Автор работы: Пользователь скрыл имя, 24 Сентября 2014 в 14:37, лекция
Гидроаэромеханика – это раздел механики, в котором изучаются законы равновесия и движения жидкой (и газообразной) среды и её взаимодействия с телами, обтекаемыми этой средой. Плотность жидкости практически не зависит от давления, поэтому жидкость в гидродинамике считаем несжимаемой. Для газа, вообще говоря, это не так, но опыт показывает, что при не слишком больших скоростях потока сжимаемостью газа можно пренебречь. Гидроаэромеханика использует единый подход для описания поведения жидкостей и газов.
1. Давление. Закон Паскаля. Гидростатическое давление. Сила Архимеда.
2. Уравнение неразрывности.
3. Уравнение Бернулли.
4. Вязкость (внутренне трение).
5. Число Рейнольдса. Принцип подобия.
6. Методы определения вязкости: метод Стокса; формула Пуазейля.
Здесь – средняя скорость потока, – кинематическая вязкость, – характерный размер (в случае течения жидкости в трубе это диаметр трубы ). Опытные данные показывают, что существует критическое число Рейнольдса, при превышении которого происходит переход из ламинарного режима в турбулентный. Но сама величина не универсальна – она зависит от геометрии системы. Для случая течения жидкости в трубе .
Число Рейнольдса имеет огромное значение при моделировании реальных процессов в лабораторных масштабах. Если для двух течений разных размеров числа Рейнольдса одинаковы, то такие течения подобны, и возникающие в них явления могут быть получены одно из другого изменением масштаба.
6. Методы определения вязкости.
а) метод Стокса
При движении тела в вязкой среде возникают силы сопротивления. Происхождение этого сопротивления двояко.
При небольших скоростях, когда за телом нет вихрей (то есть обтекание тела ламинарное), сила сопротивления обуславливается вязкостью среды. Между движущимся телом и средой существуют силы сцепления, так что непосредственно вблизи поверхности тела слой газа (жидкости) полностью задерживается, как бы прилипая к телу. Он трется о следующий слой, который слегка отстает от тела. Тот, в свою очередь, испытывает силу трения со стороны еще более удаленного слоя и т.д. Совсем далекие от тела слои можно считать покоящимися. Для ламинарного потока сила трения пропорциональна скорости тела: . Теоретический расчет внутреннего трения для движения шарика в вязкой среде с небольшой скоростью, когда нет вихрей, приводит к формуле Стокса:
,
где – радиус шарика, – скорость его движения, – коэффициент динамической вязкости среды.
Второй механизм сил сопротивления включается при больших скоростях движения тела, когда поток становится турбулентным. При увеличении скорости тела вокруг него возникают вихри. Часть работы, совершаемой при движении тела в жидкости или газе, идет на образование вихрей, энергия которых переходит во внутреннюю энергию. При турбулентном потоке в некотором интервале скоростей сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости тела: .
Метод Стокса основан на измерении скорости установившегося движения твердого шарика в вязкой среде под действием постоянной внешней силы, в простейшем случае – силы тяжести.
Выведем рабочую формулу для определения коэффициента вязкости методом Стокса. Если взять шарик большей плотности, чем плотность жидкости, то он будет тонуть, опускаясь на дно сосуда. На падающий шарик действуют три силы (рис.6.8):
1. сила вязкого трения FС по закону Стокса (16.6), направленная вверх, навстречу скорости: ;
2. сила тяжести, направленная вниз:
,
где – масса шарика; – плотность шарика; – ускорение свободного падения; – объем шарика, равный:
;
3. выталкивающая сила FАрх, согласно закону Архимеда, равная весу вытесненной жидкости:
,
где – плотность жидкости.
Запишем уравнение движения (второй закон Ньютона) для падающего шарика в проекциях на вертикальную ось:
ma=Fтяж–FАрх–FС.
Сила тяжести и выталкивающая сила не зависят от скорости движения шарика. Сила трения в законе Стокса прямо пропорциональна скорости. Поэтому на некотором начальном участке l0 (рис.6.8) падения шарика в жидкости, пока скорость мала, сила трения меньше разности сил тяжести и выталкивающей, и шарик в результате движется с ускорением. Величину участка можно оценить из уравнения движения.
По мере нарастания скорости падения шарика растет сила вязкого трения. С момента достижения равенства
FС = Fтяж – FАрх
сумма сил, действующих на шарик, становится равной нулю, и шарик, в соответствии с первым законом Ньютона, движется по инерции равномерно, с набранной им к этому моменту скоростью. По измеренной скорости установившегося падения шарика можно найти коэффициент вязкости жидкости η.
После подстановки в (6.26) выражений (6.22-6.24) получим:
Сократим на радиус и сделаем замену ( – диаметр шарика):
. (6.27)
Из (6.27) выразим коэффициент динамической вязкости:
.
Далее скорость v шарика выражаем через пройденный путь и время падения : :
. (6.29)
Выведенная формула (6.29) для расчета коэффициента вязкости, как и формула Стокса (6.21), получены в предположении, что шарик движется в сосуде неограниченного объема.
б) формула Пуазейля
Ламинарный параллельный поток имеет место, например, при медленном протекании газа в цилиндрической трубе (капилляре) – в этом случае слои представляют собой совокупность бесконечно тонких цилиндрических поверхностей, вложенных одна в другую, имеющих общую ось, совпадающую с осью трубы.
Выделим в капилляре воображаемый цилиндрический объем жидкости (или газа) радиусом и длиной , как показано на рисунке 6.9. Обозначим давления на его торцах и . При установившемся течении суммарная сила давления на цилиндр
уравновесится силой внутреннего трения , которая действует на боковую поверхность цилиндра со стороны внешних слоев газа:
. (6.30)
Сила внутреннего трения определяется по формуле Ньютона (6.15). Учитывая, что (площадь поверхности цилиндра) и скорость уменьшается при удалении от оси трубы, т.е. , можно записать:
В этом случае условие стационарности (5.30) запишется в виде:
Интегрируя это равенство, получим
где – постоянная интегрирования, которая определяется граничными условиями задачи. При скорость жидкости должна обратиться в нуль: , поскольку сила внутреннего трения о стенку капилляра тормозит смежный с ней слой жидкости. Тогда
. (6.33)
Рис.6.5 иллюстрирует получившуюся квадратичную (параболическую) зависимость скорости частиц жидкости от расстояния до оси капилляра при ламинарном течении.
Подсчитаем объемный расход жидкости , т.е. объем, который протекает за единицу времени через поперечное сечение трубы. Через кольцевую площадку с внутренним радиусом и внешним за время протекает объем жидкости, равный произведению площади этой кольцевой площадки на перемещение частиц жидкости за это время :
Тогда
или
. (6.34)
Формулу (6.34) называется формулой Пуазейля. Она позволяет экспериментально определить динамическую вязкость жидкости (газа), измерив объёмный расход и зная разность давлений на концах капилляра и его геометрические параметры.