Двухслойный графен

Развивая  эту модель, параллельно сразу  две группы выполнили расчеты, чтобы  лучше понять особенности поведения  электронного газа в двухслойном графене. Результаты расчетов были опубликованы в журнале Physical Review B. Теоретические исследования показали, что наличие второго слоя графена обеспечивает возможность новых фазовых переходов в состояния нарушенной симметрии при низких температурах, в частности, в сегнетоэлектрическое состояние. Это означает, что при определенной температуре графен может не только проявлять диэлектрические свойства, но и иметь свой собственный дипольный момент, который можно переориентировать за счет внешнего электрического поля.

Безусловно, пока эти исследования находятся лишь на стадии теоретического расчета, и до перехода на практическую стадию ученым предстоит еще много  работы. Однако, надежду исследователям дает тот факт, что численные оценки показывают: эффект, вероятно, может наблюдаться с помощью существующих экспериментальных методик.

2.2 Квантовый эффект Холла в двухслойном графене.

Существует  два известных различных типа целочисленного квантового Эффекта  Холла. Одним из них является обычный  квантовый эффект Холла, характерный  для двумерных полупроводниковых  систем, а другой его релятивистский аналог наблюдаемый в графене, где  носители заряда, фермионы Дирака имитируют характеристики фазы Берри, в результате чего смещается позиция плато Холла. В данной работе представлен третий вид целочисленного квантового эффекта Холла.

Носители заряда в двухслойном графене имеют параболический энергетический спектр, несовмещающихся, показанные в 2π фазе Берри, влияющие на  их квантовую динамику. Квантования Ландау, это результат этих фермионов в плато в электропроводности Холла при стандартном положения целого числа, но последнее плато (нулевого уровня)  отсутствует. Непоследовательность нулевого уровня сопровождается металлической электропроводимостью в предельно низких концентрациях и сильных магнитных полях, в полном отличии от обычного, диэлектрического поведение в этом режиме. Выявленные несовмещающиеся фермионы   не имеют известных аналогов и представляют собой интригующие случаи для квантово-механических исследований.

На  рисунке 1 представлен схематический  обзор квантового эффекта Холла (КЭХ), режим наблюдается в двухслойном графене путем сравнения его с обычным целочисленным КЭХ. В стандартной теории, каждый заполненный одно — вырожденным уровнем Ландау способствует одной квантовой проводимости e²/h  по отношению к наблюдаемой электропроводностью Холла (где e – заряд электрона, h – постоянная Планка). Обычный КЭХ (показанный на рис 1а), где плато в электропроводности Холла равен σ_xy , составляет непрерывные ступени равноудаленных шагов. В двухслойном графене, плато КЭХ следует по той же ступени, но при нулевой σ_xy явно отсутствует (рис 1b). Вместо этого, электропроводность Холла подвергается дву – размерным  шагам по всей области. Кроме того, электропроводимость относящиеся к длине σ_xx в двухслойном графене остаётся e²/h  порядка даже при нулевом значении σ_xy. Возникновение необычного поведения КЭХ, заключается в том что, в связи между двумя слоями графена, который преобразует безмассовые фермионы Дирака, характерные для однослойного графена (рис  1c), это новый тип киральных квазичастиц. Такие квазичастицы имеют обычные параболические спектра (p)=p²/2m с эффективной массой m, но накапливаются в 2π фазе Берри, вдоль траекторий циклотрона (где ε – энергия квазичастиц, а p его импульс). В последнем показана связь необычного квантования, где два нижних уровня Ландау легли точно на ноль энергии ε, направляющий к отсутствию плато показанный на рис 1b.

 

Рис. 1 Три типа целочисленного квантового эффекта Холла.

 

Двухслойные плёнки, изученные  в данной работе были получены из микромеханических расщеплений кристаллов природного графита, за которым последовало выборка двухслойные ряды с использованием комбинации оптической микроскопии и атомно-силовой микроскопии. Многоцелевой разъем полевых устройств (см. вставку на рис 2а) были сделаны из выбранных рядов с использованием стандартных микро технологических методов. В качестве субстрата мы использовали окисленные сильно легированные кремниевые пластины, что позволило нам применить клапан на затворе V_g между графеном и подложкой. Изученные устройства показали амбиполярное влияние электрического поля так, что электроны и дырки могут быть вызваны в концентрации n вплоть до 10¹³cм⁻², (n=αV_g , где α≈7.3×10¹⁰cm⁻²V⁻¹ для 300 нм SiO₂ слоёв).

На  рисунке 2a показано типичное поведение КЭХ в двухслойном графене по фиксированному V_g (фиксированному n) помещённого в переменное магнитное поле B в 30T. Все плато хорошо видны на сопротивление Холла  ρ_xy при высоком B, и они сопровождаются нулевым удельным сопротивлением. Наблюдаемая последовательность плато КЭХ описывается ρ_xy = h/4Ne², которая является той же последовательностью как и ожидалось для двумерных (2D) свободных фермионовых систем с двойным спином и двукратным вырожденным желобом. Не смотря на это, очевидная разница между обычным и предполагаемым КЭХ возникает в режиме малых факторов заполнения <1 (см. на рис 2b,c и на 3). Такой режим удобно исследовать путем фиксации B, и различных концентраций электронов и дырок, проходящих через точку нейтрали | N | ≈ 0, где ρ_xy меняет знак при     = 0. Кроме того, из-за подвижности носителей μ в графитовых пленках, что слабо зависят от N, измерения в постоянной В более информативны. Им соответствует почти постоянный параметр μB, который определяет качество квантование Ландау, и это позволяет одновременно наблюдать несколько плато КЭХ в течение одной развертки напряжения в умеренном магнитном поле (рис. 2b). Поскольку периодичность квантовых осцилляций в ρ_xx , как функция n определяется плотностью состояний gB/₀ (где g вырождение и ₀ это квант потока) на каждом уровне Ландау (см. рис. 1). К примеру, на рисунке 2с показано что n≈1.2×10¹²cm⁻² при B = 12 T, что даёт g = 4 и это доказывает двойной спин с двукратным вырожденным желобом ожидаемых от расчета  зонной структуры для двухслойного графена.

Рис.2 Квантовый эффект Холла в  двухслойном графене.

На  рисунке 2 показано что, не смотря на плато  Холла в двухслойном графене, за ним следует целочисленная последовательность σ_xy = ± (4e² / h) N для N ≥ 1,где нет никакого нулевого знака,  плато N на σ_xy = 0, ожидаемых для 2D свободных систем фермионов (рис. 1а). В этом отношении их поведение напоминает КЭХ для безмассовых фермионов Дирака (рис. 1с), где также нет плато, где  только возникает один шаг при переходе σ_xy в нейтральную точку. Однако в двухслойном графене, этот шаг имеет двойную высоту и сопровождается центральным пиком в ρ_xx, который в два раза шире, чем другие пики (рис. 2с). Более широкий пик в двухслойном графене, от перехода между самой низкой дырки и электроном плато Холла, что требует вдвое больше количества носителей, необходимых для перехода между другими плато КЭХ. Это означает, что наинизший уровень Ландау имеет двойной вырожденый 2 × 4B/φ₀, который можно рассматривать в качестве двух уровней Ландау объединённых вместе в N ≈ 0 (см. диаграммы уровня Ландау на рис. 1). Непрерывные измерения посредством ν = 0, (как показано на рис. 2b,c) были невозможны для традиционных 2D систем, где для нулевого уровня плато в σ_xy = ρ_xy / (ρ²_xy + ρ²_xx) можно вывести из быстрого (часто экспоненциального) преувеличение ρ_xx>>h/e² и при быстром увеличении B и снижение температуры  Т для фактора заполнения ν <1, что указывает на изолирующее состояние. Для обеспечения прямого сравнения с обычными измерениями КЭХ, рис. 3 показывает ρ_xx в двухслойном графене как функцию В и Т около нулевого ν. Двухслойный графен показывает мало магнетосопротивления или температурную зависимость в нейтральности точке, в полном контрасте с обычным поведением КЭХ. Это означает, что σ_xy в двухслойном графене не обращается в нуль, так как на любом интервале ν и достигает нуля только в одной точке, где ρ_xy меняет знак. Обратите внимание, что ρ_xx неожиданно поддерживает пиковое значение около h/ge² в поле до 20 Тл и температуре до 1 К. Конечное значение ρ_xx ≈ h/4e² в пределе низкой концентрации носителей и при нулевом B был зарегистрирован в однослойном графене. Данное наблюдение было в качественном соответствии с теорией, которая объясняет конечную металлическую проводимость и отсутствие локализаций как релятивистский спектр однослойного графена. Двухслойный графен имеет обычный параболический спектр, и при наблюдении, при максимальном сопротивлении, равно приблизительно h/4e² и к тому же, ее слабая зависимость от B в этой система является наиболее неожиданной. Однако следует отметить, что квантование в нем является менее точным, чем в однослойном графене, а максимальное значение колеблется от 6 до 9 кΩ для различных устройств с применением двухслойного графена.

Рис. 3 Удельное сопротивление двухслойного графена, относительно малого магнитного поля, при низкой температуре.

Нетрадиционный  КЭХ в двухслойном графене происходит из за особых свойств его носителей зарядов, киральных фермионов с конечной массой, как описано ниже. Во-первых, мы рассчитали спектр квазичастиц в двухслойном графене с помощью стандартного приближения смежных слоёв. Для квазичастиц по углам зоны Бриллюэна известный как K-точки, мы нашли:

(,    (1)

где , a является периодичность решетки и находятся внутри слоя и прослойки константы связи, соответственно. Это дисперсионное соотношение (на рис. 2b) согласуются с перва принципом расчета зонной структуры и, при малых энергиях, становится параболической ε = ± p²/2m ,  с    m = γ₁/2 (знак ± означает электронные и дырочные состояния). Дальнейший анализ показывает, что квазичастицы в двухслойном графене можно описать с помощью эффективного гамильтониана: , когда

Ĥ действующий в пространстве двухкомпонентной функций Блоха (именуемый в дальнейшем псевдоспином), описывающий амплитуду электронных волн на слабо связанных ближайщими узлами A1 и B2 принадлежащих двум неэквивалентным углеродных подрешеток А и В и двух графеновых слоях отмечены как 1 и 2 .

Для данного направления импульса квазичастицы, р = (pcosφ, psinφ), H_J гамильтониана общего вида:

,

который можно записать в виде:

(2)

где  и вектор σ производится из матрицы Паули. Для двухслойного графена, J = 2, но обозначение J полезно, поскольку она также обозначает  уравнение (1), связано с случаем однослойного графена, где         J = 1. Собственным состояниям Ĥ_J соответствуют псевдо-спины,  поляризованных параллельно (электронов) или анти (дырок) на «квантование» оси N. Адиабатическое выведение таких псевдо-спиновых форм, которые сопровождают вращением импульса р на угол φ, которым также соответствует вращению оси n на угол J_φ. В результате этого, если квазичастицы опоясывает замкнутый контур в импульсном пространстве (то есть φ = 2π), тогда сдвиг фаз Φ = Jπ известная как фаза Берри достигается путем квазичастицей волновой функции. Фаза Берри можно рассматривать как, возникающее вследствие вращения псевдо-спин, когда квазичастицы повторно перемещается между различными углеродных подрешеток (А и В для однослойного графена, и A1 и B2 для двухслойного графена). Для фермионов завершающий циклотрон орбиты, фаза Берри способствует полуклассической квантования и влияет на фазы Шубникова – де Гааза колебаний (SdHOs). Для однослойного графена, это приводит к π-смещению в SdHOs и связанных ½ сдвига в последовательности плато КЭХ, по сравнению с обычными 2D – системами, где фаза Берри равна нулю. Для двухслойного графена, где Φ = 2π и что доказывает, что не может быть каких-либо изменений в квазиклассическом пределе (N>>1). Можно было бы также ожидать, что 2π фаза не может повлиять на КЭХ секвенирования. Однако точный анализ спектров уровня–Ландау, для гамильтоновых проявляющие Jπ фазу Берри показывают, что есть соответствующие         J-кратные вырождения нулевого энергетического уровня Ландау (то есть 2π  фаза Берри приводит к наблюдаемым следствиям в квантовом пределе N = 0). Для свободных фермионов  КЭХ (где нет никакой фазы Берри), дается энергия =ω_c (N + ½) и нижние состояние которого находится в конечной энергии ω_c/2, где циклотронная частота ω_c = eB/m. Для однослойного графена (J = 1, Φ = π), и есть состояние ε₀ при нулевой энергии. Для двухслойного графена (J = 2, Φ = 2π), , при двух нижних состояний лежащие при нулевой энергии.

Существование двойных вырожденных уровней  Ландау объясняет нетрадиционный КЭХ  найденный в двухслойном графене. Данный уровень Ландау находится на границе между электронным и дырочным газами, и с учетом четырехместным спином и желобом падения, он принимает 8B/φ₀ концентрации носителей. Относительно рис. 1, существование такого уровня Ландау подразумевает, что должен быть такой, что КЭХ проходящий через нейтральную точку, как и в случае с однослойным графеном. Благодаря двойному вырождению, он занимает двойное количества носителей, чтобы заполнить его (по сравнению со всеми остальными уровнями Ландау), так что переход между соответствующими плато КЭХ должны быть в два раза шире (то есть 8B/φ₀ в сравнении с 4B / φ₀). Кроме того, ступень между плато должны быть в два раза выше, то есть 8e²/h в сравнении с 4e²/h для других ступеней, при более высокой плотности носителей. Это именно то поведение, наблюдаемое экспериментально.

В заключении, двухслойный графен  добавляет новую часть в небольшом  семействе систем КЭХ, и его КЭХ  поведение свидетельствует о  наличии массивных фермионов  с хиральной 2π фазой Берри, которые отличаются от других известных квазичастиц. Наблюдение конечной металлической проводимости около e²/h,  для таких фермионов представляет серьезный вызов для теории.

2.3 Радиоэлекрический эффект в двухслойном графене

В последнее время ведется интенсивное теоретическое и экспериментальное исследование свойств графена, представляющего собой монослой атомов углерода. Связано это, во-первых, с тем, что графен обладает рядом необычных свойств, обусловленных особенностями его зонной структуры, а, во-вторых, с тем, что этот материал получен в лаборатории совсем недавно. Возможность проявления ряда нелинейных кинетических  эффектов в графене  связана с непараболичностью и неаддитивностью его энергетического спектра.

Возможность использования радиоэлектрического эффекта (РЭЭ) для диагностики кинетических свойств графена стимулирует теоретическое изучение этого явления в графене. В данной работе исследовано увлечение зарядов синусоидальной ЭМ волной, распространяющейся в плоскости двухслойного графена. Пусть графен расположен в плоскости xz. Зависимость энергии электрона от его квазиимпульса p имеет вид:

(3)

где ε_g – ширина запрещенной зоны двухслойного графена, управляемая внешним поперечным электрическим полем; ε_﬩ – скорость на поверхности Ферми. Будем считать, что ЭМ

волна распространяется в положительном направлении вдоль оси Oz так, что вектор напряженности электрического поля волны направлен вдоль оси Ox. Плотность тока увлечения рассчитывается  по следующей формуле:

,     (4)

где V_z=∂/∂p_z. Неравновесная функция распределения f(p,t) учитывает воздействие электрических и магнитных полей на электронную подсистему и  определяется уравнением Больцмана. В приближении постоянного времени релаксации τ: .                                        (5)

Решением  этого уравнения является функция:

,    (6)

где f₀(p) – равновесная функция распределения, – решение классического уравнения движения электрона с начальным условием

=: ,   (7)

где E(t) = E₀cosωt,  H(t) = H₀(t) = cosωt.

Электронный газ считается невырожденным так, что f₀(p) – функция распределения Больцмана. Введем следующие безразмерные переменные:

; ; ; где А = (А,0,0) – векторный потенциал ЭМ  поля  волны. В новых переменных электронный спектр графена (3) имеет вид:

(8)

Формула для плотности тока (2) преобразуется  к следующему выражению:

(9)

Уравнения движения (7) приводятся к форме:

(10)

(11)

где φ=φ(t), φ^’=φ^’(t), φ₁=φ₁(t₁). В первом порядке по малому параметру γ<<1 решением уравнений (10) и (11) являются функции:

,    (12)

.  (13)

После подстановки (12) и (13) в формулу (9), суммирования по импульсам и усреднения по периоду ЭМ волны получаем выражение для постоянной составляющей плотности тока увлечения:

.    (14)

где – поверхностная концентрация свободных электронов в графене; – безразмерная интенсивность ЭМ волны; θ = T/, T – температура электронного газа, выраженная в энергетических единицах.

, (15)

где Γ(x) – гамма-функция; F₁(a, b, c) , – гипергеометрическая функция.

На рис. 4–6 изображены зависимости плотности тока увлечения от интенсивности ЭМ волны, построенные по формуле (14) для различных значений запрещенной зоны. Из графиков видно, что с увеличением интенсивности плотность тока меняется немонотонно. Имеется интервал, на котором абсолютное значение плотности тока убывает с ростом интенсивности. Спад абсолютного значения плотности тока соответствует тому, что электроны, разогреваемые полем ЭМ волны, оказываются в той области энергетической зоны, в которой эффективная масса электрона отрицательна.

                             

Рис. 4 Зависимость плотности тока увлечения от интенсивности ЭМ волны:            ωτ = 10;    T = 0,001 эВ;    ε_g = 0,15 эВ.

 

Кроме того, видно, что разность значений плотности тока в максимуме и минимуме уменьшается с уменьшением ширины запрещенной зоны. Это соответствует уменьшению области энергетической зоны, в которой эффективная масса электрона отрицательна.