Кибернетические модели и их математическое описание

Случайный процесс является марковским, когда любая дополнительная информация, кроме знания ее текущего состояния Xt, является несущественной для осуществления прогноза дальнейшей смены состояний системы.

 

Именно требование будущее зависит только от настоящего и приводит к тому, что часто марковские процессы называют «процессами без памяти».

Существует достаточно большое количество вариантов математического аппарата для марковских процессов. Ниже остановимся на том их варианте, который используется при моделировании социальных и экономических систем с помощью стохастических дифференциальных уравнений. Идея этого подхода к моделированию состоит в том, что взаимодействие системы с внешним окружением полагается изменяющимся случайным образом (более подробно – см. следующую главу).

В этом случае приращение состояния системы Xt задается формулой

 

 (4.14)

 

Здесь полагается, что взаимодействие между исследуемой системой и внешней средой описывается при помощи случайного процесса

 

  (4.15)

 

где l задается неким усредненным состоянием окружающей среды, а изменяющаяся случайная добавка – «шум» – имеет нулевое среднее значение и дисперсию, равную s2.

Как видим, в (4.14) первый член является, по сути, дифференциальным уравнением, описывающим эволюцию системы. Но второй член – он описывает случайные добавки в это дифференциальное уравнение, что «портит» это уравнение самым неприятным для нас образом.

Каким же образом можно описать эволюцию такой системы во времени?

 

Уравнение Колмогорова (Фоккера-Планка) и его статистическая интерпретация.

Прежде чем ответить на заданный в конце предыдущего подраздела вопрос, следует получить ответ на вопрос другой: каким же образом может быть описано состояние нашей системы в произвольный момент времени?

Очевидно, что, даже если мы и имели одно состояние, уже через сравнительно непродолжительное время оно «размывается» в некое облако состояний, причем каждое состояние будет характеризоваться некоей вероятностью своего появления. Таким образом, текущее состояние исследуемой системы может быть описано только в рамках плотности вероятности P(t,x) для того, чтобы обнаружить систему в момент времени t в некоем состоянии х (мы перешли к тому, чтобы обозначать состояние маленькими буквами).

 

Конечно, сказанное в этой главе справедливо только для а) марковского процесса, б) непрерывности пространства состояний системы, и для в) приближения «белого шума» (когда значение амплитуды шума «не имеет памяти»). Очень многие математические детали в процессе изложения в этом разделе будут упущены – поэтому настоятельно рекомендуется при проведении самостоятельного моделирования обратиться к соответствующей литературе. Впрочем, это должно стать правилом для специалиста в области экономической кибернетики: когда при переходе к математическому моделированию возникает необходимость в применении нового для себя математического аппарата – всегда необходимо тщательно ознакомиться с ним, то есть, с теми предположениями, которые заложены в его основу. Это позволит избежать многих ошибок.

 

Итак, нам, зная вид уравнения (4.14) для эволюции состояния системы, необходимо найти плотность эволюцию со временем плотности вероятности для системы иметь состояние х в момент времени t. В теории стохастических дифференциальных уравнений показано, что искомая плотность вероятности P(x,t) может быть найдена из такого дифференциального уравнения в частных производных

 

 (4.16)

 

Мы не будем выписывать решение этого уравнения «в общем случае» – отметим, что это, как правило, представляет собой весьма и весьма непростую задачу даже для математика-профессионала. Остановимся только на одном весьма важном для моделирования систем свойстве этого уравнения.

Уравнение (4.16) называется прямым уравнением Колмогорова, или чаще – особенно в англоязычной литературе – уравнением Фоккера-Планка. Отметим, что, в общем случае, могут быть разные интерпретации уравнения (4.14) – соответственно получатся и разные уравнения Фоккера-Планка. За деталями рекомендуем обратиться к специальной литературе.

 

Для широкого класса уравнений вида (4.14) уравнение (4.16) допускает стационарное решение. Это означает, что для произвольного вида начальной плотности вероятности с течением времени устанавливается _стационарная плотность вероятности, или, иными словами, имеет место асимптотический закон P(x,t)®Ps(x) при t®¥. Пользуясь формулами (4.14) или (4.16) можно даже записать вид такой стационарной плотности вероятности. Она задается формулой

 

 (4.17)

 

Здесь N – нормировочный множитель, который находится по формуле

 

 (4.18)

 

Если вычисленное значение N конечно, то тогда стационарная плотность вероятности существует и для ее вычисления имеет место формула (4.17). Таким образом, получаем простой алгоритм действий: если имеется задача, задаваемая уравнением вида (4.14), то мы вычисляем для нее интеграл (4.18). Если он конечен – то задача допускает существование стационарной плотности вероятности, выражение для которой может быть вычислено по формуле (4.17). (Отметим, что, в общем случае, могут встречаться случаи, когда интеграл, стоящий под знаком экспоненты в (4.17), является несобственным, - тогда задача требует специального исследования.)

 

 

Вопросы.

1. Дайте определение «черного ящика». Приведите примеры разных а) социальных и б) экономических систем, в которых используется этот способ моделирования. Рассмотрите известные Вам социальные или экономические модели и определите, где и как именно используется в них концепция о «черном ящике».
2. Опишите примеры использования концепции «вход-выход» при моделировании а) социальных и б) экономических систем. В частности, используется ли эта концепция в микроэкономике? Ответ аргументируйте.
3. Прочитайте любой учебник по маркетингу или маркетинг менеджменту – те его разделы, где речь идет о «моделях пользователя, покупателя или потребителя». Выделите те элементы описанных там моделей, которые используют (или могут использовать) эту концепцию. Постройте Ваши собственные модели потребителя – и сравните их с описанными в учебниках.
4. Приведите определение оператора и условий, при которых черный ящик может выполнять функции оператора. Всегда ли черный ящик является оператором? Ответ аргументируйте и приведите примеры. Рассмотрите известные Вам модели социальных или экономических задач (см., например, задачу 3) и выясните, используется ли в них черный ящик как оператор. Если нет – то опишите, что нужно сделать, чтобы такое использование черного ящика стало возможным.
5. Что такое «линейный оператор»? При каких условиях черный ящик можно рассматривать как литейный оператор? Приведите примеры.
6. Что такое случайный процесс? Приведите Ваше собственное определение для этого понятия. Приведите примеры а) социальных и б) экономических систем (объектов, явлений, процессов, задач), где появляются или используются случайные процессы.
7. Что такое «марковский случайные процесс»? Приведите примеры а) социальных и б) экономических систем (объектов, явлений, процессов, задач), где появляются или используются марковские случайные процессы. Каким условиям должна удовлетворять социальная или экономическая система, чтобы при ее описании можно было использовать концепцию марковских случайных процессов?