Задачи по "Эконометрики"

Задание №1.

Таблица №1.

1. Строим поле корреляции:

Анализируя точки поля корреляции, предполагаем, что связь между признаками x и y может быть линейной, т.е. y=a+b*x или не линейной вида y=a+b*lnx, y=a*bx . Основываясь на теории изучаемой взаимосвязи, предполагаем получить зависимость у от х вида y=a+b*x, т. к. затраты на производство (у) можно условно разделить на 2 вида: постоянные, не зависящие от объема производства (a), такие как арендная плата, содержание администрации и т.д.; и переменные, изменяющиеся пропорционально выпуску продукции (b*x) такие как расход материала, электроэнергии и т.д.

2.1. Модель линейной парной регрессии.

2.1.1. Рассчитаем параметры а и b линейной регрессии y=a+b*x. Строим расчетную таблицу (табл. 1). По исходным данным рассчитываем y*x, x2, y2. Рассчитав  сумму у, х, у*х, у2, х2 определим их среднее значение. Определяем параметры b и а:

ху-х*у       260,387-11,267*21,68

b=               =                     =1,69

х2 –(х)2                     136,46-(11,267)2

а= у – b*х = 21,68-1,69*11,267 = 2,64

Уравнение регрессии  ỹх = 2,64+1,69*х

С увеличением выпуска продукции на 1 тыс.ед. затраты на производство увеличиваются на 1,69 млн. руб. в среднем, постоянные затраты равны 2,64 млн. руб.

2.1.2. Тесноту связи оценим с помощью линейного коэффициента парной корреляции r xy.

Предварительно определим σx и σy.

_

σy = √y2-(y)2 = √498,09 – (21,68)2 = √28,07 = 5,3

_

σx = √x2-(x)2 = √136,46 – (11,267)2 =√9,51 = 3,083

r xy = b *( σx/ σy) = 1,69*(3,083/5,300) = 0,980

Значение r xy близко к 1, следовательно, между переменными у и х наблюдается очень тесная корреляционная связь вида y = a+bx.

2.1.3 Оценим качество построенной модели. Определим коэффициент детерминации: R2 = r2xy = 0,9802 = 0,960

Т.е. данная модель объясняет 96%  общей дисперсии у, на долю не объясненной дисперсии приходится 4%. Следовательно, качество модели высокое. Найдем  величину средней ошибки аппроксимации А. Предварительно определим у, подставляя в уравнение регрессии:

Ух = а*bx фактические значения х. Найдем (у – х), тогда

Аi = ‌‌│(yi - yi)/ yi│*100% ; I = 1…15

A = 1/n*∑Ai = 1/15*0,55 = 0,033 = 3,3%

Т.е. в среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 3,3%. Допустимая ошибка А = 3,3%.

2.1.4. Определим средний коэффициент эластичности:

Э = b*(x/y) = 1,69*(11,267/21,68) = 0,879%.

Он показывает, что с увеличением выпуска продукции на 1% затраты на

производство увеличиваются в среднем на 0,879%.

2.1.5. Оценим статистическую значимость полученного уравнения.

Проверим гипотезу Н0, что выявленная зависимость у от х носит случайный характер, т.е. полученное уравнение статистически не значимо. Примем α = 0,05. Найдем табличное  (критическое) значение F-критерия Фишера.

Fтабл. =( α = 0,05, k1 = 1, k2 = 15-2 = 13) = 4.67.

Найдем фактическое значение F-критерия Фишера:

Fфакт  = r2xy      *(n – 2) = 0,960    *(15 – 2) = 312

1- r2xy               1-0,960

Fфакт › Fтабл

Поэтому гипотеза Н0 о случайном характере зависимости у от х отвергается, принимается альтернативная гипотеза Н1 – с вероятностью 0,95 выявленная зависимость у от х носит не случайный характер, полученное уравнение статистически значимо, надежно и может быть использовано для прогноза.

2.2. Модель полулогарифмической парной регрессии.

2.2.1. Рассчитаем параметры  a и b в регрессии  ỹ = а+b *lnx .

Линеаризуем данное уравнение, обозначив z = lnx. Тогда ỹ = а+b* z. Строим расчетную таблицу.

Таблица №2.

Используя исходные данные, рассчитываем z(z = lnx), y*z, z2 . Рассчитав ∑z, ∑yz и  ∑z2 определяем их средние значения. Тогда параметры b и а уравнения:

b = zy – z*y = 53,09667-2,380667*21,68 = 17,63

      z2 – (z)2        5,751767 – (2,380667)2

а = y - b*z = 21,68 – 1,48*2,380667 = -20,29

Уравнение полулогарифмической регрессии

ỹх = -20,29 + 17,63*lnx.

2.2.2. Оценим тесноту связи между признаками у и х.

Т.к. уравнение ỹх = a+b*lnx линейно относительно параметров а и b и его линеаризация не была связана с преобразованием зависимой переменной у, то теснота связи между переменными у и х, оцениваемая с помощью индекса парной корреляции Rxy, также может быть определена с помощью линейного коэффициента парной корреляции r xy, т.е. в данном случае        Rxy= r xz.

σy = 5,3

σz = √z2 – (z)2  = √5,751767 – (2,380667)2   =√ 0,0841 = 0.29

Rxy = r xz. = b*( σz/ σy) = 17.63*(0,29/5,3) = 0,965

Значение индекса корреляции Rxy, близко к 1, следовательно, между переменными у и х наблюдается очень тесная корреляционная связь вида y=b+lnx.

2.2.3. Оценим качество построенной модели, ỹ = а  + b*lnx.

Определим индекс детерминации:

R2ху = r2yz = 0.9652 = 0.931

Т.е. данная модель объясняет 93,1% общей дисперсии у, а на долю необъясненной дисперсии приходится  6,9%. Следовательно, качество модели высокое.

Найдем величину средней ошибки аппроксимации А.

Предварительно определим               ỹ , подставляя в уравнение регрессии

ỹх = -20,29+17,63* lnx Фактические значения х.

Найдем (y - ỹ) и Аi,  i=1,…,15. Тогда

А = (1/n)*∑Ai = (1/15)* 86,07 = 5,74 %.

Т.е. в среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 2,74%. Ошибка допустимая т.к. 5,74% ‹ 10%.

2.2.4. Определим средний коэффициент эластичности:

Э = b/y = 17,63/21,68 = 0,813%.

2.2.5. Оценим статистическую значимость полученного уравнения. Сравним фактическое и табличное значение  F – критерия Фишера. Примем α = 0,05. Найдем табличное (критическое) значение F – критерия Фишера.

Fтабл = (α = 0,05, k1 = 1, k2 = 15-2=13)=4,67.

Найдем фактическое значение F – критерия Фишера:

Fфакт = (R2ху /1- R2ху)*(n-2) = (0,931/1-0,931)*(15-2) =175, 41

Fфакт › Fтабл.

Поэтому гипотеза Н0 о случайном характере зависимости у от х отвергается, принимается альтернативная гипотеза Н1 – с вероятностью 0,95 выявленная зависимость у от х носит неслучайный характер, полученное уравнение статистически значимо, надежно и может быть использовано для прогноза.

2.3. Модель степной парной регрессии.

2.3.1. Рассчитаем параметры а и b степной регрессии

ỹ = a*xb .

Расчету параметров предшествует процедура линеаризации данного уравнения: ln y = ln (a*xb ) = ln a + b*ln x.

Обозначим  Y = ln y, X = ln a, A = ln a. Тогда получим Y = A + b*X.

Строим расчетную таблицу (таблица №3).

По исходным данным рассчитываем Y = ln y, X = ln x, X*Y и X2 .

Рассчитав ∑X, ∑Y, ∑XY, ∑X2 определяем их средние значения. Тогда параметры b и a уравнения  Y = A+b*X:

b= YX – X*Y = 7,325202 – 2,381624*3,046122 = 0,88

X2 – (X)2              5,75602172 – (2,381624)2

А = Y – b*X = 3,046122 – 0,88*2,381624 = 0,95

Определим а: а = еА = 2,7182311,31 = 2,59

Уравнение степной регрессии ỹх = 2,59*х0,88 .

21