Разработка системы автоматического управления технологическим производством на примере сборника эмульсии

 

Таблица 2 – С учетом времени транспортного запаздывания

t, c	0	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48	52	56	60	64	68
Р,  МПа	0	0	0	0.0302	0.0892	0.1507	0.2042	0.2470	0.275	0.3035	0.3207	0.3329	0.3415	0.3474	0.3514	0.3542	0.3561	0.3574

 

По полученным расчетным  значениям построим график в координатах  «Р, МПа – t, с», который представляет собой кривую разгона объекта в натуральной форме с запаздыванием (Приложение A).

Вычислим коэффициент  передачи объекта. Коэффициент передачи объекта определяется отношением установившегося значения давления к заданной величине возмущения «Х»:

 

К_ОБ= в/х                                                     (3)

 

 

Определяем  по графику  натуральной кривой разгона постоянную времени объекта  Т  в секундах, как отрезок времени между  моментом пересечения касательной, проведённой к участку кривой с максимальной скоростью нарастания давления, с установившемся значением и моментом в начале касательной.

, с                                                   (4)

                                          с

 

2.  Определение передаточной функции и дифференциального уравнения объекта

 

При определении передаточной функции объекта применяется  метод площадей, разработанный М.П. Симою. Передаточная функция для  объекта с запаздыванием:

                                                                              (5)

 

Коэффициенты F₂ и F₁ имеют размерность времени. Их вычисляем по программе perfun exe. F₁ = 16.88; F₂ = 69.57 (Приложение B).

Подставляем в формулу 5 все известные значения:

 

 

Рисунок 2 - Структурная схема объекта с запаздыванием

 

По данной передаточной функции, применяя свойства преобразования Лапласа, представим развёрнутое дифференциальное уравнение объекта с запаздыванием.

 

                                            ₍₆₎

 

_{Подставим значения:}

 

 

5.3 Определение максимального динамического отклонения аппроксимирующей кривой разгона от заданной в натуральной форме

 

Рассчитаем ординаты аппроксимирующей кривой разгона по программе razgon.exe. (Приложение C). Рассчитав ординаты аппроксимирующей кривой, сравниваем значения давления, полученные при расчёте экспериментальной кривой в натуральной форме с учётом запаздывания, на рисунке 4 в приложении A. Определяем максимальное динамическое отклонение G_max, которое показывает, с какой точностью заданный объект может быть описан выбранной моделью.

         ₍₇₎

где Y(t) – ордината заданной кривой разгона в натуральной форме в точке максимального отклонения;

Y^/(t) – ордината аппроксимирующей кривой в этой же точке;

Y_∞ - установившееся значение давления в объекте.

 

Точность аппроксимации показывает, что заданный объект может быть описан выбранной моделью с точностью 1,42%. Точность аппроксимации не превышает допустимое максимальное отклонение  G_max ≤ 5%.

Вывод:

Объект с запаздыванием  является инерционным, статическим; эти качества определяются по виду его кривой разгона. Его передаточная функция в численном виде:

Развернутое дифференциальное уравнение объекта с запаздыванием:

Рассчитанное значение передаточного коэффициента объекта

Определенная по графику  натуральной кривой разгона постоянная времени объекта составила 16 с.

Точность рассчитанной аппроксимации не превышает допустимого  значения, равна  0.77%.

6 Определение оптимальных настроечных параметров регулятора, обеспечивающих заданный запас устойчивости системы

 

Определение оптимальных  настроечных параметров регулятора предусматривает два этапа.

На первом этапе определяются значения параметров регулятора, при  которых система будет обладать заданным запасом устойчивости.

На втором этапе из совокупности значений параметров, удовлетворяющих  первому требованию, выбираются такие, при которых обеспечивается минимум  интегрального критерия качества.

 

6.1 Расчет расширенных АЧХ и ФЧХ объекта для заданного значения «m»

 

Амплитудно-фазовая  характеристика является конформным отображением мнимой оси плоскости корней характеристического  уравнения на плоскость  АФХ, механизмом ее получения  является замена в  передаточной функции комплексного параметра p на jω. Введение в рассмотрение запаса устойчивости равносильно переносу границы устойчивости.  Если запас устойчивости характеризуется степенью устойчивости, то в этом случае граница устойчивости как бы сдвигается влево на величину m.  Отображение новой границы устойчивости, характеризующейся заданной степенью устойчивости, на плоскость АФХ даст некоторый годограф, который получил название расширенной амплитудно-фазовой характеристики. В плоскости корней  характеристичес-кого  уравнения  любая  точка  на  прямой  заданной степени устойчивости определяется как  p =  (−m + j)ω. Следовательно, для получения расширенной частотной характеристики необходимо в передаточной функции параметр p заменить на (−m + j)ω. Это необходимо для практических расчетов, в частности, для определения оптимальных настроечных параметров регулятора, обеспечивающих заданную степень устойчивости САР.

Степень колебательности  системы определяется как отношение  вещественной составляющей корней характеристического  уравнения системы α к коэффициенту при мнимой составляющей ω, т.е. если корни определяются выражением р_1,2 = −α±jω, то m=α/ω.

Для нахождения расширенных  АЧХ и ФЧХ объекта в выражении 

 

W_об (P) =                                           ₍₈₎

 

производим подстановку p = (j - m) w = jw-mw, выделяем в знаменателе вещественную и мнимую части и получаем следующее:

 

 

_{Вводим  для упрощения  выражения обозначения  F2ω²(m²-1) – F1mω+1=a, F1ω – 2F2mω²=в. Освобождаясь от комплексности в знаменателе, получаем:}

 

W (m, jw) =                       ₍₉₎

 

_{Заменяем  в (9)} ^-jwt = coswt - jsinwt,   преобразовываем числитель, в результате приходим к выражению

 

       W_об(m,jw)=

 

Выделяем из (9) вещественную и мнимую части, подставляя обозначения:

 

     ₍₁₀₎

 

     ₍₁₁₎

 

Определим выражение  для определения расширенной  АЧХ из (10) и (11) через

А(m, w) =                     ₍₁₂₎

 

Для  этого  в  (12)  подставим  выражения  из  (10)  и  (11),  раскроем  скобки  и  объединим схожие величины:

 

А(m, w) =

 

Сокращаем числитель и знаменатель в подкоренном выражении:

 

А_{об(m, w)} =               (13)

 

Находим выражение для  ФЧХ объекта по преобразованной  формуле

 

j_об(m, w)  = -wt - аrctg (                (14)

 

Подставляя в полученные выражения численные значения m, t, К_об, F₁ и F₂, производим   необходимые   расчёты   и   приходим   к   искомым  выражениям.

А_об(m, w) и j_об (m, w) в численном виде:

 

А_{об(m, w)} =

 

j_об(m, w)  = -8w-arctg

 

По программе RCHO.exe рассчитаем ординаты и в зависимости от . Результаты расчета в приложении D. По данным расчетам построим графики изменения и . Ось частот возьмем общей, вверх по оси ординат отложим значения в , вниз – в угловых градусах. График показан в приложении E.

 

6.2 Определение оптимальных настроечных параметров регулятора

 

Пропорционально-интегральный регулятор, применяемый для управления объектом, имеет передаточную функцию

 

W_R (P) = K_R +                                           ₍₁₅₎

где K_R - коэффициент передачи пропорциональной части;

K_R /T_u - коэффициент передачи интегральной части;

T_u - время интегрирования (изодрома);

K_R и K_R/T_u являются настроечными параметрами регулятора.

Параметры K_R и K_R / T_u связаны с расширенными частотными характеристиками объекта следующими соотношениями

 

    (16)

 

             (17)

 

Размерность K_R - ; K_R/T_u -

Формулы (16) и (17) лежат в основе расчёта линии  равной степени затухания переходного  процесса в плоскости настроечных параметров, по графику которой определяются оптимальные значения K_R и K_R/ Т_u.

По программе  Linz. exe рассчитаем координаты линии  равной степени затухания в плоскости  «K_R - K_R/ Т_u», в зависимости от частоты w. Вводом в программу служат данные результатов расчёта расширенных А_об (m, w) и j_об (m, w)  (Приложение D):  задаваемый ряд частот, соответствующей этому ряду частот ряд значений А_об(m, w)  и ряд абсолютных  значений  j_об (m, w)  без учёта знака; результатом программы является таблица изменении K_R и K_R/ Т_u в зависимости от w (приложение F); По данным таблицы построим график линии равной степени затухания (приложение G, рисунок 6), лежащей в верхней полуплоскости (положительные значения ), возле каждой точки поставим значения при которой она рассчитана, нанесем косую штриховку в сторону области устойчивости.

На графике  отметим максимальное значение и  соответствующее ему значение . Данные значения являются оптимальными и обеспечивают минимум интегрального критерия качества и  минимум динамического отклонения регулируемой величины.

 

 

 

Передаточная  функция ПИ регулятора в численном  виде:

 

 

В зависимости  от выбранных значений K_R и K_R/Т_И изменяется качество переходных процессов при заданной степени затухания. Так как интегральная составляющая переходного процесса вызывает перерегулирование и увеличение время переходного процесса, ухудшает динамические качества процесса регулирования, а пропорциональная часть регулятора не позволяет полностью устранить остаточное отклонение параметра, то принимается следующее. Во избежание динамических ошибок регулятор отстраивается, судя по переходному процессу при частотах ω - точки кривой, ближе к оси абсцисс – с использованием в системах с самовыравниванием, с небольшим запаздыванием и с небольшими возмущениями. При регулировании объектов с большим коэффициентом емкости и без запаздывания следует пользоваться малым пределом пропорциональности, большей частью используя интегральную составляющую. Для поддержания параметра на заданном значении без остаточного отклонения, также в быстро изменяющихся процессах принимаем оптимальное значение передаточной функции изодромного регулятора, при частоте ω=0,12.

 

Рассчитаем  степень затухания переходного  процесса  по формуле:

 

       (18)

 

Дополнительно определим степень упругой связи  d, как

 

d =                          ₍₁₉₎

 

и время изодрома , как

Т_u =                        ₍₂₀₎

 

В формулу подставляем  численные значения  d и оптимальное K_R/T_u.

 

6.3 Определение запаса устойчивости САР по модулю и по фазе

 

Для оценки запасов устойчивости САР по критерию Найквиста необходимо располагать графиком АФХ (годографом) разомкнутой системы с ПИ-регулятором.

 

                                    ₍₂₁₎

 

где выражение  для  W_R (P)  представлено формулой (15), для W_об(P) –формулой (8). Подставим (15) и (8) в (21).

 

 

Проведя преобразования, получим передаточную функцию разомкнутой  системы с запаздыванием

 

W_раз(P) =                             (22)