Задачи по "Эконометрики"

Таблица №3.

21

2.3.2. Оценим тесноту связи между признаками у и х с помощью индекса корреляции Rxy.

Предварительно рассчитаем ỹ, подставляя в уравнение регрессии, подставляя в уравнение регрессии

ỹх = -20,29+17,63*ln x фактические значения х, (y - ỹ) и (y - ỹ)2 .

Тогда:

Rxy = √1- (1/n∑(y - ỹ)2) /(y2 – (y)2 ) = 1- ((1/15*12,84735) / (498,0947-(21,68)2 ))= 0,970.

Значение индекса корреляции близко к 1, следовательно, между переменными х и у наблюдается очень тесная корреляционная связь вида

ỹ = a*xb .

2.2.3. Оценим качество построенной модели ỹ = a*xb .

Определим индекс детерминации R2ху = 0,9702 = 0,9409, т.е. данная модель объясняет 94,09% общей дисперсии у, а на долю необъясненной дисперсии приходится 5,01%. Следовательно, качество модели высокое.

Найдем величину средней ошибки аппроксимации А.

А = 1/n*∑Аi = 1/15*60,18 = 4,012%.

Т.е. в среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 4,012%. Ошибка допустимая.

2.2.4. Определим средний коэффициент эластичности:  Э = b =0,875%.

2.2.5. Оценим статистическую значимость полученного уравнения

ỹх = 2,59*х0,88

Fтабл = (α = 0,05, k1 = 1, k2 = 15-2=13)=4,67.

Fфакт = (R2ху /1- R2ху)*(n-2) =(0,9409/1-0,9409)*13 = 206,97.

Fфакт › Fтабл .

Следовательно, полученное уравнение с вероятностью 0,95 статистически значимо, надежно и может быть использовано для прогноза.

3. Выбор лучшего уравнения.

Составим таблицу полученных результатов исследования (табл. №4).

Таблица №4.

Выводы:

Все три уравнения оказались статистически значимыми и надежными, имеют близкий к 1 коэффициент (индекс) корреляции, высокий (близкий к 1) коэффициент (индекс) детерминации и ошибку аппроксимации в допустимых пределах. При этом характеристики полулогарифмической модели указывают, что она несколько лучше линейной и степенной описывает связь между признаками х и у. Для обоснования возможности замены  линейной модели на полулогарифмическую, оценим существенность различия индекса детерминации степенной модели R2ху  и коэффициента детерминации линейной модели r2xy :

R2ху  - r2xy = 0,965-0,960 = 0,005 (‹0,1).

Т.е. применение полулогарифмической функции  увеличивает долю объясненной дисперсии на 0,5%, это не существенно. Поэтому нет необходимости усложнять форму уравнения регрессии, замена линейной регрессии не линейной не обоснованна.

В качестве уравнения регрессии выберем линейную модель ỹх = 2,64+1,69*х.      4. Для выбранной модели проверим предпосылку МНК о гомоскедастичности остатков, т.е. о том, что остатки регрессии имеют постоянную дисперсию. Используем метод Гольдфельдта-Квандта:

1) Упорядочим наблюдения по мере возрастания переменной х.

2) Исключим из рассмотрения 3 центральных наблюдения..

3) Рассмотрим первую группу наблюдений (малые значения фактора х) и определим ∑6i=1 (y - ỹ)2 этой              группы.

Построим расчетную таблицу (табл. №5).

Таблица №5.

Определим параметры b и a уравнения регрессии y = a+b*x первой группы:

b = (ху - х * у) / (х2 – (х )2 = (138,8-8,13*16,75) / (67,74 – (8,13)2 = 1,60.

а = у – b * х = 16,75 – 1,6 * 8,13 = 3,74.

Уравнение регрессии первой группы ỹ = 3,74+1,60*х. Подставляя в это уравнение определим фактические значения х, ỹ, (y- ỹ) и (y- ỹ)2 . Тогда

∑6i=1 (y- ỹ)2 = 2,8092.

Рассмотрим вторую группу наблюдений ( с большими значениями факторах) и определим ∑15i=10 (y- ỹ)2 .

Строим расчетную таблицу (табл. №6).

Таблица №6.

Определим параметры b и а уравнения регрессии:

b = (ху - х * у) / (х2 – (х )2 =(402,9233-14,55*27,5)/(213,1783-(14,55)2 ) = 1,9.

а = у – b * х = 27,5-1,9*14,55 = -0,15.

Уравнение регрессии второй группы ỹ = 1,9+(-0,15)*х.

Подставляя в это уравнение фактические значения х, определим х, ỹ, (y- ỹ) и (y- ỹ)2 . Тогда

∑15i=10 (y- ỹ)2 = 0,330783.

Находим отношение

Fф = ∑6i=1 (y- ỹ)2 / ∑15i=10 (y- ỹ)2 = 2,8092/1.9847 = 1,41

Если      ∑6i=1 (y- ỹ)2 › ∑15i=10 (y- ỹ)2 ,

А если   ∑6i=1 (y- ỹ)2 ‹ ∑15i=10 (y- ỹ)2 ,

То          ∑6i=1 (y- ỹ)2 / ∑15i=10 (y- ỹ)2 )

Сравним фактическое и табличное F – критерия Фишера.

Fтабл = (α=0.05, k1 = k2 (15-3):2-2=4)=6,39.

Fфакт ‹ Fтабл , следовательно остатки гомоскедастичны.

5. Рассчитаем прогнозное значение результата у, если прогнозное значение фактора х увеличивается на 5% от его среднего уровня.

х = 11,26667, хр = 1,69*11,2667 = 19.04,

ỹ = 2,64+1,69*19,04 = 34,82.

Для величины выпуска продукции равной 19,04 тысячи, прогнозное значение затрат составят 34,82 млн. руб.

Для уровня значимости α=0.05 определим доверительный интервал прогноза. Предварительно определим стандартные ошибки коэффициента корреляции mrxy и параметра b – mb .

mrxy = √(1-r2)/(n-2)=√(1-0.960)/(15-2) =√ 0.003 = 0,05

mb = σy/ σx*mr = 5,3/3,083*0,05 = 0,09

Тогда средняя стандартная ошибка прогноза:

mỹ = mb √σ2x(n+1)+( хр-x)2 = 0,09√3,0832 *(15+1)+(19,04-11,26667)2 = 1,31

Для уравнения значимости  α=0.05 определим табличное значение 

t – статистики Стьюдента:

tтабл (α=0.05, k=15-2)=2,16

Тогда доверительный интервал прогноза (ỹmin, ỹmax):

ỹmin =ур - tтабл * mỹ = 34,82-2,16*1,31=31,99

ỹmax= ур + tтабл * mỹ = 34,82+2,16*1,31=37,65

Т.е. с вероятностью  0,95 прогнозное значение ỹр при хр = 1,69*х принадлежит интервалу (31,99;37,65).

Прогноз надежный, но не точный, т.к. интервал достаточно широк

D = ỹmax/ ỹmin= 37,65/31,99 = 1,18.

Задание №2.

Таблица №1

1.      Для оценки мультиколлинеарности факторов используем определитель матрицы парных коэффициентов корреляции между факторами. Определим парные коэффициенты корреляции. Для этого рассчитаем таблицу (табл.1).

По исходным данным рассчитываем y2 , x12 , x22 , x32 , yx1 , yx2 , yx3 ,  x1x2 , x1x3 , x2x3 .

Определим σy , σx1 , σx2 , σx3:

σy = √y2-(y)2 = √14,65 – (3,787)2 = √0,26 = 0,556

σx1 = √x12-(x1)2 = √1262,467 – 1197,16 = √65,2 = 8,081

σx 2 = √x22-(x2)2 = √225,667 – 165,637 = √60,03= 7,748

σx 3 = √x32-(x3)2 = √346,867 – 316,84 = √30,027 = 5,480

Тогда парные коэффициенты корреляции:

r yx1 = (yx1 – y*x1)/ σy* σx1 = (134,97 – 3,787*34,6) / 0,556*8,081 = 0,877

r yx2 = (yx2 – y*x2)/ σy* σx2 = (52,45 – 3,787*12,87) / 0,556*7,748 = 0,861

r yx3 = (yx3 – y*x3)/ σy* σx3 = (69,85 – 3,787*17,8) / 0,556*5,480 = 0,801

r x1x2 = (x2x1 – x2*x1)/ σx2* σx1 = (502,93 – 12,87*34,6) / 7,748*8,081 = 0,920

r x1x3 = (x3x1 – x3*x1)/ σx3* σx1 = (645,20 – 17,8*34,6) / 5,480*8,081 = 0,662

r x3x2 = (x2x3 – x2*x3)/ σx2* σx3 = (262 – 12,87*17,8) / 7,748*5,480= 0,775

Определитель матрицы парных коэффициентов межфакторной корреляции:

r x1x1 r x1x2 r x1x3              1 0,920  0,662 

Δ =    r x1x2 r x2x2 r x3x2              =               0,920  1  0,775              = 0,059

r x1x3 r x3x2 r x3x3               0,662  0,775  1

Его значение близко к нулю, это говорит о том, что факторы мультиколлинеарны. Из модели следует исключить фактор, в наибольшей степени ответственный за мультиколлинеарность.

Проанализируем матрицу парных коэффициентов корреляции:

Таблица №2.