четвертьволновый отрезок однородной линии передачи.

Процедура использования инверторов сопротивления при проектировании полосового фильтра из элементов с распределенными параметрами на основе фильтра-прототипа из сосредоточенных элементов подробно иллюстрируется на рис.15.

На рис.15,а изображена схема полосового фильтра-прототипа третьего порядка, параметры сосредоточенных элементов которого пересчитаны по описанной выше методике через g-параметры фильтра-прототипа нижних частот. Если эта стадия проектирования выполнена, то следующий шаг – введение в схему инверторов сопротивления, обозначенных на рисунке буквой К. Инверторы преобразуют последовательные резонансные цепи в эквивалентные им параллельные (рис. 15,б).