Волны в упругой среде. Волновое уравнение

 

Вспомнив теперь формулу , содержащую определение деформации, и подставив ее в (2.9), получаем:

                                                                                                             (2.10)                        

Это—волновое уравнение. Оно указывает, что смещение распространяется но стержню в виде волн

                                                                                                                    (2.11)

или образует суперпозицию таких волн. Скорость распространения этих волн (скорость звука в стержне)

                                                                                                                            (2.12)

(мы опускаем для краткости индекс 0 у р). Эта скорость тем больше, чем жестче и чем легче материал. Формула (2.12)—одна из основных формул акустики.

Наряду со смещением  нас интересуют скорость v = , с которой

.движутся отдельные плоскости х = const (не смешивать с u), деформация и напряжение . Дифференцируя (2.11) по t и но x, получаем:

  v= uf’(x ut)                                                                                                              (2.13a)

=f'(x ut),                                                                                                                  (2.13б)

=Ef’ (x   ut).                                                                                                            (2.13в)

Таким образом, смещение, скорость, деформация и напряжение распространяются в виде связанных определенным образом между собой недеформирующихся волн, имеющих одну и ту же скорость и одинаковое направление распространения.

На рис. 5 показан пример «моментальных снимков», относящихся к одному и тому же моменту времени, смещения, деформации и скорости в одной и той же упругой волне. Там, где смещение имеет максимум или минимум, деформация и скорость равны нулю, так как они обе пропорциональны производной f'{x ut). Физическая интерпретация здесь очевидна: около максимума или минимума смещения соседние (бесконечно близкие) точки одинаково смещены и, следовательно, нет ни растяжения, ни сжатия; в тот момент, когда смещение достигает максимума (минимума), его возрастание сменяется убыванием (или наоборот).

Сравнивая формулы (2.13а), (2.13в) и принимая во внимание (2.12) мы видим, что

                                                                                                                                (2.14)

где

                                                                                                              (2.15)

есть величина, не зависящая от вида функции f и целиком определяемая свойствами материала. Эта величина называется удельным акустическим сопротивлением материала. Она является, как мы видим, наряду с u его важнейшей акустической характеристикой. Название величины связано с формальной аналогией между уравнениями (2.14) и законом Ома (р аналогично разности потенциалов,  v - силе тока).

 

§ 2. Упругие волны в газах и жидкостях

1. Волновое уравнение.

Мы рассматриваем здесь газ или жидкость (так же как твердое тело в предыдущих параграфах) как сплошную непрерывную среду, отвлекаясь от его атомистической структуры. Под смещением мы здесь понимаем (как и в § 1) общее смещение вещества, заполняющего объем, заключающий в себе очень много атомов, но малый по сравнению с длиной волны.

Будем считать, что рассматриваемый газ или жидкость находятся в очень длинной цилиндрической трубе, образующие которой параллельны оси х, и что смещение зависит только от одной координаты х. Мы можем применить к столбу газа или жидкости, заполняющему трубу, те же рассуждения, что и к стержню (§ 1). Мы придем, таким образом, к уравнению

                                                                                                          (2.16)

где р = — есть давление в газе или жидкости. Здесь — значение плотности в состоянии равновесия. Пусть ей соответствует давление р0. Величины р0, не зависят ни от х, ни от t.

Уравнение (2.16) применимо и в случае плоских волн в неограниченной жидкой или газообразной среде (можно мысленно выделить цилиндрический столб, параллельный направлению распространения и применить к нему те же рассуждения, что к столбу, заключенному в трубе).

Как известно из термодинамики, р есть функция плотности данной массы газа (или жидкости) и ее температуры. Температура в свою очередь изменяется при сжатии и разрежении. Теплопроводность газов и жидкостей очень мала, поэтому можно считать в первом приближении, что при распространении звука процесс сжатия и разрежения каждой части газа или жидкости происходит адиабатически, т. е. без заметного теплообмена с соседними частями. В термодинамике показывается, что в этом случае (если можно пренебречь внутренним трением и некоторыми другими явлениями температура является однозначной функцией плотности , и следовательно, давление также.

При заданной деформации в твердом теле также зависит от температуры. Но в акустике твердых тел это обстоятельство не играет, существенной роли.

В газах и в жидкостях за некоторыми исключениями (например вода, при температуре ниже 4° С) температура растет при сжатии и уменьшается при расширении.

Есть однозначная функция плотности:

p=f(p).                                                                                                                          (2.17)

Введем обозначения

,                                                                                       (2.18) где  и — соответственно изменения давления и плотности при нарушении равновесия.

Подставляя первую формулу (2.18) в (2.16) и принимая во внимание, что при равновесии давление не зависит от х, т. е.

получаем:

                                                                                                   (2.19)

Найдем теперь связь между и деформацией = .  Мы сначала выразим   через , а затем через :

а) Подставляя (6.28) в (6.27), имеем:

P0+ =f( + )

разлагая f( + ) в ряд по степеням ,

P0+ =f( )+f’( ) +1/2f’( )( )2......

Так как P0=f( ), то получаем:

=f’( ) +1/2f’’( )( )2.....                                                                              (2.20)

Здесь мы сделаем существенное предположение: будем считать уплотнения и разрежения настолько малыми, что допустимо пренебречь в разложении (2.20) членами, пропорциональными ( )2, ( )3, . . ., и заменить (2.20) линейным соотношением

=f’( )

Тем самым мы ограничиваем себя исследованием волн малой интенсивности.

f’( ) —постоянный при данных условиях опыта коэффициент, определяемый состоянием среды при равновесии.

б) Объем V0 в результате деформации превращается в объем

V=V0 (1+ ),                                                                                                                 (2.21)

так как здесь поперечный размер (в отличие от твердого стержня) остается, постоянным, а длина  превращается в                       . Но произведение плотности на объем, равное массе рассматриваемой порции вещества, не меняется:

 

Подставляя (2.18) и (2.21), получаем:

 

 

 

Пренебрегая и здесь высшими степенями малой величины          , получаем:

 

 

 

Таким образом,

                                                                                                                                     (2.22)

Подставляя, наконец, (2.22) в (2.19), мы получаем волновое уравнение

 

                                                                                                                                     (2.23)

                                                                                                                                     (2.24)

Отсюда заключаем, что рассматриваемые малые деформации распространяются в виде плоских не деформирующихся волн; скорость распространения (скорость звука) тем больше, чем сильное в данной среде возрастает давление при адиабатическом возрастании плотности; она раина квадратному корню из производной давления по плотности, взятой при значении последней в отсутствие волны (          ).

2. Случай идеального газа. Идеальным газом называется газ, для которого справедливо уравнение состояния

pV=RT,                                                                                                                         (2.25)

где p – давление, V—объем одного моля, R—универсальная газовая постоянная, равная 8,3143 эрг/град, T—температура, измеренная по термодинамической шкале («абсолютная температура»), или

 

 

где М— масса 1 моля,  = M/V— плотность.

Воздух, кислород, азот, водород и многие другие газы при комнатной температуре и давлении порядка атмосферного можно рассматривать с достаточным для акустики приближением как идеальные газы.

Как учит термодинамика, в случае идеального газа соотношение (2.17) имеет вид

                                                                                                                                     (2.26)

где

 

постоянная величина (С  и С — теплоемкости газа соответственно при постоянном давлении и постоянном объеме). Следовательно, здесь

             (2.27)

(формула Лапласа).

Еще задолго до Лапласа вопросом о скорости звука в воздухе занимался Ньютон. Он считал, что

       (2.26а)

т. е. не учитывал изменения температуры воздуха при распространении в нем звуковой волны, вследствие чего получил для скорости звука соотношение

       (2.27а)

Это соотношение можно получить из уравнения (2.24), подставляя в него (2.26а) вместо (2.26).

Для воздуха (   =1,4) при комнатной температуре (20° С, Т =293°) формула Ньютона дает u =290 м/сек, формула Лапласа и =340 м/сек. Сравнивая эти значения с теми, которые дает опыт (гл. V, § 3), мы видим, что формула Лапласа, в отличие от формулы Ньютона, хорошо согласуется с опытом. Формула Лапласа хорошо подтверждается на опыте и для других газов (но крайней мере при не очень высоких частотах.

Этим оправдывается предположение о том, что сжатие и разрежение газа в звуковой волне являются практически адиабатическими процессами.

 

Список использованной литературы.

 

•        Горелик, Колебания и волны,
• И.В. Савельев, курс общей физики, т.2, М, 1988г.
• Б.М. Яворский, А.А. Пинский, Основы физики, т.2, М., 1972г. 
  

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ.

 

Задача №1.

Амплитуда вынужденных колебаний реактора при очень малой частоте 2 мм, а при резонансе  16 мм. Предполагая, что декремент затухания меньше единицы, определить его.

 

Задача №2.

 

Две волны Х1=Аsin(wt-kl) и Х2=Аsin(wt+kl) с одинаковыми частотами 4Гц распространяются со v=960 см/сек. Они интерферируют между собой и образуют стоячую волну. Определить амплитуды точек стоячей волны через каждые 20 см, начиная отсчет от узла. Определить величину смещения и скорость этих точек для момента времени 7/24 сек. 

Задача №3.

Между приемником и стенкой расположен источник звуковых колебаний с частотой – 100 Гц. Линия, проведенная через приемник и источник, нормальна к стенке, которая движется к источнику вдоль этой линии со v=7 м/с. Скорость звука 340 м/с. Возможно ли возникновение акустического биения.

 

Для рецензии и заметок: