Определение ускорения свободного падения при помощи математического и оборотного маятников

Балтийский государственный  технический университет «Военмех»

Факультет «Оружие и системы  вооружения»

Кафедра физики

 

 

 

 

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6

по теме «Определение ускорения  свободного падения при помощи математического  и оборотного маятников»

 

 

 

 

Выполнил:

Студент:

Группа:

 

Принял:

 

 

 

 

 

 

 

 

Санкт-Петербург

2012

Цель работы

Определение ускорения свободного падения для широты Санкт-Петербурга с помощью математического и оборотного маятников.

 

Приборы и принадлежности

Универсальный маятник, фотоэлектрический  датчик, универсальный секундомер (рабочая  погрешность измерения времени  не более 0,02%).

 

Схема установки

Рис. 1.4.

Общий вид  маятника представлен на рис. 1.4.

 

 Основание 1 оснащено регулируемыми ножками 2, выравнивающими прибор. В основании закреплена колонка 3, на которой зафиксированы верхний кронштейн 4 и нижний кронштейн 5 с фотоэлектрическим датчиком 6. После отвинчивания воротка 7, верхний кронштейн можно поворачивать вокруг колонки. Затягивание воротка 7 фиксирует кронштейн 4 в любом, произвольно выбранном, положении. С одной стороны кронштейна находится математический маятник 8, с другой стороны, на вмонтированных  вкладышах, – оборотный маятник 9. Длину математического маятника можно регулировать  при  помощи воротка 10,  а её величину можно определить при помощи шкалы на колонке 3. Оборотный маятник 9 представляет собой стальной стержень, на котором зафиксированы два ножа 11, повёрнутые друг к другу лезвиями, и ролики 12. На стержне через каждые 10 мм сделаны кольцевые нарезки. Положение ножей на стержне, а также ролика маятника вблизи свободного конца стержня (нижний ролик на рис. 1.4) является фиксированным. Положение второго ролика, расположенного между ножами, можно изменить. Нижний кронштейн вместе с фотоэлектрическим датчиком можно перемещать вдоль колонки и фиксировать в произвольном положении.

Датчик соединён разъёмом с универсальным секундомером, на лицевой панели которого находятся  следующие элементы управления: выключатель  сети (клавиша СЕТЬ), установка нуля измерителя (клавиша СБРОС), окончание  измерения (клавиша СТОП).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Краткие сведения из теории

 

Рис. 1.1

Математическим маятником  называется материальная точка, подвешенная  на невесомой нерастяжимой нити длиной l. Рассмотрим свободные колебания математического маятника. Отклонение маятника от положения равновесия будем характеризовать углом , образованным нитью с вертикалью (рис. 1.1).

Запишем второй закон Ньютона  в проекции на ось  , касательную к траектории в данной точке и направленную в сторону возрастания угла . Учитывая, что имеем

 (1.1)

 Для малых колебаний  можно принять  . Тогда уравнение (1.1) примет вид

 (1.2)

Уравнение (1.2) – уравнение гармонического осциллятора. Решением уравнения (1.2) является функция где - амплитуда колебаний, - начальная фаза, - циклическая частота. Из (1.2) следует, что циклическая частота и период малых колебаний математического маятника равны, соответственно,

 (1.3)

 (1.4)

Физическим маятником  называется твердое тело, которое  может совершать колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси. Рассмотрим свободные незатухающие колебания  физического маятника под действием силы тяжести (рис. 1.2).

Рис. 1. 2.

Выберем положительное направление  отсчета угла против часовой стрелке (ось z направлена на нас). Тогда проекция момента силы тяжести на ось z равна , где L - расстояние от точки подвеса до центра  масс тела, и уравнение динамики вращательного движения твердого тела примет вид

где I - момент инерции маятника относительно оси вращения.

При малых углах отклонения маятника от вертикали можно считать  . Тогда уравнение движения (1.5) примет вид

 (1.5)

Следовательно, физический маятник совершает гармонические  колебания с циклической частотой

 (1.6)

и периодом

 (1.7)

Из сопоставления формул (1.4) и (1.8) следует, что математический маятник с длиной имеет такой же период колебаний, как и данный физический маятник. Величину называют приведённой длиной физического маятника.

 

Описание метода измерения. Рабочие формулы.

 

Определив экспериментально период колебаний  математического маятника, можно  рассчитать ускорение свободного падения  на данной географической широте.

Из формулы (1.4) получим

 (1.8)

где l – длина математического маятника, Т – период колебаний математического маятника.

Для физического маятника вводят понятие центра качаний. Отложим  от точки подвеса О вдоль прямой ОС (С – центр масс маятника) отрезок ОК, длина которого равна приведенной длине физического маятника. Точка К называется центром качания (рис. 1.3).

Рис. 1.3

Центр качания можно определить как математическую точку, в которой  надо сосредоточить всю массу  физического маятника, чтобы период его колебаний остался без  изменений. 

Точка подвеса О и центр качаний К являются взаимными или сопряженными точками в том смысле, что, если маятник подвесить за центр качания К, то его период не изменится, и прежняя точка подвеса О сделается новым центром качания.

На этом свойстве основано определение  ускорения свободного падения с  помощью оборотного маятника. Существуют разнообразные конструкции оборотного маятника. В данной работе используется маятник, состоящий из стержня, на котором закреплены две параллельные друг другу опорные призмы (ножи), и двух роликов, один из которых может перемещаться вдоль стержня. Перемещением подвижного ролика добиваются того, чтобы при подвешивании маятника за любой из ножей период колебаний был одинаков. Тогда расстояние между ножами будет равно приведенной длине маятника . Измерив период колебаний маятника Т и расстояние между ножами , можно по формуле

 (1.9)

определить ускорение свободного падения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Порядок выполнения работы

 

1. Включить универсальный секундомер (нажать клавишу СЕТЬ).
2. Поместить математический маятник над фотодатчиком, повернув верхний кронштейн.
3. Вращая вороток 10 на верхнем кронштейне, установить такую длину математического маятника, чтобы шарик пересекал оптическую ось датчика.
4. Привести маятник в движение, отклонив нить на 40-50° от вертикали.
5. Нажать клавишу "СБРОС" на универсальном секундомере.
6. Измерить время десяти колебаний маятника. Для этого дождаться появления на циферблате секундомера цифры «9» и нажать клавишу «СТОП». Секундомер остановится, отсчитав время десяти колебаний. Записать измеренное время в таблицу 1.1.
7. Повторить п.7 шесть раз.
8. Измерить длину маятника  l.

Длина маятника  l = ………м

Для работы с физическим маятником, повернуть верхний кронштейн вокруг колонки 3 (см. рис. 1.4) на 180°.

9. Установить оборотный маятник на верхнем кронштейне, закрепив нож, находящийся вблизи конца стержня, на вкладыше кронштейна. Это соответствует прямому положению маятника. Нижний кронштейн вместе с фотодатчиком переместить так, чтобы нижний конец стержня пересекал оптическую ось датчика.
10. Измерить время одного колебания маятника в прямом положении. Для этого отклонить маятник на 40-50° от вертикали и отпустить. Нажать клавишу «СБРОС» и следом клавишу «СТОП». Записать результат в таблицу 1.2.
11. Снять маятник и, перевернув его, закрепить на втором ноже (обратное положение).  Повторив измерение п. 11 для этого положения маятника, получить время одного колебания маятника в обратном положении и занести в таблицу 1.2.
12. Рассчитать величину Если , изменить положение подвижного ролика и повторить измерения п.п. 11-12. Результаты занести в таблицу 1.2.
13. Повторять п. 13 до тех пор, пока не будет достигнуто значение Результаты всех измерений заносить в таблицу 1.2.

 

14. При Т_пр Т_обр с точностью до 0,5% провести  измерения времени десяти колебаний (клавишу «СТОП» нажимать после появления цифры 9 на циферблате секундомера) маятника в прямом t_пр и обратном t_обр положениях по три раза.. Данные занести в таблицу 1.3.

Приведенная длина маятника ………..м

15. Измерить расстояние между ножами 11 (см. рис. 1.4) маятника

 

Обработка результатов измерений

 

1. По данным таблицы 1.1 рассчитать среднее значение времени десяти колебаний математического маятника.
2. Рассчитать среднее значение периода колебаний математического маятника по формуле
3. По формуле (1.9) вычислить значение ускорения свободного падения для широты С-Петербурга.
4. По данным таблицы 1.3 рассчитать средние значения и .
5. Рассчитать средние значения периодов  колебаний физического маятника в прямом и обратном положениях по формулам 
6. По формуле найти среднее значение периода колебаний физического маятника.
7. По формуле (1.10) рассчитать значение ускорения свободного падения.
8. Рассчитать погрешность определения  ускорения свободного  падения как погрешность косвенного измерения.
9. Сравнить полученные значения с табличным значением ускорения свободного падения для широты С-Петербурга (g₀ = 9,82 м/с²).

 

 

 

 

Таблицы для занесения результатов измерений и вычислений

 

Таблица 1.1

№ опыта	1	2	3	4	5	6
t, м/с

 

 

            Таблица 1.2

Номер опыта	, с	, с	, с
1
2
3
…
N

 

 

Таблица 1.3

Номер опыта	tпр, с		tобр, с
1
2
3
……….		………….

 

 

 

 

 

Контрольные вопросы

 

1. Дать определения физического и  математического  маятников. Вывести периоды их собственных незатухающих колебаний.
1. Физический маятник — твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких-либо

сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной оси, перпендикулярной направлению действия сил и не проходящей через центр масс этого  тела.

Выберем положительное направление  отсчета угла против часовой стрелке (ось z направлена на нас). Тогда проекция момента силы тяжести на ось z равна , где L - расстояние от точки подвеса до центра  масс тела, и уравнение динамики вращательного движения твердого тела примет вид

где I - момент инерции маятника относительно оси вращения.

При малых углах отклонения маятника от вертикали можно считать  . Тогда уравнение движения (1.5) примет вид

 (1.5)

Следовательно, физический маятник совершает гармонические  колебания с циклической частотой

 (1.6)

и периодом

 (1.7)

 

Будем считать, что в точке  C – центр тяжести. Сила, которая возвращает маятник в положение равновесия, в данном случае будет .

F = – mgsin(a) (минус означает, что сила направлена в сторону уменьшения h).

При малых углах отклонения маятника от вертикали можно считать  . Следовательно, F = – mga.

I – момент силы.

При малых колебаниях физический маятник колеблется так же, как  математический с приведённой длиной.

2. Математический маятник — механическая система, состоящая из материальной

точки, находящейся на невесомой  нерастяжимой нити или на невесомом  стержне в однородном поле сил тяготения.