Теория надежности

По возможности стремятся применять раздельное резервирование, т.к. при этом требуемая надежность часто достигается значительно меньшими затратами, чем при общем резервировании.

В зависимости от способа использования резервных элементов различают:

• нагруженный резерв - резервные элементы функционируют наравне с основными. Различие между основными и резервными элементами часто условное, не нужны переключающие (с основного на резервный) устройства, но резервные элементы активно срабатывают свой ресурс;
• ненагруженный резерв - резервные элементы включаются только после отказа основных (т.н. «резервирование замещением»). Здесь резервные элементы медленнее срабатывают свой ресурс (т.е. срок их службы выше, чем у основных), но необходимы контролирующие и переключающие устройства для фиксации отказа основного элемента и переключения с основного на резервный.
• скользящий резерв - (разновидность ненагруженного резерва) - группа основных элементов резервируется одним резервным, который может заменить любой из отказавших элементов (пример - передвижной трансформаторный резерв на предприятиях электрических сетей).

4. Показатели надежности

Вероятность безотказной работы P(t) - вероятность того, что в заданном интервале времени (0, t) объект не откажет.

Вероятность появления отказа Q(t) - вероятность того, что в заданном интервале времени (0, t) произойдет отказ. Всегда имеет место соотношение:

                                        P(t) + Q(t) = 1.                                                     (1)

Интенсивность отказов λ(t) - условная плотность вероятности отказа объекта к моменту времени t при условии, что до этого момента объект был работоспособен. В начальный период I (0, tн) повышенная интенсивность вызвана приработочными отказами, обусловленными дефектами производства, монтажа, наладки. После него наступает наиболее продолжительный период нормальной эксплуатации II (tн, tи), в котором λ(t) практически постоянна, при этом отказы носят случайный характер и появляются внезапно, прежде всего из-за несоблюдения условий эксплуатации, случайных изменений нагрузки, неблагоприятных внешних факторов. Возрастание λ(t) в период старения и износа III (tи, tр) обусловлено отказами из-за ухудшения физико-химических свойств объекта.

Средняя наработка до отказа t0 - математическое ожидание наработки до отказа для невосстанавливаемых объектов и средняя наработка между отказами для ремонтопригодных объектов.

Для экспоненциального закона распределения наработки до отказа, когда λ=const, справедливы формулы:

               ;    ;    .                (2)

Приближенные формулы обеспечивают приемлемую в расчетах точность при 

Рассмотренные показатели надежности характеризуют только процессы отказов. Для оценки надежности восстанавливаемых объектов необходимы дополнительные показатели, учитывающие и процессы ремонтов. Процесс функционирования восстанавливаемого объекта можно описать как последовательность чередующихся интервалов работоспособности и простоя (аварийного ремонта): tO1, tB1, tO2, tB2, … . Все tOi имеют одно и тоже распределение F(t), а все tBi - одно и то же распределение G(t), причем все случайные величины tOi и tBi взаимонезависимы.

Параметр потока отказов ω(t) - математическое ожидание числа отказов за определенный интервал времени, отнесенное к длине этого интервала. Для экспоненциального закона надежности ω(t)= λ(t)= λ= ω=const.

Интенсивность восстановления μ(t) - условная плотность вероятности восстановления объекта в момент времени t (отсчитываемого от начала ремонта), при условии, что до момента t восстановление не завершено. Так как существуют нормативы времени на проведение ремонтных работ, то принимают μ(t)= μ=const. Численные значения интенсивности восстановления приводятся в НТД по видам оборудования и ремонтов.

Вероятность восстановления G(t) - вероятность того, что отказавший объект будет восстановлен в течение заданного времени t, т.е. вероятность завершения аварийного ремонта. Для экспоненциального распределения времени восстановления (µ=const):

                                      .                                                              (3)

Вероятность невосстановления S(t) - вероятность того, что отказавший элемент не будет восстановлен за время t. Всегда справедливо:

                                      .                                                              (4)

Среднее время восстановления tВ - математическое ожидание времени восстановления.

В таблице 1 приведены показатели надежности восстанавливаемых объектов, характеризующие процессы отказов и восстановлений.

В случаях, когда требуется оценить надежность работы объекта безотносительно к времени его эксплуатации, используются приведенные ниже показатели.

 

 

Таблица 1 Показатели надежности восстанавливаемых объектов

Процесс отказов		Процесс восстановления
Вероятность безотказной работы		Вероятность восстановления
Вероятность отказа		Вероятность невосстановления
Интенсивность отказов	λ	Интенсивность восстановления	μ
Средняя наработка на отказ		Среднее время восстановления

Коэффициент готовности Кг - вероятность того, что объект работоспособен в произвольный момент времени между плановыми ремонтами:

                                               .                                                     (5)

Коэффициент вынужденного простоя КВ - вероятность неработоспособного состояния объекта в любой момент времени:

                                                .                                                    (6)

Коэффициент технического использования КТИ учитывает дополнительные преднамеренные отключения:

                                                ,                                                        (7)

где tП - среднее время нахождения объекта в состоянии планово-предупредительных ремонтов (профилактики).

Для количественной оценки надежности СЭС используют и другие показатели (коэффициент оперативной готовности, средний недоотпуск электроэнергии, удельный ущерб от недоотпуска электроэнергии и т.д.).

5. Методы оценки надежности систем

Цель расчетов надежности системы - вычисление показателей ее надежности на основе показателей надежности элементов, составляющих систему.

Оценку надежности систем можно выполнять аналитическими методами или применяя статистическое моделирование (метод Монте-Карло).

 

5.1. Аналитические методы оценки надежности

Аналитические методы подразделяются на сетевые методы (с использованием логических схем) и методы пространства.

Сетевые методы применяются для систем с монотонными структурами. Определяющим свойством этих структур является то, что каждый элемент системы и сама система могут находиться только в одном из двух возможных состояний - работы или отказа. Системы с монотонными структурами можно представить в виде логических схем (структурных схем надежности). Частным случаем систем с монотонными структурами являются схемы с последовательно-параллельным соединением элементов. Сложную монотонную структуру можно преобразовать в эквивалентную логическую схему с последовательно-параллельными элементами, используя метод минимальных путей и сечений или метод декомпозиции. Анализ надежности систем с использованием логических схем выполняется в предположении независимости отказов элементов. Оценку надежности СЭС с последовательно-параллельными элементами можно выполнять по правилам сложения и умножения вероятностей, а также с использованием универсальных производящих функций вероятностей.

Для сложных систем, когда трудно или невозможно построить логическую схему, в качестве альтернативы сетевым методам можно применять анализ дерева отказов. В данной процедуре можно выявить причинно-следственные связи между отказами на уровне различных подсистем и определить наиболее опасные отказы и самые слабые места системы. Анализ дерева отказов позволяет достичь лучшего понимания работы системы, ее конструкции и эксплуатации.

Сетевые методы определения надежности просты, требуют малого объема вычислений. Применяя сетевые методы или процедуру анализа дерева отказов можно вычислить вероятность отказа системы или вероятность ее безотказной работы. Другие показатели надежности определить очень сложно, поэтому названные методы применимы в основном для неремонтопригодных систем.

Основной областью применения методов пространства состояний является вычисление характеристик надежности ремонтопригодных систем - вероятности отказа, параметра потока отказов и средней наработки на отказ. Учитывается, что любой элемент системы может находиться в различных состояниях (работы, отказа, профилактического ремонта, ненагруженного резерва и т.д.). Чаще применяют модели пространства состояний с постоянными интенсивностями переходов (однородный процесс Маркова). Для определения вероятностей состояний рiрешают систему линейных уравнений:

                                                 рА=0,                                                             (8)

где элементы вектора-строки р=(р1, р2, …) есть вероятности состояний системы; А - матрица интенсивностей переходов, элементы которой аij=λij при i≠j и ;

λij - интенсивность перехода элемента системы из i - го в j - е состояние. Сумма элементов в каждой строке А равна нулю. Поэтому одно из уравнений в (8) является зависимым и заменяется на дополнительное уравнение .

Частота fi появления состояния i и продолжительность Тi пребывания системы в i - ом состоянии определяются как:

                                      .                                          (9)

Для получения значений показателей надежности системы необходимо на основе принятых критериев разделить состояния системы на те, где система нормально функционирует и состояния, которые соответствуют ее отказу. Задача анализа условий отказа - важный и порой самый трудоемкий этап в расчетах надежности методами пространства состояний.

5.2. Оценка надежности методом Монте-Карло

Метод коренным образом отличается от аналитических методов, в которых работа системы описывается некоторой математической моделью, и искомые показатели надежности вычисляются на основе этой модели. В методе Монте-Карло на ЭВМ моделируется действительный ход процесса, и после проведения большого числа наблюдений вычисляются статистические оценки показателей надежности. Метод является численным. Решение задач методом Монте-Карло ближе к физическому эксперименту, чем к классическим численным методам.

Пусть система состоит из двух элементов, и отказ системы происходит при одновременном отказе их обоих

Формирование потоков событий отказов и восстановлений во времени для каждого i - го (i=1,2,…, n) элемента системы выполняется следующим образом:

1) с помощью генератора псевдослучайных чисел, равномерно распределенных в интервале (0, 1), получают число R0 . Для заданного закона распределения F(tо) определяется наработка на отказ i-го элемента - tо ;

2) генерируется следующее случайное число RВ и определяется продолжительность восстановления элемента - tВ.

Вычисления по пунктам 1 и 2 повторяются до тех пор, пока не будут определены состояния i-го элемента в течение расчетного периода времени (Т). Аналогичные расчеты проводятся для всех n элементов системы, а затем исследуют состояния, в которые попадает система. Всякий раз, когда происходит отказ системы, определяют его продолжительность и увеличивают на единицу число зарегистрированных отказов.

Преимущества статистического моделирования на основе метода Монте-Карло:

- отсутствуют ограничения на  вид функций распределения наработки  на отказ и восстановления;

- полнее учитываются особенности  функционирования сложной системы, в том числе и системы с  зависимыми элементами;

- в расчетах легко учесть  изменения в структуре системы  и временные отрезки проведения профилактических ремонтов элементов;

- аналитические вычисления для  этого метода весьма просты (за  исключением анализа условий отказа системы).

Основной недостаток метода Монте-Карло в том, что требуется огромное число испытаний, особенно если в ходе вычислений встречается большое количество различных состояний системы, требующих сложного анализа условий отказа.

6. Ущерб от нарушений электроснабжения

Во многих задачах проектирования и эксплуатации систем электроснабжения учет надежности осуществляется на основе количественной оценки ущерба. Ущерб возникает как в энергоснабжающих компаниях, так и в большей степени у потребителей и их смежников. Производственный процесс основной массы потребителей очень чувствителен к надежности СЭС. Порой даже кратковременные и редкие нарушения надежности функционирования СЭС приводят к длительным расстройствам технологического процесса, останову производства, сопровождаются недовыпуском и снижением качества продукции и услуг, авариями оборудования, простоем средств труда и рабочей силы, загрязнением окружающей среды.

Величина ущерба потребителей в сильной степени зависит от попадания момента отказа в ту или иную стадию технологического процесса, а также от вероятностного времени восстановления электроснабжения. Это ведет к необходимости определять среднее значение (математическое ожидание) ущерба в функции нескольких факторов. Факторы, определяющие величину ущерба (У):

1. тип потребителя и характер производства;
2. недоотпущенная потребителю электроэнергия - ΔА;
3. глубина ограничения по мощности - ΔР;
4. продолжительность ограничения электроснабжения - tогр ;
5. степень внезапности и наличие у потребителя технологического резерва и т.д.