Атом водорода в сверхсильном магнитном поле

 

 Гс.

Интересно отметить, что ввиду консервативности магнитного поля нет принципиальных ограничений сверху на его максимальное значение (в отличие от электрического поля). Однако поскольку из-за вращения нейтронной звезды индуцируется электрическое  поле , то фактически ограничение на значение магнитного поля следует из ограничения сверху на индуцируемое им электрическое поле. Поэтому максимальное магнитное поле, которое может существовать в пульсарах, вероятно, не превышает Гс.

Сразу после рождения температура на поверхности  нейтронной звезды очень большая, однако звезда быстро остывает из-за интенсивного излучения, так что температура на поверхности даже сравнительно молодых нейтронных звезд должна быть примерно 100 эВ. Для более или менее старых нейтронных звезд (старше миллиона лет) температура поверхности, вероятно, должна быть 10-20 эВ.

Огромные  магнитные поля () существенно деформируют атомы в тонком поверхностном слое нейтронной звезды. Происходит полная перестройка атомных оболочек, и существенно изменяется межатомное взаимодействие. В частности, энергия связи и потенциал ионизации атомов значительно возрастают по сравнению с атомами в обычных земных условиях, так что атомы оказываются неионизованными даже при относительно высокой температуре на поверхности нейтронной звезды.

Существенно изменяются также и свойства вещества на поверхности. Например, атомы водорода, которые довольно сильно взаимодействуют  в обычных условиях, образуя молекулу с энергией связи примерно 4,5 эВ, и замерзают, образуя кристалл, при  достаточно низкой температуре, становятся слабо взаимодействующими, будучи полностью  поляризованными в магнитном  поле .

Более того, полностью поляризованный водород  становится в определенном смысле похожим  на гелий. Газ из полностью поляризованных атомов водорода в основном состоянии не замерзает вплоть до нулевой температуры и может образовывать бозе-конденсат и переходить в сверхтекучее состояние при низких температурах.

В сверхсильном поле существенно изменяются также свойства тяжелых атомов и  свойства вещества. Будучи поляризованными  в сильном магнитном поле, атомы  в основном состоянии слабо взаимодействуют, так что поверхность нейтронной звезды находится, вероятно, в жидком или газообразном состоянии. Энергия  связи для вещества на поверхности  звезды сравнима с температурой поверхности и заведомо мала по сравнению с расстояниями между уровнями Ландау: .

Вместе  с тем атомы в возбужденном состоянии могут сильно взаимодействовать, образуя молекулы, длинные полимерные цепочки или кристаллические  структуры с энергией связи, намного  большей, чем энергия связи в  обычных молекулах или твердых  телах.

Заметим, что влияние магнитного поля на состояние  вещества существенно только в тонком поверхностном слое звезды (толщиной примерно 1 м). С увеличением плотности в глубь звезды, когда среднее расстояние между электронами становится меньше циклотронного радиуса электрона на нижнем уровне Ландау, или, другими словами, при плотностях, когда температура Ферми больше магнитной энергии μB, магнитное поле уже не оказывает существенного влияния на свойства вещества. Значение соответствующей плотности для магнитного поля составляет примерно . Следует сказать, что полной ясности относительно состояния вещества в сверхсильном магнитном поле на поверхности нейтронной звезды пока нет. Вместе с тем для теории магнитосферы пульсара и понимания природы его излучения крайне важно знание свойств вещества на поверхности звезды. Более того, для моделей магнитосферы они могут быть определяющими.

В самом деле, благодаря вращению намагниченной  звезды имеется компонента электрического поля, параллельная магнитному полю, которая  способна ускорять электрические заряды до релятивистских энергий. Эти частицы должны заполнять магнитосферу пульсара и быть ответственными за электромагнитное излучение.

В ранних работах предполагалось, что при сильном межатомном взаимодействии на поверхности нейтронной звезды может образоваться вещество, имеющее столь большую энергию связи и работу выхода (превышающую 3 кэВ), что истечение вещества из звезды может быть полностью заперто. В этом случае вблизи поверхности звезды образуется вакуумный зазор, в котором происходит значительное падение электрического потенциала: . Пробой в этом зазоре происходит либо в результате каскадного процесса рождения электрон-позитронных пар, либо при рождении пар γ - квантами. Теория магнитосферы пульсара для случая полностью запертого истечения вещества из поверхности звезды подробно рассмотрена в монографии.

Однако  в последние 10 лет в ряде работ  было показано, что в действительности для полностью поляризованных в сильном магнитном поле атомов межатомное взаимодействие, а следовательно, энергия связи и работа выхода ионов не столь велики, как считалось ранее (во всяком случае, меньше 1 кэВ). В этом случае модели, основанные на большой работе выхода и предполагающие полностью запертую эмиссию частиц, становятся по крайней мере несамосогласованными.

В случае малой работы выхода, возможно, реализуется модель пульсара со ”свободной эмиссией”, в которой предполагается, что области замкнутых линий магнитного поля заполнены плазмой, а в областях открытых линий магнитного поля истечение частиц близко к предельному, при котором происходит полное экранирование электрического поля в этой области. Не исключено, что и другие процессы, например электрогидродинамическая неустойчивость, также влияют на структуру магнитосферы пульсара.

Можно сказать, что в целом структура  магнитосферы зависит от того, какой  из режимов истечения зарядов  реализуется на самом деле. Таким  образом, знание физических свойств  вещества на поверхности нейтронной звезды в сильном магнитном поле оказывается одной из важнейших проблем для физики пульсаров.

Согласно  теории звездной эволюции поверхность  нейтронной звезды должна состоять из атомов тяжелых элементов, преимущественно  из железа. Вместе с тем с течением времени нейтронные звезды могут  приобретать легкие элементы, в основном водород и гелий, в результате аккреции из межзвездного пространства или (в случае двойной звезды) от своего компаньона. При этом тяжелые атомы будут тонуть, а легкие оставаться на поверхности звезды.

Таким образом, можно ожидать, что у  ”старых” нейтронных звезд в атмосфере  и на поверхности будут преобладать  водород и гелий при относительно низкой поверхностной температуре (около 10 эВ), а у ”молодых” нейтронных звезд поверхность состоит в  основном из железа и температура  поверхности равна примерно 100 эВ. Следовательно, свойства вещества в  сильном магнитном поле представляют интерес как в случае, когда  оно состоит из легких атомов, так  и в случае тяжелых атомов.

Возможно  также, что для некоторых пульсаров  реализуется переходный сценарий: модель магнитосферы со свободной эмиссией в начале жизни пульсара и модель с запертой эмиссией для старого пульсара, если энергия связи решетки из чередующихся тяжелых и легких атомов достаточно велика.

3.Атом водорода в сверхсильном магнитном поле

Задача  об атоме водорода в сверхсильном магнитном поле впервые рассматривалась  в связи с поведением водородоподобных экситонов (так называемых экситонов Ванье-Мотта) в полупроводниках в сильном магнитном поле. В случае водородоподобных экситонов в полупроводнике ”сверхсильное” магнитное поле не столь велико из-за малой эффективной приведенной массы электрона и большой диэлектрической проницаемости полупроводника. Так, для экситонов в InSb магнитному полю соответствует поле с индукцией 2 кГс, вполне доступное в лабораторных условиях.

Даже  простейшая задача об атоме водорода в однородном магнитном поле не имеет точного аналитического решения, поскольку из-за разной симметрии членов с магнитным полем и кулоновского потенциала переменные в уравнении Шредингера не разделяются. Уже в области слабых магнитных полей (линейный эффект Зеемана) и, особенно, в области промежуточных значений магнитного поля (квадратичный эффект Зеемана) не существует решений, позволяющих даже классифицировать энергетические состояния атома в магнитном поле, и не ясен вопрос о пересечении энергетических термов.

В случае сверхсильного магнитного поля легко найти асимптотическое  решение, которое, однако, можно получить лишь с логарифмической точностью.

В сверхсильном магнитном поле расстояние между уровнями Ландау становится значительно больше энергии кулоновского взаимодействия, что эквивалентно условию

                                             (2.1)

 

где - боровский радиус. При этом электрон находится на нижнем, нулевом, уровне Ландау, а атом деформируется, приобретая форму тонкой трубочки, вытянутой вдоль магнитного поля, с радиусом порядка и длиной .

Оценку  для энергии основного состояния  атома водорода можно получить из рассмотрения простой модели. Будем  считать, что в основном состоянии  энергия атома складывается из кинетической энергии движения вдоль магнитного поля (ось z) с импульсом и потенциальной энергии однородно заряженной трубочки с радиусом и длиной L:

 

                                 (2.2)

 

Минимизируя (2.2), с логарифмической точностью получаем

 

                                          (2.3) 

                                    (2.4)                   

 

Формально более строгое решение задачи можно получить, используя так  называемое адиабатическое приближение. Будем рассматривать кулоновское  взаимодействие электрона с ядром как малое возмущение для движения электрона в однородном магнитном поле. Уравнение Шредингера для атома водорода в магнитном поле имеет вид

                         (2.5)

 

Для удобства будем пользоваться здесь атомными единицами ; магнитное поле выражается, соответственно, в единицах = Гс.

Направим  ось z вдоль магнитного поля и выберем обычную калибровку для векторного потенциала . В первом приближении по 1/В ≪ 1 волновая функция электрона может быть представлена в виде

                                                                           (2.6)

где

        (2.7)

 

- волновая функция свободного поперечного движения электрона в магнитном поле, а есть решение уравнения Шредингера, получающегося усреднением уравнения (2.5) по функциям . Здесь — полярная координата в плоскости xy, — угловая координата, — обобщенный полином Лагерра. Заметим, что в атомных единицах радиус нижней орбиты Ландау .

Состоянию с наименьшей энергией отвечает нижний уровень Ландау при . Соответствующее уравнение для имеет вид

                                                                   (2.8)

где энергия связи

 

а потенциал 

                                                  (2.9)

Для приближенного решения уравнения (2.8) потенциал (2.9) можно аппроксимировать выражением

                                                       (2.10)

где параметры а и A зависят от магнитного поля и квантовых чисел задачи и m. При этом задача сводится к одномерному уравнению Шредингера с потенциалом , переходящим в одномерный кулоновский потенциал на расстояниях, больших по сравнению с "размерами” атома, т.е. при .

Решение уравнения (2.8) с потенциалом (2.10), описывающее основное состояние, выражается через функции Уиттекера:

,                                               (2.11)

где индекс – α в  (10) является аналогом главного квантового числа в задаче об атоме водорода, т.е.

                                                        (2.12)

Можно легко получить асимптотическое  выражение для энергии основного  состояния. Для  с логарифмической точностью и из (2.12) следует выражение (2.4) для энергии связи основного состояния:

                                              (2.13)

Отметим, что решение задачи для энергии  связи водорода в сильном поле является асимптотическим и получено всего лишь с логарифмической точностью. Формула (2.13) дает лишь главный член в разложении, причем требуется не только , но и.

Таким образом, для магнитных полей  Гс, типичных для нейтронных звезд, выражение (2.13) обеспечивает правильные значения энергии основного состояния только по порядку величины. Многие авторы использовали различные приближенные методы, позволяющие получить (при В ≫ 1) значение энергии водорода с точностью, приемлемой для сравнения с наблюдениями.

На  рис. 1 показана энергия связи основного  состояния атома водорода как  функция магнитного поля для низшего уровня Ландау при значениях проекций орбитального момента m = 0, 1, 2, 3. Для магнитного поля В = 10¹² Гс, типичного для нейтронной звезды, потенциал ионизации водорода составляет примерно 160 эВ.

 

В основном состоянии спин электрона жестко фиксирован, будучи направленным против поля. Энергия, необходимая для переворота спина, очень велика. Например, для магнитного поля В = 10¹² Гс она составляет μВ ≈ 11, 6 кэВ. Возбужденные состояния в дискретном спектре получаются как решения уравнения Шредингера (2.8) в одномерном кулоновском поле и соответствуют волновым функциям, имеющим нули при конечных z. (Волновая функция основного состояния не имеет нулей по z.)

Спектр  возбужденных состояний водорода в  сильном магнитном поле более  или менее аналогичен спектру  обычного атома водорода. С логарифмической  точностью (порядка 1/ 1n В) энергетические уровни даются выражением . Эти возбужденные состояния находятся вблизи потолка дискретного спектра, а энергия связи в них мало отличается от энергии связи обычного водорода (13, 6 эВ). Полное решение задачи о спектре водорода в произвольном магнитном поле требует довольно громоздких вычислений.