Функции сложного процента и изменение стоимости денег во времени

4. Функции сложного процента и изменение стоимости денег во времени

      Концепция изменения стоимости денег исходит из основного экономического принципа: деньги, являясь специфическим товаром, со временем меняют свою стоимость и, как правило, обесцениваются. Изменение стоимости денег происходит под влиянием ряда факторов, важнейшими из которых можно назвать инфляцию и способность денег приносить доход при условии их разумного инвестирования в альтернативные проекты.

Например, приобретая сейчас облигацию, мы рассчитываем в течение всего срока займа регулярно получать доход в виде начисленных процентов, а по окончании получить основную сумму долга. Вложение капитала выгодно только в том случае, если предполагаемые поступления превысят текущие расходы. В нашем примере инвестиционный доход равен сумме полученных процентов, т. к. затраты на покупку облигаций будут совпадать с выплатами по процентам.

Однако положительные  денежные потоки (выплата процентов и основной суммы долга) и отрицательные денежные потоки (инвестирование капитала) не будут совпадать по времени возникновения и, следовательно, будут несопоставимы.

В процессе сравнения стоимости  денежных средств при их вложении и возврате принято использовать два основных понятия: текущая (современная) стоимость денег и будущая стоимость денег.

Будущая стоимость денег представляет собой ту сумму, в которую превратятся инвестированные в настоящий момент денежные средства через определенный период времени с учетом определенной процентной ставки. Определение будущей стоимости денег связано с процессом наращения начальной стоимости, который представляет собой поэтапное увеличение вложенной суммы путем присоединения к первоначальному ее размеру суммы процентных платежей.

Текущая (современная) стоимость денег представляет собой сумму будущих денежных поступлений, приведенных к настоящему моменту времени с учетом определенной процентной ставки. Определение настоящей стоимости денег связано с процессом дисконтирования будущей стоимости, который представляет собой операцию, обратную наращению.

Приведение денежных сумм, возникающих  в разное время, к сопоставимому  виду называется временной оценкой  денежных потоков.

 Рис. 8. Функции сложного процента

Временная оценка денежных потоков  основана на использовании шести функций сложного процента, или шести функций денежной единицы, представленных на рис. 8.

 

Для анализа разновременных денежных потоков, обоснования инвестиционных вложений, определения стоимости недвижимости и бизнеса, а также выполнения ряда других операций применяют элементы финансовой математики.

 

 

Используя основы математического  аппарата, рассмотрим особенности расчета  каждой функции денежной единицы.

1. Сложный процент - базовая функция, позволяющая определить будущую стоимость суммы, которой располагает инвестор в настоящий момент, исходя из предполагаемой ставки дохода, срока накопления и периодичности начисления процентов.

Расчет будущей стоимости  основан на логике сложного процента, который представляет геометрическую зависимость между первоначальным вкладом, процентной ставкой и периодом накопления:

FV=PV(1 + r)ⁿ (1)

где FV - будущая стоимость денежной единицы;

PV - первоначальная стоимость денежной единицы;

r- процентная ставка;

п - число периодов накоплений (в годах).

Простейшим способом эту  формулу можно проинтерпретировать как определение величины депозитного вклада в банк при депозитной ставке r (в долях единицы).

Пример 1. Вкладчик положил на депозитный счет 50000 руб. На какую сумму, лежащую на его депозитном вкладе, он может рассчитывать через 5 лет при 12-процентной ставке?

Решение

Воспользуемся формулой (1) и подставим в нее известные нам величины: FV = 50000 х (1 + 0,12)⁵ = =50000 х 1,76234 = = 88117 руб.

Процесс наращения стоимости в течение 5 лет наглядно демонстрирует диаграмма, представленная на рис. 9.

100 000

90 000

80 000

70 000

60 000

50 000

40 000

30 000

20 000

                              10 000

 

                                               0               1                2               3                4               5    годы 

Рис. 9. Графическая интерпретация наращивания стоимости

Если начисления осуществляются чаще, чем один раз в год, то формула (1) преобразуется в следующую  зависимость:

 (2)

где k - частота накоплений в год.

Пример 2. Вклад 50000 руб. депонирован на 5 лет под ставку 12% годовых с ежеквартальным начислением процентов. Чему будет равна сумма вклада с процентами в конце срока?

Решение

По формуле (2) имеем:

Таким образом, сложный процент предполагает начисление процентов не только на сумму первоначального взноса, но и на сумму процентов, накопленных к концу каждого периода. Это возможно только в случае реинвестирования суммы начисленных процентов, т.е. присоединения их к инвестированному капиталу.

Функция сложного процента может быть использована при расчете:

- накопленной суммы по банковскому вкладу или, соответственно, задолженности по кредиту с единовременным погашением;

-  возросшей в связи с инфляцией стоимости объекта;

• стоимости объекта на текущую дату на основе сведений о его первоначальной стоимости и темпах изменения цен за рассматриваемый период.

2. Функция дисконтирования - дает возможность определить настоящую стоимость суммы, если известна ее величина в будущем при данных периода накопления и процентная ставка.

Данная функция является обратной по отношению к функции «будущей стоимости единицы» (сложный процент) и определяется путем ее обращения:

  (3)

Пример 3. Инвестор хочет получить 100000 руб. через 5 лет. Какую сумму он должен положить на депозит сейчас, если депозитная ставка составляет 5%?

Решение

С помощью формулы (3) легко определить:

Процесс дисконтирования стоимости  демонстрирует диаграмма, представленная на рис. 10.

 

100 000

90 000

80 000

70 000

60 000

50 000

40 000

30 000

20 000

10 000

0

       0             1             2             3            4             5  годы

Рис. 10. Графическая интерпретация дисконтирования стоимости

 

Метод дисконтирования  широко распространен в оценочной практике, где он еще носит название фактора текущей стоимости. Наиболее характерно его применение для доходного подхода, когда стоимость объекта определяется на основе приведенных к дате оценки величин ожидаемых денежных потоков.

3. Функция текущей стоимости аннуитета - дает возможность определить текущую стоимость взноса, обеспечивающего в будущем получение заданных равновеликих поступлений при известном числе периодов и процентной ставке.

Аннуитет - это денежный поток, в котором все суммы не только возникают через одинаковые промежутки времени, но и являются равновеликими. Таким образом, аннуитет - это денежный поток, представленный одинаковыми суммами.

Если в будущем ожидается  ряд равновеликих периодических  денежных потоков (в течение п периодов), текущая стоимость которых нужно определить, на основе текущей стоимости единицы может быть получена следующая зависимость:

где РМТ - равновеликие периодические платежи.

 

Данная модель исходит  из предположения возникновения  аннуитета в конце периода. Такой  аннуитет называется обычным.

Однако на практике возможна ситуация, когда первый платеж произойдет одновременно с начальным поступлением. В последующем аннуитеты будут возникать через равные интервалы. Такой аннуитет называется авансовым или причитающимся аннуитетом. Графическая интерпретация обычного и авансового аннуитета представлена на рис. 11.

Рис. 11. Графическая интерпретация видов аннуитета

Для того чтобы определить текущую стоимость авансового аннуитета, необходимо проследить движение денежного потока. Поскольку первый аннуитет по времени совпадает с депонированием основного вклада, его не следует дисконтировать. Все последующие аннуитеты дисконтируются в обычном порядке, однако период дисконтирования всегда будет на единицу меньше, следовательно, фактор текущей стоимости авансового аннуитета соответствует фактору обычного аннуитета для предыдущего периода, к которому добавлена единица. Эта добавленная единица обеспечивает заданный поток аннуитета. Фактор текущей стоимости авансового аннуитета равен К _{n - 1} + 1.

 

Пример 4. Договор аренды дачи составлен на 1 год. Платежи осуществляются ежемесячно по 1000 руб. Определите текущую стоимость арендных платежей при 12-процентной ставке дисконтирования, если:

а)  платежи осуществляются в конце месяца;

б)  платежи осуществляются в начале каждого месяца.

Решение

а) фактор текущей стоимости аннуитета для периода (К _n = К ₁₂):

б) фактор текущей стоимости аннуитета для периода

 

 

Аннуитет может быть как входящим денежным потоком (например, поступление арендной платы, которая обычно устанавливается одинаковой фиксированной суммой), так и исходящим денежным потоком по отношению к инвестору (например, осуществление периодических равных платежей).

4. Функция будущей  стоимости аннуитета - позволяет рассчитать величину накопленных равновеликих взносов при заданной ставке дохода. При этом платежи также могут осуществляться в начале и в конце периода.

Формула обычного аннуитета  имеет вид

Фактор  будущей стоимости авансового аннуитета  равен  

 

Пример 5. Определите сумму, которая будет накоплена на счете, приносящем 12% годовых, к концу пятого года, если ежегодно откладывать на счет 10000 руб.: а) в конце каждого года; б) в начале каждого года.

Решение

Процесс наращивания стоимости  аннуитета демонстрирует рис, 12.

 

70 000

60 000

50 000

40 000

30 000

20 000

10 000

0

 

 

Рис. 13. Графическая интерпретация будущей стоимости аннуитета при внесении платежей в конце и начале каждого года

Таким образом, в отличие от функции  будущей стоимости единицы (сложного процента) в данной функции проценты начисляются не на однократно вложенную  сумму, а на периодические равновеликие взносы, производимые в течение п периодов.

5. Функция «периодический  взнос на погашение кредита» (взнос  за амортизацию единицы) - используется для определения величины аннуитета, если известна его текущая стоимость, число взносов и ставка дохода. Данная функция является обратной текущей стоимости обычного аннуитета.

Амортизация - это процесс, определяемый данной функцией (включает проценты по кредиту и оплату основной суммы долга) по формуле

 

 

 

 

 

 

Пример 6. Какую сумму необходимо ежегодно направлять на оплату квартиры стоимостью 1500000 руб., купленную в рассрочку на 15 лет под 18% годовых?

Решение

Данная функция применяется  при расчете платежей по погашению кредита, если эти платежи предполагаются одинаковыми по величине; при этом каждый платеж включает и выплату процента и погашение по основной сумме кредита.

6. Функция «периодический взнос в фонд накопления» (фактор фонда возмещения) - позволяет рассчитать величину периодически депонируемой суммы, необходимой для накопления нужной стоимости при заданной ставке процента. Этот коэффициент дисконтирует будущую стоимость единичного фонда возмещения в серию равновеликих платежей. Коэффициент фонда возмещения является обратной величиной коэффициента будущей стоимости аннуитета и определяется по формуле

Пример 7. Определите, какими должны быть платежи, чтобы к концу 5-го года иметь на счете, приносящем 12% годовых, 100000 рублей. Платежи осуществляются в конце каждого года.

Решение

Аннуитетный платеж, определяемый данной функцией, иключает выплату основной суммы без выплат процента.

Таким образом, расчет факторов всех шести функций основан на использовании базовой формулы сложного процента. Главным условием, обеспечивающим математическую взаимосвязь между функциями, является предположение, что начисленный процент не снимается с депозитного счета и капитализируется. Систематизация функций сложного процента произведена в табл. 1.

Таблица 5

Взаимосвязь функций  сложного процента

В оценочной деятельности учет фактора  времени осуществляется с помощью методов наращения и дисконтирования, в основу которых положена техника процентных вычислений. С помощью этих методов осуществляется приведение денежных сумм, относящихся к различным временным периодам, к требуемому моменту времени в настоящем или будущем.