Математические модели микроэкономики

    Дана  функция спроса на -ый товар: . Изменение цены товара вызывает изменение спроса на товар . Тогда ; а . Отсюда . Находим предел отношения приращения спроса к вызвавшему его приращению аргумента:

Коэффициент перекрестной эластичности спроса равен:

       .

      Изменение спроса вызывается также изменением доходов потребителей. Поэтому измеряют перекрестную эластичность ( ) спроса на товар по доходу.

      Задана  функция спроса на -ый товар: . Изменение дохода  вызывает изменение объема спроса:  ; а функция спроса принимает вид: . Отсюда изменение спроса составляет:

. Находим предел отношения приращения спроса к вызвавшему его приращению цены:

.

Коэффициент эластичности спроса по доходу имеет  вид: .

     За  изменением эластичности спроса и предложения внимательно следят предприниматели и используют данный параметр в принятии решений по изменению объема производства и валового дохода фирмы.

    Коэффициенты  эластичности спроса находят широкое  применение в решении различного рода экономических задач. Рассмотрим, какое влияние эластичность спроса оказывает на величину валового дохода производителя при изменении цены продукта.

      Задана  функция спроса . Валовой доход фирмы . Приращение дохода относительно изменения цены равно: . Если , то прирост дохода равен нулю и, следовательно, валовой доход всегда остается неизменным после изменения цены товара. Если спрос эластичен , то изменение дохода зависит от того, как изменялась цена товара. Если цена  повышалась, то доход уменьшался; если цена снижалась, то при эластичном спросе доход повышался. Если спрос неэластичен и , то при повышении цены, доход растет; при снижении цены, доход понижается. Таким правилом руководствуются предприниматели, принимающие решение, повышать цену товара или снижать при существующей эластичности спроса для того, чтобы увеличить валовой доход (выручку). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Тема  2: простые динамические модели рынка  
одного товара 

1. Паутинообразная модель рынка одного товара  
   (дискретная и непрерывная модели).

 

     Дискретная модель.

     Простейшие  модели экономического равновесия разработаны в 30-50гг. 20-го века.

     Рассмотрим рынок одного товара. Сделаем ряд допущений:

- у производителей  не возникают трудности с покупкой  ресурсов;

- объединим  всех покупателей в одну группу  и будем рассматривать их как одного покупателя;

-  объединим  всех продавцов в другую группу  и будем рассматривать их как одного продавца;

- допустим, что весь произведенный товар  реализуется сразу (единовременно).

     Рассмотрим  ситуацию на рынке, когда предложение  товара постоянно отстает от спроса, в дискретном анализе на один интервал.

     Интервалы времени одинаковы и последовательно принимают значения:

     

     Если  (time) – текущий интервал времени, то – предшествующий, а последующий интервал времени.

     Такая ситуация нередко наблюдается на рынке нового товара. Функции спроса и предложения на данный товар являются некоторыми функциями от цены: и

     Объем товара произведен в предыдущем временном интервале , а реализуется в текущем интервале .

     

     Производители руководствуются ценой  и производят продукцию в объеме . Данное предложение товара реализуется в следующем временном интервале по новой цене спроса .

     Общую схему действия модели можно представить  следующим образом:

     в начальный интервал времени  имеем ,

     в следующий интервал времени имеем и т.д.

     Так как известны функции спроса и  предложения, то можно определить равновесную  цену. Для этого необходимо приравнять функции спроса и предложения:

     

,

     где (equilibrium) - индекс, означающий равновесное значение величины объема и цены, соответственно ( ).

     Если  функции спроса и предложения  линейны, то, приравнивая их, получим одну точку равновесия и единственное значением равновесной цены и равновесного объема. 

     Если  функции спроса и предложения  не линейны, то получим два или  более значений равновесной цены и равновесного объема. В таком  случае необходимо провести дополнительное исследование и определить, в какую точку равновесия приходит система под влиянием спроса и предложения и факторов их определяющих.

     Проиллюстрируем графически паутинообразную модель. Первоначально находимся в точке . В этой точке производители руководствуются ценой и производят продукцию в объеме в период времени .

     Реализуется товар в точке  в периоде по цене спроса . В периоде производители увеличивают предложение товара до , так как выросла цена товара, и находятся в точке на кривой предложения с координатами .

     Продается товар в точке  . Поскольку предложение товара возросло, то, чтобы продать весь товар, приходится снизить цену с до .

     В следующий период времени  производители руководствуются ценой , производят объем продукции в точке на кривой предложения с координатами . Реализуется эта продукция по цене в точке и т.д. Рынок приходит в состояние равновесия в точке С.

     Аналитическая интерпретация модели состоит в  следующем:

     Для простоты будем считать, что спрос и предложение являются линейными функциями:

     

;    ,

     где – конкретные параметры каждого товара.

     Находим равновесные объем и цену, приравняв  функцию спроса и предложения:   .

     Подставим равновесное значение цены в функции спроса и предложения и определим равновесный объем: . Так как в точке равновесия объем спроса равен объему предложения, то справедливо выражение:

     

.                                        (1.1)

     Запишем условие равновесия для любого времени  :

     

                                        (1.2)

     Выражение (1.2) справедливо для любой точки. Знак равенства в выражении (1.2) означает, что весь произведенный продукт реализован.

     Вычтем  из уравнения (1.2) уравнение (1.1):

     

.

     Перейдем  к следующим обозначениям:

       характеризует отклонение  объема выпуска в любой период  времени от равновесного объема  выпуска;

       представляет отклонение  цены спроса в любой момент  времени от равновесного значения;

      - отклонение цены предложения  в любой момент времени от равновесного значения.

     Тогда действие модели можно представить  разностными уравнениями:

     

                                                (1.3).

     Выражение (1.3) аналогично выражению (1.2), но описывает отклонения цены и выпуска в некоторый период времени от их равновесных значений.

     Из  уравнения (1.3) можно выразить значение цены в любой период времени следующим образом: . Обозначим , тогда . Величина , так как наклон кривой спроса для нормальных товаров отрицателен , а наклон кривой предложения – положителен .

     Так как  , то , где - известная величина – цена в начальный период времени , а можно определить из уравнения (1.3), поскольку известны функции спроса и предложения.

     Во  все периоды времени имеем:

      ;

        ;

        ;

        ,

     т.е. для любого периода времени  имеем . Отсюда

        .

     Отклонение  цены в любой период времени от ее равновесного значения принимает то положительные, то отрицательные значения. Так как начальное отклонение , то - положительная величина.

     Число - величина отрицательная, так как - наклон кривой предложения, - наклон кривой спроса. Обозначим . Тогда

      ;

      ;

      ;

     ….;

      , т.е. знак отклонения  будет чередоваться: минус, плюс, минус и т.д. Следовательно, будет то меньше, то больше равновесной цены.

     У данной модели есть развитие. Под влиянием неценовых факторов спроса и предложения кривые спроса и предложения перемещаются, и с помощью модели можно рассматривать, как рынок приходит в состояние равновесия до того периода пока не возникает новое возмущение.

      Например, в спокойное течение дел на рынке вмешивается резкий рост предложения, если продавцы выбрасывают запасы товара. В новой ситуации в анализе рынка товара следует соединить рассмотренную модель с моделью включения запаса.