Математические модели микроэкономики

Математические  модели мИкроэкономики 

     В курсе микроэкономики анализируется  взаимодействие субъектов хозяйственной деятельности – отдельных потребителей (домашних хозяйств) и производителей (предприятий). Микроэкономику иногда называют «теорией цен», поскольку главными индикаторами механизма распределения товаров (благ, услуг, ресурсов) в рыночной экономике выступают цены. Цена на конкретный товар зависит от многих факторов, в том числе от соотношения спроса и предложения, и является функцией многих переменных.

     В разделе «Производство. Производственные функции» детально исследуются протекающий в рамках фирмы процесс производства и его параметры – потребление ресурсов (издержки производства и их виды), доход и прибыль, условие минимизации издержек и максимизации прибыли и т.п. Поэтому микроэкономика является основой теории фирмы.

       Потребители преследуют цель  добиться максимальной полезности  от потребления. Производители  стремятся добиться максимальной прибыли.

     Задача  математической микроэкономики заключается  в построении системы математических моделей, адекватно отражающих взаимозависимости между экономическими параметрами деятельности фирмы. Только такие модели позволяют субъектам хозяйственной деятельности обосновать оптимальные решения и руководствоваться ими в принятии решений.

      

Раздел 1. Моделирование спроса и предложения 

Тема 1: СПРОС И ПРЕДЛОЖЕНИЕ  

     

1. Функция спроса и предложения. Наклон кривой.

 

     Спрос (D - demand) на какой-либо товар характеризует количество продукта, которое потребители желают, готовы и в состоянии купить по одной из возможных в течение определенного периода времени цене. Функция спроса представляет зависимость объема спроса от влияющих на него факторов – независимых экономических переменных. Прежде всего, спрос зависит от цены (price) данного товара. На спрос оказывают влияние неценовые факторы. Среди них - цены на другие товары; (income) – доходы потребителей; – вкусы, потребительские предпочтения; (wait) – ожидания; (number) – количество покупателей; – прочие факторы.

     Функция спроса в неявном виде: , где (quantity) - объем спроса на товар, показывает количество этого товара, которое желает купить отдельный потребитель, группа потребителей или все общество в целом в единицу времени при определенных условиях. Функция спроса  является функцией многих переменных.

     Кривая  спроса показывает, какое количество товара готовы купить покупатели по разным ценам в данный момент времени.

     В экономической теории принято, следуя традиции А. Маршалла, откладывать независимую переменную ( ) по вертикальной оси – оси ординат, а зависимую ( ) – по горизонтальной оси – оси абсцисс. Математики поступают иначе: на оси ординат откладывают значения зависимой переменной, на оси абсцисс – независимой переменной.

     Точка на кривой спроса характеризует  уровень  цены и объем покупок товара в определенный момент времени. Она имеет отрицательный наклон, что свидетельствует о желании потребителей купить большее количество благ при меньшей цене.

     Если  неценовые факторы спроса не изменяются (постоянны), то объем спроса зависит только от цены товара, от одной переменной:

      

      На  графике изменение цены вызывает  изменение объема спроса и перемещение из одной точки кривой спроса (точки ) в другую (точку ) при снижении цены с до , и в обратном направлении при повышении цены (рис 1 а). 

 

    При изменении неценовых факторов происходит изменение самого спроса, или изменение  в самом спросе, которое сдвигает кривую спроса вправо вверх при увеличении  спроса или влево вниз при сокращении спроса (рис. 1 б).

    Примером  простейших функций спроса в явном  виде являются линейная функция  , где - константы, имеющие экономический смысл и различающиеся у каждого товара и в различные периоды времени; степенная функция спроса была характерна для ряда товаров потребительского спроса в 30-40 гг. XIX в. Здесь - коэффициент ценовой эластичности спроса.  
 
 
 

Наклон  кривой спроса для  нормальных товаров. 

    Задана  некоторая функция спроса и графически представлена на рис. 2. Исходная точка с координатами . Допустим, цена растет, спрос уменьшается и новая ситуация представлена точкой с координатами .

    Наклон  кривой спроса на дуге определяется наклоном секущей линии, проведенной через точки и к оси , и измеряется отношением изменения объема спроса к вызвавшему его изменению цены:

    

.

    Секущая образует угол с отрицательно направленной осью . Экономисты же измеряют наклон кривых тангенсом угла, который образуют секущая (на дуге) или касательная (в точке) только с положительно направленной осью абсцисс. Поэтому наклон кривой спроса измеряют тангенсом угла , т.е. . Следовательно, кривая спроса для нормальных товаров имеет отрицательный наклон.

    Если  задана функция спроса, то наклон кривой в точке определяется первой производной. Так, если , то точка пробежит по дуге в направлении к точке и совпадет с ней. Секущая линия повернется и займет положение касательной к кривой спроса в точке . Тогда наклон кривой спроса в точке будет равен тангенсу угла, который образует касательная в этой точке с положительно направленной осью .

    Если  , то . Наклон кривой спроса в точке равен .

    Если  функция спроса линейна, то ее наклон измеряется угловым коэффициентом (- ). Наклон кривой спроса для нормальных товаров отрицательный. Это означает, что между объемом спроса на товар и его ценой существует обратная зависимость ( ).

    Предложение (S - supply) характеризует количество продукта, которое производитель желает и может произвести, продать на рынке по сложившейся на рынке цене в течение определенного периода времени.

    Функция предложения характеризует зависимость объема предложения от влияющих на него различных факторов. На предложение  оказывают влияние следующие факторы: – цена данного товара; неценовые факторы, к которым относятся – цены на другие товары; – цены на ресурсы; (tax) – налоги; (subsidy) – субсидии;   – прочие факторы.

      Функция предложения в неявном виде: , где - объем предложения товара.

    Если  все неценовые факторы предложения не изменяются, постоянны, то функция предложения в неявном виде может быть представлена следующим образом: . Каждая точка на кривой предложения представляет, какое количество товара готовы продать производители по разным ценам в данный момент времени.

      Аналогично, как и в случае кривой спроса, для кривой предложения на графике изменение цены выражается в изменении объема предложения и движении вдоль кривой предложения из одной точки в другую: вверх по кривой предложения в случае роста цены и вниз в случае снижения цены. Изменение неценовых факторов вызывает сдвиг кривой предложения. Так, введение налога с продаж передвигает кривую предложения влево и вверх. 

    Наклон  кривой предложения  для нормальных товаров. 

 

    Дана  некоторая функция предложения (рис. 3). Исходная точка с координатами . С ростом цены товара увеличивается объем предложения, что отмечается точкой с координатами .

    Наклон  кривой предложения на дуге определяется наклоном секущей линии, проведенной через точки и , к положительно направленной оси . Наклон кривой предложения на дуге равен соотношению прироста предложения к вызвавшему его приросту цены: .

    Наклон  кривой предложения в точке определяется первой простой производной функции предложения. Если , то точка стремиться к точке , секущая поворачивается и занимает место касательной в точке . Тогда наклон кривой предложения в точке равен угловому коэффициенту касательной, измеряемому тангенсом угла , который образует касательная в этой точке с положительно направленной осью .

    Если  , то .

Наклон  кривой предложения в точке равен: .

    Если  функция предложения линейна: , то ее наклон измеряется угловым коэффициентом (+ ). Наклон кривой предложения для нормальных товаров положителен. Это означает, что между объемом предложения товара и его ценой существует прямая зависимость ( ). 

2. Эластичность  спроса и предложения.

      Эластичность  спроса, предложения (ценовая, перекрестная и др.), эластичность многих других параметров относительно переменных, с которыми они находятся в зависимости, широко применяются в решении практических проблем деятельности фирмы.

      Ценовая эластичность спроса (предложения) характеризует  реакцию потребителей (производителей) на изменение цены, их чувствительность к изменению цены продукции и измеряется коэффициентом ценовой эластичности . Так, по одним товарам незначительное изменение цены приводит к значительным изменениям в количестве покупаемых продуктов. Это относительно эластичный спрос. По другим товарам значительное изменение цены вызывает небольшое изменение в объеме покупок.

      Эластичность  спроса относительно цены измеряется на дуге и в точке.

      Абсолютное  изменение объема спроса и цены составляет:

       , .

      Относительное изменение объема спроса и цены равно:

       , , где , - средние величины объема спроса и цены на отрезке. 

      Изменение спроса и цены, выраженное в процентах, равно: ; .

    Ценовая эластичность спроса на дуге измеряется коэффициентом эластичности ( ) - отношением относительного (процентного) изменения объема спроса к относительному (процентному) изменению цены.

.

Коэффициент ценовой эластичности спроса для  нормальных товаров всегда величина отрицательная, так как между  объемом спроса и ценой существует обратная зависимость - они  изменяются в противоположных направлениях.

      Если  , то имеет место единичная эластичность спроса; если то спрос эластичен; если - спрос неэластичен. Если при изменении цены спрос остается неизменным (например, в случае товаров первой необходимости), то и имеет место совершенно (абсолютно) неэластичный спрос. Если при постоянной цене спрос изменяется, то , что характерно для совершенно (абсолютно) эластичного спроса.

    Эластичность  спроса по цене в точке определяется, если известна функция спроса, следующим образом:

    

На нижеследующем  рисунке представлены возможные  случаи эластичности спроса. Однако, следует помнить, что по наклону кривой нельзя определить эластичность, поскольку величина коэффициента эластичности определяется еще и абсолютными значениями объема спроса и цены.

    Эластичность  предложения по цене измеряется аналогично эластичности спроса, а в коэффициенте, измеряющем ценовую эластичность предложения в точке, записывают первую простую производную функции предложения:

    

    В случае товаров заменителей (субститутов) изменение цены одного товара вызывает изменение спроса на другой товар. Для таких товаров измеряют перекрестную эластичность ( ) спроса на товар при изменении цены товара на дуге или в точке. Измерим перекрестную эластичность спроса на один товар по цене другого в точке.