Определение ускорения свободного падения при помощи математического и оборотного маятников

Запишем второй закон Ньютона  в проекции на ось  , касательную к траектории в данной точке и направленную в сторону возрастания угла . Учитывая, что имеем

 (1.1)

 Для малых колебаний  можно принять  . Тогда уравнение (1.1) примет вид

 (1.2)

Уравнение (1.2) – уравнение гармонического осциллятора. Решением уравнения (1.2) является функция где - амплитуда колебаний, - начальная фаза, - циклическая частота. Из (1.2) следует, что циклическая частота и период малых колебаний математического маятника равны, соответственно,

 (1.3)

 (1.4)

Период малых собственных  колебаний математического маятника длины l неподвижно подвешенного в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения g равен

 и не зависит от амплитуды и массы маятника.

Колебания математического  маятника описываются обыкновенным дифференциальным уравнением вида

где ― положительная константа, определяемая исключительно из параметров маятника. Неизвестная функция ― это угол отклонения маятника в момент  от нижнего положения равновесия, выраженный в радианах;

  , где ― длина подвеса,  ― ускорение свободного падения. Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия имеет вид:

      .

Период зависит от длины  математического маятника и его  ускорения силы и не зависит от амплитуды.

При малых колебаниях физический маятник колеблется так же, как  математический с приведённой длиной.

2. Что называется приведённой длиной физического маятника?

Приведённая длина — это  условная характеристика физического  маятника. Она численно равна длине  математического маятника, период которого равен периоду данного физического  маятника.

Приведённая длина вычисляется  следующим образом:

где I — момент инерции относительно точки подвеса, m — масса, a — расстояние от точки подвеса до центра масс.

3. Как зависит величина ускорения свободного падения от широты местности?

Экспериментально установлено, что ускорение свободного падения зависит от географической широты местности и высоты подъёма над земной поверхностью.

Зависимость от широты:

1. Земля является эллипсоидом вращения, т.е. радиус Земли на полюсе меньше чем на экваторе. Следовательно, сила тяжести и вызываемое ею ускорение на полюсе больше (9,832 – полюс, 9,780 – экватор);
2. Земля вращается вокруг своей оси.

Зависимость широты от радиуса  Земли и высоты тела над Землёй вытекает из формулы Закона всемирного тяготения.