Автор работы: Пользователь скрыл имя, 28 Августа 2014 в 14:59, лабораторная работа
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
1.Эксперементальное определение моментов инерции твердых тел.
2. Проверка теоремы Штейнера.
Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет
Лабораторная работа № 4
Заведующий кафедрой ЕН и ОТД:
2010г.
Определение моментов инерции
твердых тел методом
Приборы и принадлежности: 1. Трифилярный подвес;
4. Штангенциркуль;
5. Масштабная линейка.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
1.Эксперементальное
2. Проверка теоремы Штейнера.
ТЕОРИЯ МЕТОДА
Момент инерции твердого тела относительно некоторой оси определяется выражением
J=∑∆miri²;
Рис 1.
Пусть радиус какого-то слоя R , тогда масса частиц, заключенных в этом слое будет:
Где h – высота цилиндра;
p – плотность вещества цилиндра.
Все частицы слоя будут находиться на расстоянии R от оси, следовательно, момент инерции этого слоя будет:
Тогда момент инерции всего цилиндра:
J=∫dJ=∫R²dm=2Πhp∫R³dR=2Πph(R/
Поскольку масса цилиндра m=ΠR²
Момент инерции полого цилиндра, имеющего внутренний радиус R, а внешний – R. Просто вычислить по формуле (4), интегрируя в пределе от R до R :
J=2Πph∫R³dR=2Πph(R /4- R /4); (6)
Так как масса полого цилиндра m=Πph(R²- R²), его момент инерции можно записать так:
Таким же простым методом
можно вычислить момент
Данное выражение представляет собой теорему Штейнера, которая формулируется так:
Момент инерции тела относительно оси, не проходящей через центр инерции равен моменту инерции этого тела относительно параллельной ей оси, проходящей через центр инерции, плюс произведение массы тела, на квадрат расстояния от оси до центра инерции.
Кинетическая энергия тела при вращении около неподвижной оси равна:
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Трифилярный подвес, схема которого изображена на (рис 3, 4) состоит из диска радиуса R, подвешенного горизонтально на трех нитях к не подвижному диску несколько меньше радиуса r. Центры дисков расположены на одной вертикальной оси ООт. Повернем нижний диск около оси ООт на некоторый угол уо (не больше 6-7°) и отпустим его. Диск начнет совершать крутильные колебания около оси ОО^.
Рис.3
При малых амплитудах колебания их можно приближенно рассматривать как гармонические, т.е. считать, что угол изменяется по закону синуса или косинуса:
Здесь Т- период крутильных колебаний диска.
При повороте на угол φ диск поднимается на некоторую высоту h=c (рис. 4) и у него появляется дополнительная потенциальность энергия Eh - mgh (m – масса диска). Когда диск проходит положение равновесие, потенциальная энергия колебаний превращается в кинетическую энергию вращательного движения W=Jω²/2
Согласно закону сохранения энергии:
Отсюда момент инерции диска равен:
По этой формуле можно найти момент инерции диска J, если известна его масса m., максимальная угловая скорость W max и высота поднятия h.
Для нахождения W max дифференцируем по t обе части уравнения (10), получается:
ω=dφ/dt=φ (2п/Т)cos(2п/Т)t,
Положив cos(2п/Т)t=1 скорость находят максимальную угловую диска
где Т- период колебания. Высота h, на которую поднимается диск, находясь в крайнем положении, определяется из геометрических соображений (рис.4).
Из АВС: l ²=ВС²+(R- r)², а из ∆A B C-l²=BC²+A C²-BC²+R²+ r ²-2Rcosφ (15)
Из двух равенств видно: BC²=BC²-2Rr (1-cosφ
)-4Rr sm²(φ /2)
Из рис.4 видно что, ВС-ВС1=h. При малых амплитудах можно с допускаемой
погрешностью положить ВС+ВС1=2l, и Sin (φ /2)≈
φ /2
Проведя замены, получают: h=2l - 4Rr ( φ² /2); Откуда: h= Rr φ²/ 2l (18)
По формулам (12, 14, 18) находят момент инерции нижнего диска:
Равенство 19 является основной
расчетной формулой в этой
работе. Все величины, входящие в
ее правую часть, измеряются при
выполнении работы. По этой формуле
можно определить момент
Выполнение работы
1. Определение момента инерции ненагруженной платформы – (нижнего диска)
1. Измеряют радиус платформы R, радиус верхнего диска и длину подвесов l. Масса платформы указана на установке.
2. Повернуть платформу на 10°, отпустив платформу измеряют секундомером время t, за которое происходит n=30-50 колебаний.
3. Определяют период колебаний Т.
4. Все измерения производят трижды и, результаты заносят в таблицу 1.
5. По формуле (19) вычисляют момент инерции ненагруженной платформы.
№ |
m |
R |
r |
L |
t |
T |
J0 |
1. |
|||||||
2. |
|||||||
3. |
|||||||
Сред.значение |
6.Рассчитывают абсолютную и относительною погрешности при измерении момента инерции платформы J0.
7.Окончательный результат записывают в виде J0 = J0 ± ∆J0
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ИССЛЕДУЕМОГО ТЕЛА.
№ |
m |
R |
r |
L |
t |
T |
J |
Jс |
1. |
||||||||
2. |
||||||||
3. |
||||||||
Сред.значение |
3.ИЗМЕРЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛА П ПОСЛЕДУЮЩЕЙ ПРОВЕРКОЙ РЕЗУЛЬТАТА ОПЫТА ПО ТЕОРЕМЕ ШТЕЙНЕРА
1. Оба тела располагают строго симметрично относительно оси вращения на известное расстояние d от неё и определяют их моменты инерции на таком расстоянии J1.
Момент инерции одного тела, находящегося на фиксированном расстоянии от оси вращения находится по формуле J2= (J1-J0)/2
2. Зная расстояние d массу тела и момент инерции тела, положенного в центре платформы, проверяют теорему Штейнера.
3. Данные вносят в таблицу 3.
№ |
n |
t |
T |
m |
d |
J1 |
J2 |
J2=Jс+md² |
1. |
||||||||
2. |
||||||||
3. |
Как следует из вывода, формула (19) справедлива при полном отсутствии потерь энергии на трение. Учет такого рода потерь весьма затруднителен, однако можно считать, что поправки оказываются невелики, если потери энергии незначительны.
Информация о работе Определение моментов инерции твердых тел методом трифилярного подвеса