Механика твердого тела и механика колебаний в истории наук механического цикла

Кинематические и динамические исследования эпохи Возрождения  были обращены, главным образом, на уточнение представлений о неравномерном  и криволинейном движении точки. До этого времени общепринятыми  были не соответствующие действительности динамические воззрения Аристотеля, изложенные в его “Проблемах механики”⁷.

Так, он считал, что для  поддержания равномерного и прямолинейного движения тела к нему нужно приложить  постоянно действующую силу. Это  утверждение представлялось ему  согласным с повседневным опытом. О том, что при этом возникает  сила трения, Аристотель, конечно, ничего не знал. Также он считал, что скорость свободного падения тел зависит  от их веса: “Если половинный вес  в некоторое время пройдет  столько-то, то удвоенный вес пройдет  столько же в половинное время”. Считая, что все состоит из четырех  стихий - земли, воды, воздуха и огня, он пишет: “Тяжело все то, что  способно нестись к середине или  средоточию мира; легко все то, что  несется от середины или средоточия мира”. Из этого он сделал вывод: так  как тяжелые тела падают к центру Земли, то этот центр является средоточием  мира, а Земля неподвижна. Не владея еще понятием об ускорении, которое  было позднее введено Галилеем, исследователи  этой эпохи рассматривали ускоренное движение как состоящее из отдельных  равномерных движений, в каждом интервале  обладающих своей собственной скоростью. Галилей еще в 18-летнем возрасте, наблюдая во время богослужения за малыми затухающими колебаниями  люстры и отсчитывая время по ударам пульса, установил, что период колебания  маятника не зависит от его размаха⁸.

Усомнившись в правильности утверждений Аристотеля, Галилей  начал производить опыты, с помощью  которых он, не анализирую причины, установил законы движения тел вблизи земной поверхности. Сбрасывая тела с башни, он установил, что время падения тела не зависит от его веса и определяется высотой падения. Он первым доказал, что при свободном падении тела пройденный путь пропорционален квадрату времени

Замечательные экспериментальные  исследования свободного вертикального  падения тяжёлого тела были проведены  Леонардо да Винчи; это были, вероятно, первые в истории механики специально организованные опытные исследования Период создания основ механики. Практика (главным образом торговое мореплавание и военное дело) ставит перед механикой XVI - XVII вв. ряд важнейших проблем, занимающих умы лучших ученых того времени. “… Вместе с возникновением городов, крупных построек и развитием  ремесла развилась и механика. Вскоре она становится необходимой  также для судоходства и военного дела” (Энгельс Ф., Диалектика природы, 1952, стр. 145) Нужно было точно исследовать  полет снарядов, прочность больших  кораблей, колебания маятника, удар тела. Наконец, победа учения Коперника  выдвигает проблему движения небесных тел. Гелиоцентрическое мировоззрение  к началу XVI в. создало предпосылки  к установлению законов движения планет немецким астрономом И. Кеплером (1571 - 1630). Он сформулировал первые два  закона движения планет:

1. Все планеты движутся  по эллипсам, в одном из фокусов  которого находится Солнце 

2. Радиус-вектор, проведенный  от Солнца к планете, за равные  промежутки времени описывает  равные площади 

Основоположником механики является великий итальянский ученый Г. Галилей (1564 - 1642). Он экспериментально установил количественный закон  падения тел в пустоте, согласно которому расстояния, проходимые падающим телом в одинаковые промежутки времени, относятся между собой, как последовательные нечетные числа.

Галилей установил законы движения тяжелых тел по наклонной  плоскости, показав, что, падают ли тяжелые  тела по вертикали или по наклонной  плоскости, они всегда приобретают  такие скорости, которые нужно  сообщить им, чтобы поднять их на ту высоту, с которой они упали. Переходя к пределу, он показал, что на горизонтальной плоскости тяжелое тело будет находиться в покое или будет двигаться равномерно и прямолинейно. Тем самым он сформулировал закон инерции. Складывая горизонтальное и вертикальное движения тела (это первое в истории механики сложение конечных независимых движений), он доказал, что тело, брошенное под углом к горизонту, описывает параболу, и показал, как рассчитать длину полета и максимальную высоту траектории. При всех своих выводах он всегда подчеркивал, что речь идет о движении при отсутствии сопротивления. В диалогах о двух системах мира очень образно, в форме художественного описания, он показал, что все движения, которые могут происходить в каюте корабля, не зависят от того, находится ли корабль в покое или движется прямолинейно и равномерно⁹.

Этим он установил принцип  относительности классической механики (так называемый принцип относительности  Галилей - Ньютона). В частном случае силы веса Галилей тесно связывал постоянство веса с постоянством ускорения падения, но только Ньютон, введя понятие массы, дал точную формулировку связи между силой  и ускорением (второй закон). Исследуя условия равновесия простых машин  и плавания тел, Галилей, по существу, применяет принцип возможных  перемещений (правда, в зачаточной форме). Ему же наука обязана первым исследованием  прочности балок и сопротивления  жидкости движущимся в ней телам¹⁰.

Французский геометр и  философ Р. Декарт (1596 - 1650) высказал плодотворную идею сохранения количества движения. Он применяет математику к анализу движения и, вводя в  нее переменные величины, устанавливает  соответствие между геометрическими  образами и алгебраическими уравнениями. Но он не заметил существенного факта, что количество движения является величиной  направленной, и складывал количества движения арифметически. Это привело его к ошибочным выводам и снизило значение данных им применений закона сохранения количества движения, в частности, к теории удара тел

Последователем Галилея  в области механики был голландский  ученый Х. Гюйгенс (1629 - 1695). Ему принадлежит  дальнейшее развитие понятий ускорения  при криволинейном движении точки (центростремительное ускорение). Гюйгенс  также решил ряд важнейших  задач динамики - движение тела по кругу, колебания физического маятника, законы упругого удара. Он первый сформулировал  понятия центростремительной и  центробежной силы, момента инерции, центра колебания физического маятника. Но основная его заслуга состоит  в том, что он первый применил принцип, по существу эквивалентный принципу живых сил (центр тяжести физического  маятника может подняться только на высоту, равную глубине его падения). Пользуясь этим принципом, Гюйгенс  решил задачу о центре колебания  маятника - первую задачу динамики системы  материальных точек. Исходя из идеи сохранения количества движения, он создал полную теорию удара упругих шаров 

Заслуга формулировки основных законов динамики принадлежит великому английскому ученому И. Ньютону (1643 - 1727). В своем трактате “Математические  начала натуральной философии”, вышедшем первым изданием в 1687 г., Ньютон подвел итог достижениям своих предшественников и указал пути дальнейшего развития механики на столетия вперед. Завершая воззрения Галилея и Гюйгенса, Ньютон обогащает понятие силы, указывает новые типы сил (например, силы тяготения, силы сопротивления среды, силы вязкости и много других), изучает законы зависимости этих сил от положения и движения тел. Основное уравнения динамики, являющееся выражением второго закона, позволило Ньютону успешно разрешить большое число задач, относящихся, главным образом, к небесной механике. В ней его больше всего интересовали причины, заставляющие двигаться по эллиптическим орбитам. Еще в студенческие годы Ньютон задумался над вопросами тяготения. В его бумагах нашли следующую запись: “Из правила Кеплера о том, что периоды планет находятся в полуторной пропорции к расстоянию от центров их орбит, я вывел, что силы, удерживающие планеты на их орбитах, должны быть в обратном отношении квадратов их расстояний от центров, вокруг коих они вращаются. Отсюда я сравнил силу, требующуюся для удержания Луны на ее орбите, с силой тяжести на поверхности Земли и нашел, что они почти отвечают друг другу”¹¹

К концу XVII в. основы механики были обстоятельно разработаны. Если древние  века считать предисторией механики, то XVII в. можно рассматривать как период создания ее основ. Развитие методов механики в XVIII в .. В XVIII в. потребности производства - необходимость изучения важнейших механизмов, с одной стороны, и проблема движения Земли и Луны, выдвинутая развитием небесной механики, с другой, - привели к созданию общих приемов решения задач механики материальной точки, системы точек твердого тела, развитых в “Аналитической механике” (1788 г.) Ж. Лагранжа (1736 - 1813)

В развитии динамики посленьютоновского периода основная заслуга принадлежит петербургскому академику Л. Эйлеру (1707 - 1783). Он развил динамику материальной точки в направлении применения методов анализа бесконечно малых к решению уравнений движения точки. Трактат Эйлера “Механика, т. е. наука о движении, изложенная аналитическим методом”, вышедший в свет в Петербурге в 1736 г., содержит общие единообразные методы аналитического решения задач динамики точки

Л. Эйлер - основоположник механики твердого тела. Ему принадлежит общепринятый метод кинематического описания движения твердого тела при помощи трех эйлеровых углов. Фундаментальную роль в дальнейшем развитии динамики и многих ее технических приложений сыграли установленные Эйлером основные дифференциальные уравнения вращательного движения твердого тела вокруг неподвижного центра. Эйлер установил два интеграла: интеграл момента количеств движения

A 2 w 2 x + B 2 w 2 y + C 2 w 2 z = m

и интеграл живых сил (интеграл энергии)

A w 2 x + B w 2 y + C w 2 z = h,

где m и h - произвольные постоянные, A,B и C - главные моменты инерции  тела для неподвижной точки, а w x, w y, w z - проекции угловой скорости тела на главные оси инерции тела

Эти уравнения явились  аналитическим выражением открытой им теоремы моментов количества движения, которая представляет собой необходимое дополнение к закону количестве движения, сформулированному в общем виде в “Началах” Ньютона. В “Механике” Эйлера дана близкая к современной формулировка закона “живых сил” для случая прямолинейного движения и отмечено наличие таких движений материальной точки, при которых изменение живой силы при переходе точки из одного положения в другое не зависит от формы траектории. Этим было положено начало понятия потенциальной энергии. Эйлер - основоположник гидромеханики. Им были даны основные уравнения динамики идеальной жидкости; ему принадлежит заслуга создания основ теории корабля и теории устойчивости упругих стержней; Эйлер заложил основу теории расчета турбин, выведя турбинное уравнение; в прикладной механике имя Эйлера связано с вопросами кинематики фигурных колес, расчета трения между канатом и шкивом и многими другими

Небесная механика была в  значительной своей части развита  французским ученым П. Лапласом (1749 - 1827), который в обширном труде  “Трактат о небесной механике”  объединил результаты исследования своих предшественников - от Ньютона  до Лагранжа - собственными исследованиями устойчивости солнечной системы, решением задачи трех тел, движения Луны и многих других вопросов небесной механики¹².

Одним из важнейших приложений ньютоновской теории тяготения явился вопрос о фигурах равновесия вращающихся жидких масс, частицы которых тяготеют друг к другу, в частности о фигуре Земли. Основы теории равновесия вращающихся масс были изложены Ньютоном в третьей книге “Начал”. Проблема фигур равновесия и устойчивости вращающейся жидкой массы сыграла значительную роль в развитии механики

Великий русский ученый М. В. Ломоносов (1711 - 1765) высоко оценивал значение механики для естествознания, физики и философии. Ему принадлежит  материалистическая трактовка процессов  взаимодействия двух тел: “когда одно тело ускоряет движение другого и  сообщает ему часть своего движения, то только так, что само теряет такую  же часть движения”. Он является одним  из основоположников кинетической теории теплоты и газов, автором закона сохранения энергии и движения. Приведем слова Ломоносова из письма Эйлеру (1748 г.): “Все изменения, случающиеся  в природе, проходят так, что если что-либо прибавится к чему-либо, то столько же отнимется от чего-то другого. Так, сколько к какому-нибудь телу присоединится материи, столько же отнимется от другого; сколько часов я употребляю в сон, столько же отнимаю от бдения и т. д. Так как этот закон природы всеобщ, то он простирается даже и в правила движения, и тело, побуждающее своим толчком другое к движению столько же теряет своего движения, сколько сообщает другому, движимому им”¹³.

Механика XIX и начала XX вв. “Аналитическая механика” Лагранжа подвела итог достижениям теоретической  механики XVIII в. и определила следующие  главные направления ее развития:

1) расширение понятия  связей и обобщение основных  уравнений динамики несвободной  системы для новых видов связей;

2) формулировка вариационных  принципов динамики и принципа  сохранения механической энергии; 

3) разработка методов  интегрирования уравнений динамики 

Параллельно с этим выдвигались  и были разрешены новые фундаментальные  задачи механики. Для дальнейшего  развития принципов механики основополагающими  были работы выдающегося русского ученого  М. В. Остроградского (1801 - 1861). Он первый рассмотрел связи, зависящие от времени, ввел новое понятие о неудерживающих связях, т. е. связях, выражающихся аналитически при помощи неравенств, и обобщил на случай такого рода связей принцип возможных перемещений и общее уравнение динамики. Остроградскому принадлежит также приоритет в рассмотрении дифференциальных связей, накладывающих ограничения на скорости точек системы; аналитически такие связи выражаются при помощи неинтегрируемых дифференциальных равенств или неравенств