Методы расчета линейных электрических цепей постоянного тока

 

При этом с положительным знаком записываются те величины (напряжения, ЭДС), направление которых совпадает с выбранным координатным направлением. В нашем случае (11) – от узла m к узлу n. Напряжение между узлами   определяется через узловые напряжения

.

Рассмотрим метод узловых напряжений на примере электрической цепи, схема которой представлена на рис. 4.

 

Рис. 4

Определяем число узлов (в данном примере число узлов q=4) и обозначаем их на схеме.

Так как схема не содержит идеальных источников напряжения, то в качестве базисного может быть выбран любой узел, например узел 4.

При этом  .

Для остальных независимых узлов схемы (q-1=3) составляем уравнения узловых напряжений в канонической форме.

Определяем коэффициенты уравнений.

Собственные проводимости узлов

Взаимные (межузловые) проводимости

Определяем узловые токи.

Для 1-го узла

.

Для 2-го узла

 

.

Для 3-го узла

Подставив значения коэффициентов (проводимостей) и узловых токов в уравнения (12), определяем узловые напряжения 

Прежде чем перейти к определению токов ветвей, задаемся их положительным направлением и наносим на схему (рис. 5).

Токи определяем по закону Ома. Так, например, ток   направлен от узла 3 к узлу 1. Так же направлена и ЭДС   этой ветви. Следовательно

Токи остальных ветвей определяем по тому же принципу

 

Так как  то

 

4. Принцип и метод  наложения

 

Принцип наложения (суперпозиции) является выражением одного из основных свойств линейных систем любой физической природы и применительно к линейным электрическим цепям формулируется следующим образом: ток в какой-либо ветви сложной электрической цепи равен алгебраической сумме частичных токов, вызванных каждым действующим в цепи источником электрической энергии в отдельности.

Использование принципа наложения позволяет во многих схемах упростить задачу расчета сложной цепи, так как она заменяется несколькими относительно простыми цепями, в каждой из которых действует один источник энергии.

Из принципа наложения следует метод наложения, применяемый для расчета электрических цепей.

При этом метод наложения можно применять не только к токам, но и к напряжениям на отдельных участках электрической цепи, линейно связанных с токами.

Принцип наложения нельзя применять для мощностей, т.к. они являются не линейными, а квадратичными функциями тока (напряжения).

Принцип наложения не применим и к нелинейным цепям.

Рассмотрим порядок расчета методом наложения на примере определения токов в схеме рис. 5.

 

Рис. 5

Выбираем произвольно направление токов и наносим их на схему (рис. 5).

Если бы предлагаемая задача решалась любым из методов (МЗК, МКТ, МУН), то необходимо было бы составлять систему уравнений. Метод наложения позволяет упростить решение задачи, сведя его фактически к решению по закону Ома.

Разбиваем данную схему на две подсхемы (по количеству ветвей с источниками).

В первой подсхеме (рис. 6) считаем что действует только источник напряжения, а ток источника тока J=0 (это соответствует разрыву ветви с источником тока).

 

Рис. 6

 

Во второй подсхеме (рис. 7) действует только источник тока. ЭДС источника напряжения принимаем равной нулю E=0 (это соответствует закорачиванию источника напряжения).

 

Рис. 7

Указываем направление токов на подсхемах. При этом следует обратить внимание на следующие: все токи, указанные на исходной схеме, должны быть указанны и на подсхемах. Например, в подсхеме рис.6 сопротивления   и   включены последовательно и по ним протекает один и тот же ток. Однако на схеме необходимо указывать токи   и  .

Расчет для схемы (рис. 6) можно выполнить по закону Ома.

Ток 

,

.

Токи в параллельных ветвях определяем по формуле разброса

.

 

Определяем токи в подсхеме, представленной на рис.7. Заменив предварительно параллельно соединенные сопротивления  и   эквивалентным  , получим схему (рис. 8).

 

Рис. 8

По формуле разброса определяем токи   и 

.

По частичным токам подсхем (рис. 2.6 и 2.7) определяем токи исходной схемы (рис. 5) как алгебраическую сумму частичных токов.

.

При этом ток   записывается со знаком «минус», т.к. его направление на подсхеме противоположно направлению тока   в исходной схеме

.

 

Направления токов   и   на подсхемах совпадают с направлением тока   исходной схемы. Аналогично определяем остальные токи.