Контрольная работа по "Эконометрике"

 

 

 

рис. 8. Построение линии регрессии

 

6. Анализ парных коэффициентов  корреляции между факторными  переменными X4, X5, X6 (см. табл. 4) свидетельствует об отсутствии коллинеарных факторов (ни один из межфакторных коэффициентов корреляции не превышает по абсолютной величине 0,8). Поэтому вначале можно попробовать построить модель регрессии с полным перечнем факторов — Y(X4, X5, X6) (рис. 9), и при необходимости скорректировать ее методом исключения.

 

рис. 9. Построение уравнения регрессии Y( X4, X5, X6)

 

Результаты регрессионного анализа приведены в прил. 5 и перенесены в табл. 5.

 

Таблица 5

Результаты регрессионного анализа модели Y(X4, X5, X6)

 

Регрессионная статистика
Множественный R						0,833688577
R-квадрат						0,695036644
Нормированный R-квадрат						0,669623031
Стандартная ошибка						29,59690587
Наблюдения						40
Дисперсионный анализ
	df		SS		MS		F	Значимость F
Регрессия	3		71871,24496		23957,08		27,34899	2,14E-09
Остаток	36		31535,16614		875,9768
Итого	39		103406,4111
Уравнение регрессии
		Коэффициенты		Стандартная ошибка			t-статистика		P-Значение
Y-пересечение		-12,07202168		21,22643886			-0,56873		0,573073
X4		2,375993622		0,278419328			8,533867		3,59E-10
X5		1,371439013		1,307196819			1,049145		0,301104
X6		0,191218232		2,27673958			0,083988		0,933531

 

Уравнение регрессии имеет вид (см. «Коэффициенты» в табл. 5):

.

Уравнение признается статистически значимым, так как вероятность его случайного формирования в том виде, в котором оно получено (наблюдаемый уровень значимости), составляет 2,14×10-9 (см. «Значимость F» в табл. 5), что существенно ниже принятого уровня значимости a=0,05.

Вероятность случайного формирования коэффициента при факторе Х4 ниже a=0,05 (см. «P-Значение» в табл. 5), что свидетельствует о его статистической значимости.

Вероятность случайного формирования коэффициентов при факторах Х5 и Х6 превышает a=0,05 (см. «P-Значение» в табл. 5), поэтому данные коэффициенты не являются статистически значимыми.

Согласно методу исключения, из модели исключается тот фактор, коэффициент при котором незначим и имеет наименьшую по абсолютной величине t-статистику. После этого строится новое уравнение регрессии, и процедура повторяется до тех пор, пока все коэффициенты регрессии при факторах не окажутся статистически значимыми.

В нашем случае из незначимых коэффициентов при факторах наименьший модуль имеет t-статистика коэффициента при факторе Х6, который и исключается из модели. Для построения уравнения регрессии Y(X4, X5) скопируем на чистый рабочий лист значения переменных Y, X4, X5 (прил. 6) и проведем регрессионный анализ (рис. 10). Его результаты приведены в прил. 7 и перенесены в табл. 6.

 

рис. 10. Панель регрессионного анализа модели Y(X1, X3)

 

Таблица 6

Результаты регрессионного анализа модели Y(X4, X5)

 

Регрессионная статистика
Множественный R						0,833652739
R-квадрат						0,694976889
Нормированный R-квадрат						0,678489153
Стандартная ошибка						29,19706817
Наблюдения						40
Дисперсионный анализ
	df		SS		MS		F	Значимость F
Регрессия	2		71865,07		35932,53		42,15114	2,89E-10
Остаток	37		31541,35		852,4688
Итого	39		103406,4
Уравнение регрессии
		Коэффициенты		Стандартная ошибка			t-статистика		P-Значение
Y-пересечение		-10,73260503		13,81899			-0,77666		0,442299
X4		2,382565457		0,263588			9,038973		6,69E-11
X5		1,417243691		1,171946			1,209308		0,234215

Уравнение регрессии имеет вид (см. «Коэффициенты» в табл. 6):

.

Уравнение регрессии признается статистически значимым, так как вероятность его случайного формирования в том виде, в котором оно получено, составляет 2,89×10-10 (см. «Значимость F» в табл. 6), что существенно ниже принятого уровня значимости a=0,05.

Вероятность случайного формирования коэффициента при факторе Х4 ниже a=0,05 (см. «P-Значение» в табл. 6), что свидетельствует о его статистической значимости.

Вероятность случайного формирования коэффициента при факторе Х5 превышает a=0,05 (см. «P-Значение» в табл. 6), поэтому данный коэффициент не является статистически значимыми.

Согласно методу исключения фактор Х5 должен быть исключен из модели, но в этом случае мы придем к парной модели Y(X4). Однако фактор Х5 все же можно считать информативным, так как модуль t-статистики коэффициента при нем превышает единицу. Другими словами, абсолютная величина коэффициента — «закономерность», больше его стандартной ошибки — «случайности». Поэтому фактор Х5 можно оставить в модели, хотя к дальнейшим выводам относительно него следует относиться с некоторой долей осторожности.

Таким образом, в качестве рабочей модели принимаем уравнение регрессии Y(X4, X5). Дадим экономическую интерпретацию его коэффициентов.

Коэффициент при фиктивной переменной Х5 (этаж квартиры) показывает, что при прочих равных условиях цена квартиры на первом этаже на 1,42 тыс. долл. ниже, чем на втором этаже. Однако из-за статистической незначимости коэффициента при факторе Х5 нельзя уверенно утверждать, что разница в ценах квартир на разных этажах является существенной.

Коэффициент при факторе Х4 (жилая площадь) является статистически значимым. Это означает, что жилая площадь квартиры существенно влияет на ее цену. При увеличении площади на 1 кв. м. цена квартиры при прочих равных условиях возрастает в среднем на 2,38 тыс. долл.

 

7. Оценим качество модели (см. «Регрессионную статистику» в табл. 6):

• множественный коэффициент детерминации

показывает, что регрессионная модель объясняет 64,3 % вариации цены квартиры Y, причем эта вариация обусловлена вариацией включенных в модель факторов X1 и X3;

• стандартная ошибка регрессии

 тыс. долл.

показывает, что предсказанные уравнением регрессии значения цены квартиры Y отличаются от фактических значений в среднем на29,2 тыс. долл.

Средняя относительная ошибка аппроксимации

%

показывает, что предсказанные уравнением регрессии значения цены квартиры отличаются от фактических значений в среднем на 24,9 %. Точность модели — неудовлетворительная.

Таким образом, качество множественной модели регрессии Y(X4, X5) несколько улучшилось по сравнению с лучшей однофакторной моделью Y(X4).

Оценим влияние факторов на цену квартиры в модели множественной регрессии Y(X4, X5). Для удобства сведем в таблицу средние значения и стандартные отклонения переменных в исходных данных (табл. 7). Средние значения были определены с помощью встроенной функции «СРЗНАЧ», стандартные отклонения — с помощью функции «СТАНДОТКЛОН» (см. прил. 1).

 

Таблица 7

Средние значения и стандартные отклонения используемых переменных

 

Переменная	Y	X4	X5
Среднее	93,65	39,618	7,05
Стандартное отклонение	51,49	17,755	3,99

 

1) Фактор X5 (этаж квартиры)

Фактор X5 является фиктивной переменной. Средний коэффициент эластичности для фиктивных переменных лишен смысла.

 

2) Фактор X4 (жилая площадь квартиры)

Средний коэффициент эластичности фактора X4 имеет значение

.

Он показывает, что при увеличении общей площади на 1 % цена квартиры возрастает в среднем на 1,007 %.

Сравним между собой силу влияния на цену квартиры включенных в регрессионную модель факторов, для чего определим их бета–коэффициенты:

;

.

Сравнивая по абсолютной величине бета–коэффициенты, можно сделать вывод о том, что на изменение цены квартиры Y сильнее всего влияет изменение жилой площади Х4, и далее по степени влияния следует этаж квартиры X5.

Определим дельта–коэффициенты факторов:

;

;

где ry,x4=(0,82); ry,x5=0,146 — коэффициенты корреляции между парами переменных Y–X4, Y–X5 соответственно (см. табл. 4); R2=0,69 — множественный коэффициент детерминации (см. табл. 6).

Сумма дельта–коэффициентов факторов, включенных в модель, должна быть равна единице. Небольшое неравенство может быть вызвано погрешностями промежуточных округлений.

Таким образом, в суммарном влиянии на цену квартиры Y всех факторов, включенных в модель, доля влияния этажа квартиры X5 составляет 2,3 %, жилой площади Х4 — 97%.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРИЛОЖЕНИЯ:

 

Задача 1			Приложение 1
Исходные данные
№ квартиры	Y	X4	X5	X6
1	115	51,4	9	7
2	85	46	5	10
3	69	34	6	10
4	57	31	1	9
5	184,6	65	1	9
6	56	17,9	2	7
7	85	39	12	8,3
8	265	80	10	16,5
9	60,65	37,8	11	12,1
10	130	57	6	6
11	46	20	2	10
12	115	40	2	7
13	70,96	36,9	5	12,5
14	39,5	20	7	11
15	78,9	16,9	14	13,6
16	60	32	11	12
17	100	58	1	9
18	51	36	6	12
19	157	68	2	11
20	123,5	67,5	12	12,3
21	55,2	15,3	9	12
22	95,5	50	6	12,5
23	57,6	31,5	5	11,4
24	64,5	34,8	10	10,6
25	92	46	9	6,5
26	100	52,3	2	7
27	81	27,8	3	6,3
28	65	17,3	5	6,6
29	110	44,5	10	9,6
30	42,1	19,1	13	10,8
31	135	35	12	10
32	39,6	18	5	8,6
33	57	34	8	10
34	80	17,4	4	8,5
35	61	34,8	10	10,6
36	69,6	53	4	12
37	250	84	15	13,3
38	64,5	30,5	12	8,6
39	125	30	8	9
40	152,3	55	7	13
Среднее	93,65	39,618	7,05	10,06
Стандартное отклонение	51,49	17,755	3,99	2,38
Наибольшее значение	265	84	15	16,5
Наименьшее значение	39,5	15,3	1	6

 

Задача 1. Приложение 2

	Y	X4	X5	X6
Y	1
X4	0,82639	1
X5	0,146383	0,044399	1
X6	0,277274	0,274037	0,413008	1

 

Задача 1. Приложение 4

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,82639
R-квадрат	0,682921
Нормированный R-квадрат	0,674577
Стандартная ошибка	29,37418
Наблюдения	40
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	70618,39	70618,39	81,84389	5,12E-11
Остаток	38	32788,02	862,8426
Итого	39	103406,4

 

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	-1,30173	11,47739	-0,11342	0,910297	-24,5365	21,93304	-24,5365	21,93304
X4	2,396718	0,264926	9,046761	5,12E-11	1,860404	2,933032	1,860404	2,933032