Контрольная работа по "Эконометрике"

 

Задание.

Работа должны быть выполнена в  соответствии со следующими этапами:

1. Рассчитайте корреляцию между,  экономическими показателями (не менее 5) из статистических данных по выборке не менее 50 наблюдений (из Интернета, печатных источников или Вашего предприятия). Интерпретируйте полученные данные.
2. Постройте линейную и не линейную (на свой выбор) множественную регрессию. Определите теоретическое уравнение множественной регрессии. Оцените адекватность построенной модели. Определите значимость переменных, найдите среднюю ошибку аппроксимации, коэффициент детерминации, линейные коэффициенты корреляции между всеми членами регрессии, найти критерий Фишера, Т-статистику и т. д.
3. Проверьте модели  на отсутствие автокорреляции.
4. Проверка на гетероскедастичность моделей.
5. Сравните модели между собой выберете лучшую.

 

Рассмотрим зависимость средней ожидаемой продолжительности жизни от нескольких факторов по данным за 2000 г. для ряда стран. Статистические данные приведены в табл. 1.

 

                                                                                                  Таблица 1

№№	X1	X2	X3	X4	Y
1	2,3	2,6	2,7	98	49
2	4,3	2,5	2,4	91	55
3	2,9	2,8	2,1	99	49
4	2,4	3,1	3,1	89	52
5	5,1	1,6	2,1	79	58
6	3,4	2	1,7	72	57
7	4,5	2,9	2,8	80	53
8	5,1	2,7	2,7	58	58
9	4,2	3	2,8	88	56
10	5,2	1,8	2	68	62
11	6,5	2,9	2,5	95	50
12	7,4	2,8	2,7	73	59
13	8,3	2,9	3,3	90	60
14	5,7	2,5	2,7	96	51
15	7,5	2,4	2,2	55	57
16	10,8	1,1	1,1	34	69
17	7,8	2,9	3,1	56	57
18	7,6	2,9	2,6	90	51
19	12,1	1,3	2	16	72
20	14,2	2	2,7	56	63
21	14,1	1,6	2,5	51	64
22	10,6	2,2	2,7	39	66
23	12,4	2	2,6	55	65
24	9	2,3	2,3	64	57
25	12,4	2,9	3,5	44	66
26	15,6	2,2	3,2	36	69
27	14,3	1,9	2,6	37	71
28	13,1	1	1,8	13	74
29	9,7	2,2	3,4	36	67
30	13,5	2,7	2,9	41	68
31	18,5	1,9	3	39	69
32	15,6	0,2	0,2	13	70
33	14	2	3,1	47	66
34	28	0,9	1,3	35	69
35	22,2	1,7	2,4	23	73
36	20,7	1,7	2,1	48	67
37	20	0,3	0,6	14	70
38	13,4	0,3	0,7	11	72
39	29,3	2,3	3	23	71
40	18,6	2,2	2,4	50	64
41	23,7	1,9	2,8	33	72
42	49	1,3	1,8	16	71
43	20	1,5	1,6	44	67
44	31,9	0,8	1,8	13	72
45	33,4	2,4	2,7	12	71
46	35,3	1,5	2,1	12	72
47	24,6	0,6	1	18	73
48	30,8	1,3	2	22	73
49	43,4	0,6	0,9	8	78
50	42,4	0,9	1,9	10	72
51	53,8	0,2	1	7	77
52	60,6	1,4	1,5	7	76
53	58,1	0,5	1,7	6	77
54	70,2	1,1	1,4	6	77
55	73,7	0,2	0,4	7	78
56	78,3	1,3	1	6	78
57	65,8	0,5	0,1	5	76
58	85,1	1,6	1,3	5	79
59	68,7	0,6	0,3	4	79
60	73,9	0,7	0,6	6	78
61	80,3	0,4	0,5	8	77
62	78	0,5	0,8	6	78
63	84,4	2	1,7	4	76
64	78,8	0,8	0,5	6	77
65	78,7	0,3	0,1	6	75
66	82	0,3	0,6	4	80

 

Принятые в таблице обозначения:

Y - средняя ожидаемая продолжительности жизни при рождении, лет;

X₁ - ВВП в паритетах покупательной способности;

X₂ - темпы прироста населения по сравнению с предыдущем годом, %;

X₃ - темпы прироста рабочей силы по сравнению с предыдущем годом, %;

X₄ - коэффициент младенческой смертности, %.

 

1. Вычислим описательные характеристики  признаков. При вычислении воспользуемся  библиотечной процедурой Excel «Описательная статистика» (Сервис ® Анализ данных ® Описательная статистика). Результаты расчета для всех признаков приведены в табл. 2

 

                                                                                                                                      Таблица 2

X1		X2		X3		X4		Y
Среднее	29,65455	Среднее	1,642424	Среднее	1,934848	Среднее	37,62121	Среднее	67,5
Стандартная ошибка	3,33716	Стандартная ошибка	0,11014	Стандартная ошибка	0,115943	Стандартная ошибка	3,795272	Стандартная ошибка	1,094008
Медиана	17,05	Медиана	1,7	Медиана	2,1	Медиана	34,5	Медиана	69,5
Мода	5,1	Мода	2,9	Мода	2,7	Мода	6	Мода	72
Стандартное отклонение	27,11122	Стандартное отклонение	0,894782	Стандартное отклонение	0,941928	Стандартное отклонение	30,83293	Стандартное отклонение	8,887762
Дисперсия выборки	735,0182	Дисперсия выборки	0,800634	Дисперсия выборки	0,887228	Дисперсия выборки	950,6697	Дисперсия выборки	78,99231
Эксцесс	-0,6672	Эксцесс	-1,24142	Эксцесс	-0,96911	Эксцесс	-0,9218	Эксцесс	-0,75724
Асимметричность	0,924782	Асимметричность	-0,10033	Асимметричность	-0,3911	Асимметричность	0,620407	Асимметричность	-0,59056
Интервал	82,8	Интервал	2,9	Интервал	3,4	Интервал	95	Интервал	31
Минимум	2,3	Минимум	0,2	Минимум	0,1	Минимум	4	Минимум	49
Максимум	85,1	Максимум	3,1	Максимум	3,5	Максимум	99	Максимум	80
Сумма	1957,2	Сумма	108,4	Сумма	127,7	Сумма	2483	Сумма	4455
Счет	66	Счет	66	Счет	66	Счет	66	Счет	66
Уровень надежности (95,0%)	6,664769	Уровень надежности (95,0%)	0,219965	Уровень надежности (95,0%)	0,231555	Уровень надежности (95,0%)	7,579681	Уровень надежности (95,0%)	2,184884

 

Построим диаграммы рассеяния объясняющих переменных X₁, X₂, X₃, X₄  с зависимой переменной Y.

 

Рис. 1.

 

Рис. 2.

 

Рис. 3.

 

Рис. 4.

 

Из диаграмм рассеяния можно сделать предварительный вывод о наличии корреляционной связи между переменными.

Коэффициент корреляции между двумя  переменными X и Y вычисляется по формуле:

. 
Подставив исходные данные в эту формулу, для всех возможных различных сочетаний переменных X₁, X₂, Y, получим матрицу парных коэффициентов корреляции:

 

                                                                                                   Таблица 3

	X1	X2	X3	X4	Y
X1	1
X2	-0,65421	1
X3	-0,69735	0,877684	1
X4	-0,76604	0,800806	0,645195	1
Y	0,796245	-0,79297	-0,6251	-0,96374	1

 

Расчет матрицы парных коэффициентов  корреляции был произведен в  MS Excel: (Сервис ® Анализ данных ® Корреляция).

Из таблицы 2 можно предположить коллинеарность факторов X₂ и X₃, а также X₄ и Y.

2. Т.к. обе переменные X₂ и X₃ являются объясняющими, то уберем из рассмотрения одну из них, для определенности X₃. Построим по оставшимся факторам уравнение множественной регрессии (Сервис ® Анализ данных ® Регрессия):

.                                                                     (1)

Результаты расчета приведены  в табл. 4.

                                                                                                                  Таблица 4

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,968303326
R-квадрат	0,937611331
Нормированный R-квадрат	0,934592524
Стандартная ошибка	2,273034856
Наблюдения	66
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	3	4814,165378	1604,721793	310,5900651	2,74204E-37
Остаток	62	320,3346222	5,166687454
Итого	65	5134,5
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%
Y-пересечение	75,8319549	1,113265305	68,11669647	5,37647E-60	73,60657172
X1	0,044590428	0,016269626	2,740716173	0,007998521	0,012067944
X2	-0,433377979	0,529065843	-0,81913808	0,415845272	-1,490964362
X4	-0,237697639	0,018065075	-13,15785532	1,32344E-19	-0,273809168

 

3. Построим графики остатков относительно каждой из объясняющих переменных.

 

Рис. 5.

 

 

Рис. 6.

 

 

Рис. 7.

 

Рассмотрение графиков остатков позволяет сделать два  вывода:

1. Автокорреляция остатков отсутствует.

2. Можно предположить наличие гетероскедостичности (обратнопропорциональной) остатков относительно фактора X₁.

4. Проведем тестирование уравнения множественной регрессии (1) на гетероскедостичность с помощью теста Гельфельда-Квандта.

Тест Гельфельда-Квандта заключается  в следующем.

1) Выделяют фактор пропорциональности Z = X_k.

Данные упорядочиваются в порядке  возрастания величины Z.

2) Отбрасывают среднюю  треть упорядоченных наблюдений. Для первой и последней третей строятся две отдельные регрессии, используя ту же спецификацию модели регрессии.

3) Количество наблюдений в этих  подвыборках должно быть одинаково.  Обозначим его l.

4) Берутся суммы квадратов остатков  для регрессий по первой трети RSS₁ и последней трети RSS₃. Рассчитывают их отношение:

 - для случая прямой пропорциональности,

 - для случая обратной пропорциональности.

5) Используем F-тест для проверки гомоскедостичности. Если статистика GQ удовлетворяет неравенству

, где m - число переменных (в задаче m=2),

то гипотеза гомоскедостичности остатков отвергается в пользу гетероскедостичности на уровне значимости a.

Уровень значимости для определенности возьмем a = 5%.

Рассмотрим в качестве фактора  пропорциональности переменную X₁.

 Упорядоченные данные в порядке  возрастания величины Z = X₁ имеют следующий вид:

 

                                                                                                              Таблица 5

Исходная таблица, упорядоченная  по X₁

№№	X1	X2	X3	X4	Y
1	2,3	2,6	2,7	98	49
2	2,4	3,1	3,1	89	52
3	2,9	2,8	2,1	99	49
4	3,4	2	1,7	72	57
5	4,2	3	2,8	88	56
6	4,3	2,5	2,4	91	55
7	4,5	2,9	2,8	80	53
8	5,1	1,6	2,1	79	58
9	5,1	2,7	2,7	58	58
10	5,2	1,8	2	68	62
11	5,7	2,5	2,7	96	51
12	6,5	2,9	2,5	95	50
13	7,4	2,8	2,7	73	59
14	7,5	2,4	2,2	55	57
15	7,6	2,9	2,6	90	51
16	7,8	2,9	3,1	56	57
17	8,3	2,9	3,3	90	60
18	9	2,3	2,3	64	57
19	9,7	2,2	3,4	36	67
20	10,6	2,2	2,7	39	66
21	10,8	1,1	1,1	34	69
22	12,1	1,3	2	16	72
23	12,4	2	2,6	55	65
24	12,4	2,9	3,5	44	66
25	13,1	1	1,8	13	74
26	13,4	0,3	0,7	11	72
27	13,5	2,7	2,9	41	68
28	14	2	3,1	47	66
29	14,1	1,6	2,5	51	64
30	14,2	2	2,7	56	63
31	14,3	1,9	2,6	37	71
32	15,6	2,2	3,2	36	69
33	15,6	0,2	0,2	13	70
34	18,5	1,9	3	39	69
35	18,6	2,2	2,4	50	64
36	20	0,3	0,6	14	70
37	20	1,5	1,6	44	67
38	20,7	1,7	2,1	48	67
39	22,2	1,7	2,4	23	73
40	23,7	1,9	2,8	33	72
41	24,6	0,6	1	18	73
42	28	0,9	1,3	35	69
43	29,3	2,3	3	23	71
44	30,8	1,3	2	22	73
45	31,9	0,8	1,8	13	72
46	33,4	2,4	2,7	12	71
47	35,3	1,5	2,1	12	72
48	42,4	0,9	1,9	10	72
49	43,4	0,6	0,9	8	78
50	49	1,3	1,8	16	71
51	53,8	0,2	1	7	77
52	58,1	0,5	1,7	6	77
53	60,6	1,4	1,5	7	76
54	65,8	0,5	0,1	5	76
55	68,7	0,6	0,3	4	79
56	70,2	1,1	1,4	6	77
57	73,7	0,2	0,4	7	78
58	73,9	0,7	0,6	6	78
59	78	0,5	0,8	6	78
60	78,3	1,3	1	6	78
61	78,7	0,3	0,1	6	75
62	78,8	0,8	0,5	6	77
63	80,3	0,4	0,5	8	77
64	82	0,3	0,6	4	80
65	84,4	2	1,7	4	76
66	85,1	1,6	1,3	5	79

 

В результате расчета с помощью  программы MS Excel (Сервис ® Анализ данных ® Регрессия) для первой и последней трети данных, получено:

, l = 21; m = 3; ;

.

Т.к. , то на уровне значимости 5% имеет место гетероскедостичность остатков относительно фактора пропорциональности X₁.

Уровень значимости, при котором  принимается гипотеза о наличии гетероскедостичности остатков относительно фактора пропорциональности X₁, составляет:

, или 0,98%.

т.е. доверительная вероятность наличия гетероскедостичности достаточно высока и равняется

1 - a  = 100 - 0,66 = 99,02%.

Гетероскедостичность остатков относительно фактора обратной пропорциональности X₁ объясняется большим разбросом значений средней ожидаемой продолжительности жизни при рождении относительно ВВП.

5. Из таблицы 4 видно, что значимыми (на уровне значимости 5%) коэффициентами в уравнении регрессии (1) являются коэффициенты при переменных X₁ и X₄. По сути это означает, что факторы X₁ и X₄ значимо воздействуют на формирование средней продолжительности жизни в уравнении (1).

Построим теперь уравнение множественной  регрессии со статистически значимыми  факторами X₁ и X₄. Оно имеет вид:

.                                                                                             (2)

Результаты расчета приведены  в табл. 6.

                                                                                                                          Таблица 6

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,967954615
R-квадрат	0,936936137
Нормированный R-квадрат	0,93493411
Стандартная ошибка	2,267091708
Наблюдения	66
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	4810,698597	2405,349298	467,993666	1,55987E-38
Остаток	63	323,8014033	5,139704814
Итого	65	5134,5
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%
Y-пересечение	75,4214603	0,991497603	76,06822251	1,04257E-63	73,44010924
X1	0,04600161	0,016135859	2,85089316	0,005886759	0,013756649
X4	-0,246818659	0,014188168	-17,39609113	9,63533E-26	-0,275171468