Критерий оптимальности

Показателем абсолютного  отклонения оценок результативного признака является среднеквадратическое  отклонение  оценок  результативного признака, рассчитанных по уравнению регрессии, от их фактических значений, которая определяется по формуле:

где n - число наблюдений в выборке; р - число факторных признаков модели.

Данная величина используется для определения коэффициента вариации

,

где - среднее значение результативного признака.

Применение  корреляционно-регрессионного анализа  для прогнозирования динамики экономических  явлений. Прогнозирование осуществляется  на  основе собранных числовых статистических данных,  характеризующих изменение экономических процессов или явлений.  Такие числовые данные в виде конкретных показателей, изменяющихся во времени, образуют ряд динамики или временной (динамический, хронологический) ряд.  Для дальнейшего прогнозирования необходимо подобрать аналитическую функцию (прямую или  кривую),  наиболее  точно характеризующую закономерность  развития  данного явления или процесса во времени.  Найденная функция позволяет получить выровненные значения уровней ряда динамики (его теоретические оценки),  т.е. те уровни, которые наблюдались бы,  если бы динамика явления или процесса полностью совпадала с выбранной кривой (линией регрессии).

Основными методами преобразования наблюдаемых  статистических значений исследуемых показателей к аналитическому виду являются интерполяция, аппроксимация и экстраполяция (рис. 13).

Рис. 13. Уравнение и линия тренда

 

Известно, что через любые n + 1 точки можно всегда провести кривую, описываемую полиномом n-й степени, так, чтобы она прошла через каждую из заданных точек а₁, а₂, ..., а_n. Эта кривая называется интерполирующей, а процесс её нахождения - интерполяцией. Однако в практике моделирования производственно-экономических объектов применяются интерполяционные полиномы невысоких степеней (ввиду проблемы интерпретации сложных зависимостей), в первую очередь для вычисления промежуточных значений, отсутствующих в таблице. Простейшим случаем является линейная интерполяция, т.е. интерполяция функции f(х) линейной функцией F(х).

Для получения более  “гладкого” вида интерполирующей  кривой при линейной интерполяции применяются формулы Ньютона. При параболической и квадратичной интерполяции полином второй степени используется формула Лагранжа. Программы интерполяции входят в стандартное математическое обеспечение ЭВМ.

Во многих случаях для  функции, заданной таблично или графически, бывает целесообразно подобрать аналитическое выражение, приближенно её отражающее. Такой процесс называется приближенной интерполяцией или аппроксимацией. Для приближения заданной функции f(х) выбирают аппроксимирующую функцию F(х) из классов математических функций, в наибольшей степени соответствующих специфике протекания исследуемого процесса.

Наибольшее распространение  в практике экономических исследований получили следующие функции:

линейная     ;

степенная    ;

экспоненциальная  ;

показательная    .

 

Процесс подбора эмпирической формулы  для установленной из опыта функциональной зависимости является итерационным и распадается на две части: выбирается вид формулы; определяются числовые значения параметров, для которых приближение к данной функции оказывается наилучшим.

Для решения первой задачи по экспериментальным  данным строятся графики, по которым и выбирается вид аппроксимирующей зависимости. Для решения второй задачи существует ряд методов приближения эмпирической кривой к экспериментальной, например, приближение по методу наименьших квадратов.

Особую роль вопросы экономного представления табличной информации в аналитическом виде играют при обработке статистической информации, в связи с чем в рамках математической статистики получили развитие разделы однофакторного и многофакторного регрессионного анализа. Программы обработки статистических данных методами регрессионного анализа также представлены в стандартном математическом обеспечении ЭВМ.

 

Экстраполяция - это продолжение интерполяции и аппроксимации за пределы диапазона статистических данных. Если исследуемый фактор - время, то это прогнозирование в будущее. Предположение, что действие различных факторов, обусловливающих явление в прошлом, остается неизменным в течение будущего периода или будет меняться в соответствии с расчетной кривой, позволяет прогнозировать это явление в будущем.

Прогнозная экстраполяция строится на основе математического анализа исходного ряда с учетом логики и существа развития объекта, его физики и абсолютных пределов.

Этапы прогнозной экстраполяции: предварительная  обработка исходного ряда; выбор типа аппроксимирующей функции; расчет параметров аппроксимирующей функции; экстраполяционная оценка точности и достоверности результатов.

Для определения  параметров уравнения регрессии  используется  метод наименьших квадратов,  который требует, чтобы сумма квадратов отклонений значений,  лежащих на линии регрессии (теоретических оценок  уровней), от  фактических  значений уровней была минимальной,  т.е.  чтобы соблюдалось условие å (Y_р – Y_ф)² ® min,  где Y_ф -  фактическое  значение уровня динамики, Y_р - теоретическая (расчетная) оценка уровня.

Аналитическим выражением прямолинейного тренда является функция

Y_t = b₀ + b₁ t,

где b₀ и b₁ - параметры уравнения регрессии;  t - очередной номер уровня ряда с начала отсчета (номер временного периода).

Для определения  параметров тренда необходимо решить  систему  нормальных уравнений

å Y_t = b₀ * n + b₁å t,

å Y_t * t = b₀å t + b₁å t²,

где n - количество значений ряда динамики.

Произведя преобразования, получим:

b₀ = (åY_t – b₁åt )/n, 

b₁ = (nåY_tt - åtåУ_t)/(nåt² - (åt)²).

Коэффициент корреляции определяется по формуле:

где Y_t - фактическое значение показателя динамического ряда за t-й период (момент); `Y<sub>t</sub> - среднее значение показателей динамического ряда; t - условный номер t-го периода;`t - средняя величина условных номеров периодов;  n - количество наблюдений в ряду.

Интервал, в  котором с определенной вероятностью можно ожидать появление фактического значения прогнозируемой величины,  называется доверительным интервалом.  Величина  доверительного  интервала  зависит от среднеквадратической ошибки оценки прогнозируемого показателя (s_yt), от времени учреждения прогноза (Т) и от количества периодов наблюдения во временном ряду (n):

где Yф_t - фактическое значение показателя динамического  ряда  за  t-й интервал (момент)  времени; Yр_t - расчетная оценка показателя динамического ряда по уравнению регрессии;  n - количество моментов во  временном ряду; k - число параметров в уравнении регрессии.

Тогда для прямолинейного тренда  доверительный  интервал  прогноза можно определить по формуле:

где Y_n+T  -  прогноз на n+Т-й период времени;  t_a - значение критерия Стьюдента при n-2 степенях свободы.

 

Аналитическим выражением прямолинейного тренда является функция

Y_t = b₀ + b₁ t,

где b₀ и b₁ - параметры уравнения регрессии;  t - очередной номер уровня ряда с начала отсчета (номер временного периода).

 

Интервал, в котором с определенной вероятностью можно ожидать появление  фактического значения прогнозируемой величины,  называется доверительным интервалом. 

 

Морфологическое описание даёт представление о строении системы, то есть об элементном составе системы, а также о наличии, характере и способах связей между ними.

 

Структура производственной системы  определяется составом и взаимосвязями ее элементов и подсистем, а также связями с внешней средой.

 

Управление - это такое входное воздействие или сигнал, в результате которого система ведет себя заданным образом. Обычно управление направлено на то, чтобы система находилась в стационарном режиме (равновесном или периодическом).

 

В качестве меры априорной неопределенности системы применяется специальная  характеристика – “энтропия”. Энтропия системы определяется как сумма произведений вероятностей различных состояний системы на логарифмы этих вероятностей, взятая с обратным знаком (формула Шеннона):

Свойства энтропии: 1) она обращается в нуль, когда одно из состояний  системы достоверно, а другие –  невозможны;

2) при заданном числе состояний  она обращается в максимум, когда  эти состояния равновероятны, а при увеличении числа состояний – увеличивается

при р₁ = р₂ =…= р_i =…= p_n =1/n;

т.е. Н_max(S) = log₂ n   –   (формула Хартли) ;

3) она обладает свойством аддитивности, т.е. когда несколько независимых систем объединяются в одну, их энтропии складываются

Н(S, K) = H(S) + H(K).

Минус (–) в формуле Шеннона введен по причине того, что вероятности состояний системы измеряются в диапазоне от 0 до 1, а логарифм таких чисел отрицателен.

 

Часто энтропию трактуют как разнообразие системы.

 

Имитационное моделирование  применяется в сложных ситуациях, когда невозможно использование аналитических моделей, например вследствии большой размерности решаемых задач.

 

Объектом имитационного моделирования является производственная система (участок, цех) и протекающие в ней процессы производства по механической обработке, транспортировке партий деталей, осуществлению операций контроля качества выпускаемой продукции.

 

Идея метода Монте-Карло  состоит в том, что вместо аналитического описания СМО производится “розыгрыш” случайного процесса, проходящего в СМО, с помощью специально организованной процедуры. В результате такого получается каждый раз новая, отличная от других реализация случайного процесса.

 

Согласно методу Монте-Карло перебирают (с помощью ЭВМ) все возможные состояния системы с различным числом покупателей в час, временем их обслуживания и т.п., сохраняя те же характеристики распределения.

 

Для сокращения числа имитационных экспериментов (расчетов на ЭВМ) при сохранении заданной точности в последнее время находят все более широкое применение методы теории оптимального планирования эксперимента. Планирование эксперимента в задачах моделирования состоит в выборе логической структуры искусственного эксперимента на ЭВМ и позволяет обоснованно проводить выбор значений управляемых параметров для выполнения расчетов на модели.

В планировании экспериментов для  описания результирующей характеристики (в нашем случае - критерия оптимальности) используют полиномиальные модели, аппроксимирующие реальный вид целевой функции:

Эта функция в планировании экспериментов  называется функцией отклика или уравнением регрессии, пространство, в котором строится функция отклика, - факторным пространством (рис. 34). Коэффициенты функции отклика b₀, b_i, b_ij, b_ii и т.п. можно интерпретировать как значения частных производных в точке, вокруг которой производится разложение в ряд неизвестной целевой функции.

Для поиска оптимума в  области определения факторов выбирают произвольную точку А₁. В окрестности точки А₁ выделяют малую подобласть, в которой возможно описать функцию отклика полиномом первой степени (рис. 35). В этой подобласти осуществляют небольшую серию экспериментов (точки I), необходимую для построения линейной модели:

Коэффициенты регрессии b_i используются для определения направления градиента, следуя которому осуществляют дальнейшие опыты (точки II в окрестности точки А₂). Для каждой новой подобласти вновь определяют направление градиента, по которому следуют в дальнейших опытах до тех пор, пока не достигнут оптимума - области М.

Если значения коэффициентов регрессии b_i близки к нулю, то это означает, что недалеко находится область оптимума. Для отыскания оптимального решения в этом случае необходимо переходить на полиномиальные уравнения более высокого порядка, например использовать неполный полином второй степени.

Регрессия называется парной, если она описывает зависимость между функцией и одной переменной и имеет вид

     (5)

Регрессия называется множественной, если она описывает зависимость функции от нескольких переменных и имеет вид

        (6)

Если зависимости (5) и (6) являются линейными, то регрессия называется линейной, в противном случае регрессию называют нелинейной. Зависимости между параметрами объектов проектирования, как правило, являются нелинейными. Очень важной характеристикой регрессионных зависимостей является мера их достоверности, которая оценивается величиной R², находящейся в пределах

.

При R² = 0 величины, для которых определяются уравнения регрессии, являются независимыми; при R² = 1 имеет место функциональная (а не статистическая) зависимость. Принято считать допустимым R² = 0,7.

Чем больше статистических данных, используемых при определении  уравнения регрессии, тем точнее будет определена искомая зависимость. Но при этом следует иметь в виду, что количество статистических данных не может обеспечить получение достоверной зависимости, если в действительности такой зависимости между исследуемыми величинами нет. Вместе с тем, есть минимальное количество К необходимых исходных данных, определяемое методом наименьших квадратов, с помощью которого находится уравнение регрессии. К определяется по формуле