Контрольная работа по "Эконометрика"

 

Подставляя сумму квадратов  отклонений из таблицы 1.3 в формулу для , получим:

;

В двух последних столбцах таблицы 1.3 рассчитываем доверительные границы. Напомним, что .

Посчитаем коэффициент детерминации:

, что совпадает с результатами, полученными в п. 1.4.

 

Рисунок 1.3 – Результаты регрессионного анализа зависимости

«возраст-цена автомобиля»

На рисунке 1.3 показаны: поле рассеяния, линия регрессии  и доверительные интервалы.

Заметим, что самое узкое  место доверительной полосы соответствует  среднему значению аргумента. В таблице 1.3 это значение 4,63. На рисунке 1.3 проведена вертикальная прямая . В этом месте доверительный интервал минимальный. Чем дальше влево или вправо  от по оси абсцисс, тем шире доверительная полоса.

Рассмотрим второе уравнение парной регрессии  . Для удобства построения в Microsoft Excel графика доверительных интервалов, рассчитаем при значениях , соответствующих выборочным значениям .

Дополним левую часть  таблицы 1.2 новыми колонками, представленными  в таблице 1.4.

 

Таблица 1.4

 

							Корень
1	11,3	115	9.9	1,4	2,0	0,31	0,250	1,277	8,62	11,18	1,4	2,0
2	9,5	83	7.5	2,0	4,0	988,47	0,426	2,176	5,32	9,68	-0,4	0,2
3	6,9	73	6.7	0,2	0	1717,27	0,519	2,650	4,05	9,35	-3	9,0
4	4,8	98	8.6	-3,8	14,4	270,27	0,308	1,573	7,03	10,17	-5,1	26,0
5	6,6	106	9.3	-2,7	7,3	71,23	0,267	1,364	7,94	10,66	-3,3	10,9
6	7,3	128	10.9	-3,6	13,0	183,87	0,291	1,486	9,41	12,39	-2,6	6,8
7	15,2	159	13.3	1,9	3,6	1985,59	0,549	2,804	10,50	16,10	5,3	28,1
8	11,3	149	12.5	-1,2	1,4	1194,39	0,454	2,319	10,18	14,82	1,4	2,0
9	11,4	103	9,0	2,4	5,8	130,87	0,280	1,430	7,57	10,43	1,5	2,3
10	13,5	127	10.9	2,6	6,8	157,75	0,286	1,461	9,44	12,36	3,6	13,0
11	12,8	146	12.3	0,5	0,3	996,03	0,427	2,181	10,12	14,48	2,9	8,4
12	12,0	109	9.5	2,5	6,3	29,59	0,257	1,312	8,19	10,81	2,1	4,4
13	12,0	99	8.7	3,3	10,9	238,39	0,302	1,542	7,16	10,24	2,1	4,4
14	12,8	116	10.0	2,8	7,8	2,43	0,251	1,282	8,72	11,28	2,9	8,4
15	6,3	122	10.5	-4,2	17,6	57,15	0,263	1,343	9,16	11,84	-3,6	13,0
16	5,0	98	8.6	-3,6	13,0	270,27	0,308	1,573	7,03	10,17	-4,9	24,0
Сумма	158,7	1831	158,2		114,2	8293,88						162,9
Среднее	9,9	114,44			7,1

Подставляя сумму квадратов  отклонений из таблицы 1.3 в формулу для , получим:

;

В двух последних столбцах таблицы 1.3 рассчитываем доверительные границы. Напомним, что  .

Посчитаем коэффициент детерминации:

, что совпадает с результатами, полученными в п. 1.4.

Рисунок 1.4 – Результаты регрессионного анализа зависимости

«мощность-цена» автомобиля

На рисунке 1.4 показаны: поле рассеяния, линия регрессии  и доверительные интервалы.

Заметим, что самое узкое место  доверительной полосы соответствует  среднему значению аргумента. В таблице 1.4 это значение 114,44. На рисунке 1.4 проведена вертикальная прямая . В этом месте доверительный интервал минимальный. Чем дальше влево или вправо  от по оси абсцисс, тем шире доверительная полоса.

1.6 На продажу поступила очередная  партия однотипных автомобилей.  Их возраст 3 года. Мощность двигателя  165 л.с. 

Рассчитаем точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших  автомобилей по первой парной регрессионной модели. Получим точечный прогноз средней цены.

Подставляя точечный прогноз средней  цены и в уравнения границ доверительного интервала регрессии. Получим интервальный прогноз цены с доверительной вероятностью 0,95.

, или

 тыс.у.е.

 тыс.у.е.

Рассчитаем точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших  автомобилей по второй парной регрессионной модели. Получим точечный прогноз средней цены.

Подставляя точечный прогноз средней  цены и в уравнения границ доверительного интервала регрессии. Получим интервальный прогноз цены с доверительной вероятностью 0,95.

, или

 тыс.у.е.

 тыс.у.е.

 

 

2. Множественная зависимость

2.1 Используя, последнюю строку «сумма» таблицы 1.2, в которой нами уже рассчитаны значения , , , и др., а также отдельно дополнительно вычислив значение , получим:

,          .

Найдем матрицу , обратную к матрице . Для этого сначала вычислим главный определитель:

Определим матрицу алгебраических дополнений:

Окончательно получим:

Составляем так называемую присоединенную матрицу ( )^*,

Отметим, что в данном случае , так как матрица D симметрична. Наконец,

                   (1.3)

Найдем вектор оценок А:

Таким образом,

                                                        (1.4)

2.2 Подставляя соответствующие  значения из таблицы 1.2 получим:

В нашей задаче 1,771. Для получаем:

Условие выполняется, следовательно, коэффициент корреляции существенно отличается от нуля, и существует сильная линейная отрицательная связь между и .

Для получаем:

Условие также выполняется, следовательно, коэффициент корреляции существенно отличается от нуля, и существует сильная линейная положительная связь между и .

Коэффициент парной корреляции связан с коэффициентом уравнения регрессии следующим образом:

Для нашей задачи получаем результаты, совпадающие с полученными выше:

 

2.3 Определяем вектор независимых  переменных  , для которого необходимо получить прогноз. В соответствии с условием задачи .

Для нахождения интервального прогноза вычислим значения:

Тогда

Так как  , поэтому:

Следовательно,

Результаты вычислений оформим  в виде таблицы 1.5.

Таблица 1.5 – Прогноз

	Точечный прогноз		Интервальный прогноз
(1; 3; 165)	-4,68	9,06	-20,73	11,37

 

 

3. Экономическая интерпретация

На основании проведенных расчетов  и полученных статистических характеристик можно сделать определенные выводы относительно взаимосвязей между исследуемыми экономическими показателями.

Рассмотрим в начале зависимость  цены от возраста. Так как  и проверка значимости этого коэффициента показала его существенное отличие от нуля, то есть основания утверждать, что между переменными и существует достаточно тесная отрицательная линейная зависимость, которая может быть отражена с помощью найденного уравнения регрессии .

Коэффициент , в данном случае имеет экономический смысл. Он формально определяет цену при , т.е. цену нового автомобиля.

Коэффициент , также имеет вполне определенный экономический смысл, поскольку характеризует размер прироста цены, обусловленного приростом возраста на единицу, т.е. при увеличении возраста на 1 год следует ожидать уменьшения цены на 1,62 тыс.у.е.

Значимое значение свидетельствует о том, что между и существует достаточно тесная линейная зависимость. Экономический смысл коэффициента в уравнении аналогичен смыслу коэффициента в уравнении , т.е. показывает, какого прироста цены следует ожидать при увеличении мощности двигателя на единицу – на 1л.с.

В результате исследования зависимости объема цены от двух факторов – возраста и мощности двигателя, получено уравнение множественной регрессии .

Содержательный смысл найденных  коэффициентов уравнения состоит  в следующем. Величина показывает, что при увеличении возраста на 1 год и фиксированной (неизменной) модности двигателя следует ожидать снижения цены автомобиля на 1,61 тыс.у.е.

Коэффициент показывает, что при увеличении мощности двигателя на 1 л.с. и фиксированном возрасте следует ожидать уменьшение цены на 0,02 тыс.у.е.

 

 

 

 

Задача 2. Временной ряд

Таблица 2.1

Месяц,  t	Объем продаж (тыс.у.е.)  zt
1	249
2	172
3	252
4	226
5	319
6	293
7	308
8	308
9	307
10	363
11	357
12	361

В базе данных магазина также содержится информация об объеме ежемесячных продажах автомобилей за прошлый год, представленная в таблице 2.

1. Представить графически ежемесячные объемы продаж автомагазина. На основе визуального анализа построенного графика выдвинуть гипотезу о виде статистической зависимости объема продаж от времени и записать её математически.

2. Методом наименьших квадратов найти оценку уравнения  линейного тренда

.

3. Для линии тренда построить  доверительную полосу надежности 0,975. Нарисовать ее на графике вместе с линией тренда и исходным временным рядом.

4. С помощью уравнения тренда найти точечный и интервальный прогноз (надежности 0,975) среднего объема продаж для t =15.

 

 

Решение:

1. На рисунке 1 представлены ежемесячные объемы продаж автомагазина из таблицы 3.1 исходных данных за двенадцать месяцев.

На основании визуального наблюдения ломанной линии динамики продаж можно  сделать вывод, что в первый, третий, пятый, восьмой и десятый месяца идет резкий спад объема продаж, в восьмом и десятом месяце не значительный спад объема продаж мы наблюдаем, в последующие месяца объем продаж увеличивался. То есть можно выдвинуть гипотезу о существовании линейного тренда.

                                                         (2.1)

 

Рисунок 2.1 – Траектория временного ряда

где, - неизвестные переменные.

2. Сформируем таблицу промежуточных расчетов, таблица 2.2.

 

1	249	249	1
2	172	344	4
3	252	756	9
4	226	904	16
5	319	1595	25
6	293	1758	36
7	308	2156	49
8	308	2464	64
9	307	2763	81
10	363	3630	100
11	357	3927	121
12	361	4332	144
Сумма = 78	3515	24878	650