Вынужденные колебания торсионного пружинного осциллятора

 
 
 
 
 
 

                                             Лабораторная работа.

Тема: вынужденные колебания торсионного пружинного осциллятора. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                           Иркутск

                                                              2009

Цель  работы: изучить вынужденные колебания торсионного пружинного осциллятора. Изучить установившиеся вынужденные колебания.

                                  Краткие сведения из теории.

В данной лабораторной работе рассматриваем движение линейного механического осциллятора под действием синусоидальной вынуждающей силы. Используем модель торсионного осциллятора -  уравновешенный маховик со спиральной пружиной. Рассматривается кинематический способ возбуждения колебаний, когда одна из частей системы совершает заданное периодическое движение. Изучаются установившиеся вынужденные колебания.

Колебания называются вынужденными, если они возникают под действием периодически изменяющейся внешней силы. Особенность вынужденных колебаний заключается в явлении резонанса, когда сравнительно слабое периодическое внешнее воздействие может вызвать чрезвычайно сильную реакцию осциллятора. Вынужденные колебания, происходящие при постоянном действии периодической внешней силы, зависят от характеристик внешнего воздействия, а именно от амплитуды и частоты внешней силы.

                                             Модель системы.

Для изучения закономерностей вынужденных колебаний  мы используем механический осциллятор – уравновешенный инертный маховик (стержень с грузами) на упругой спиральной пружине, обеспечивающей ему устойчивое положение равновесия. Второй конец пружины соединен с возбуждающим шатуном, который можно поворачивать в одну и в другую сторону вокруг общей с маховиком оси.

При повороте шатуна положение равновесия ротора (маховика) смещается вместе с шатуном на такой же угол. Около нового положения равновесия ротор может совершать затухающие колебания на собственной частоте. При слабом и умеренном трении частота этих колебаний близка к частоте ω₀ собственных колебаний маховика в отсутствие трения. Эта частота определяется жесткостью D пружины и моментом инерции J маховика: 
.

Если шатуну принудительно сообщить периодическое  колебательное движение, то на осциллятор будет действовать периодическая внешняя сила. Такое воздействие дает пример кинематического возбуждения колебаний, для которого характерно заданное движение какой-либо части колебательной системы. При динамическом, т. е. прямом силовом возбуждении, задается действующая на осциллятор внешняя сила, явно зависящая от времени и не зависящая от положения и скорости осциллятора. Дифференциальные уравнения для силового и кинематического способа возбуждения колебаний одинаковы.

 Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.

Пусть возбуждающий шатун принудительно совершает  гармонические колебания около  среднего положения с некоторой  амплитудой Φ₀ и угловой частотой ω, так что угол его отклонения Φ(t) синусоидально зависит от времени:    

                                                                                (1)

Если в некоторый момент времени t маховик осциллятора отклонен от среднего положения на угол φ, то со стороны пружины на маховик действует момент сил

-D(φ-Φ)= -Dφ+DΦ₀sinωt. В самом деле, пружина в этот момент времени деформирована (закручена от равновесного состояния) на угол (φ-Φ), а не на угол φ, как в случае свободных колебаний. Поэтому уравнение основного закона динамики для вращательного движения маховика с моментом инерции J в отсутствие трения имеет вид:

                                                   .                                  (2)

Это уравнение  можно рассматривать и как  дифференциальное уравнение вынужденных  колебаний торсионного пружинного осциллятора под действием приложенного к нему заданного внешнего момента D ₀ , изменяющегося синусоидально с частотой ω и неизменной амплитудой D ₀. Таким образом, кинематический и силовой способы возбуждения действительно описываются одним и тем же дифференциальным уравнением.

Разделив  обе части уравнения (2) на момент инерции маховика J и вводя обозначение ω₀=   для частота собственных колебаний ( =D/J), переписываем уравнение в канонической форме:

                                                                                           (3)

При наличии  вязкого трения, пропорционального  скорости, мы должны добавить в уравнение  движения тормозящий момент силы трения, пропорциональный угловой скорости маховика φ. Тогда вместо уравнения (3) будем иметь:

                                                                               (4)

Постоянная  затухания 𝑦 характеризует интенсивность вязкого трения. Как и в случае собственных колебаний, вместо неё можно использовать эквивалентную безразмерную величину – добротность Q, определяемую соотношением . Таким образом, вынужденные колебания осциллятора описываются неоднородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка, в отличие от собственных колебаний.

Периодическое частное решение этого уравнения, описывающее установившиеся вынужденные  колебания:

                                                  .                                           (5)

Установившиеся  колебания характеризуются определенными постоянными значениями амплитуды α и сдвига фаз δ между колебаниями ротора осциллятора и возбуждающего шатуна. Величина α и δ зависят от близости частоты внешнего воздействия ω к собственной частоте осциллятора ω₀. Зависимость α(ω) и δ(ω) от частоты внешнего воздействия называют соответственно амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристиками осциллятора. При относительно слабом трении (при 𝑦 ) зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты имеет ярко выраженный резонансный характер – амплитуда резко возрастает при приближении ω к собственной частоте ω₀.  График зависимости амплитуды установившихся колебаний от частоты ω называют резонансной кривой. Чем выше добротность Q осциллятора, тем острее пик резонансной кривой, т. е. тем сильнее выражены резонансные свойства осциллятора.

Амплитуда и сдвиг фаз установившихся вынужденных колебаний:

    , (6)      

Графики зависимости амплитуды от частоты α(ω) (резонансные кривые, или амплитудно частотные характеристики осциллятора) для нескольких значений добротности.     

Резонансное значение вынуждающей частоты ωrеs, при котором амплитуда установившихся колебаний максимальна:

.                           (7)

 При малом трении, когда 𝑦 или Q .

Амплитуда установившихся вынужденных колебаний  при резонансе (для 𝑦< ) и приближенное выражение для неё, справедливое при 𝑦 :

                                   .                  (8)

Здесь добротность  Q – та же самая безразмерная величина , которая характеризует затухание собственных колебаний.

График зависимости фазы вынужденных колебаний от частоты (графики сдвига фаз δ(ω) между вынужденными колебаниями ротора и возбуждающего шатуна), полученные из (6) для разных значений добротности Q.

Из графика  видно, что установившиеся колебания  всегда отстают по фазе от возбуждающей силы, поскольку сдвиг фаз δ(ω) отрицателен при всех частотах. При низкой частоте ω запаздывание почти исчезает, т. е. маховик совершает колебания в фазе с шатуном. В случае ω=ω₀ при любом трении колебания маховика отстают от колебаний возбуждающего стержня на четверть периода (δ=- ): когда маховик достигает крайних отклонений, стержень проходит через среднее положение, и наоборот. Когда ω значительно превосходит ω₀, сдвиг фаз δ приближается к – : запаздывание маховика по фазе составляет 180°. В этом случае маховик и шатун в любой момент движутся в противоположных направлениях. Они почти одновременно пересекают нулевое деление шкалы, и почти одновременно достигают своих противоположных крайних точек. В отсутствии трения сдвиг фаз либо равен нулю (при ω<ω₀), либо 180° (при ω>ω₀). При ω=ω₀ происходит скачкообразный переход от режима колебаний маховика в фазе с шатуном к режиму колебаний в противофазе.(в отсутствие трения амплитуда маховика в точке этого перехода обращается в бесконечность).

Амплитуда Ω угловой скорости при установившихся вынужденных колебаниях:

                                                             (9)

Резонансные  кривые скорости для нескольких значений добротности.

Кривые зависимости  сдвига фаз между колебаниями угловой скорости маховика и колебаниями шатуна. При резонансе скорости, т. е. при ω=ω₀, этот сдвиг обращается в нуль – изменения скорости происходит в фазе с изменениями вынуждающих силы, что соответствует наиболее эффективной передаче энергии осциллятору от внешнего источника, приводящего в движение возбуждающий шатун.

Максимальное (резонансное) значение амплитуды угловой  скорости установившихся вынужденных колебаний (при ω=ω₀):

                                    .                            (10)

Спектральная  зависимость средней поглощаемой (рассеиваемой) мощности от частоты (лоренцевский контур):

                                               (11)

Где τ=1/𝑦 – характерное время (время затухания) осциллятора. Описываемая выражением спектральная зависимость часто встречается в различных физических проблемах и называется лоренцевским контуром.

График функции  имеет вид симметричного пика, центр которого расположен при ∆ω=0, т. е. при ω=ω₀. При смещении от этого положения (от максимума) в любую сторону на ∆ω=1/τ=𝑦 поглощаемая мощность уменьшается до половины своего максимальное значение. Таким образом, ширина лоренцевского контура на половине высоты (полуширина) составляет 2𝑦=2/τ.

                                                             Ход работы.

1. Определить период колебаний внешних сил (частота колебаний пружины).

                  (n=10).