Математическое программирование в экономике

Содержание

Введение

1. Особенности применения  метода математического программирования  в экономике.  

2.  Экономическая сущность и математическое программирование транспортных задач.

3. Оптимизация замены  оборудования. Динамическое программирование  в планировании производством  и управлении им.

Заключение

Список использованной литературы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение    

Предмет, особенности и  область применения математического  программирования в экономике. 
Большое число планово-производственных и экономических задач связано с распределением каких-либо, как правило, ограниченных ресурсов (сырья, рабочей силы, энергии, топлива и т. п.). Часто распределение ресурсов можно произвести не единственным образом. Например, данную продукцию можно получить различными способами, по-разному выбирая технологию, сырье, применяемое оборудование, организацию процесса. При этом каждый способ распределения ресурсов, оцениваемый с позиций некоторого критерия (прибыль, объем выпускаемой продукции и т. п.), характеризуется определенным значением показателя этого критерия. Естественно поэтому стремление найти такой вариант распределения (программу, план), который гарантировал бы наибольший экономический эффект. Такую программу (план) называют оптимальной. Может показаться, что при наличии нескольких возможных решений надо рассматривать все решения и выбирать наилучшее из них. Однако чаще всего прямой перебор всех допустимых решений практически неосуществим.  
Чтобы использовать методы математического программирования для нахождения оптимального плана, экономическую проблему необходимо записать с помощью математических выражений (уравнений, неравенств и т. п.), т. е. составить ее математическую модель. Математическая модель это система математических выражений, описывающих характеристики объекта моделирования и взаимосвязи между ними. В состав модели входят соотношения, отражающие специфические условия, которым должно удовлетворять решение (план) данной задачи (так называемая система ограничений), а также функция (целевая), в математической форме выражающая поставленную цель с точки зрения выбранного критерия оптимальности. Числовые значения целевой функции позволят сопоставлять различные варианты решений, послужат показателями критерия качества различных решений (планов). Поиск оптимального плана с математической точки зрения представляет собой определение такого набора числовых значений неизвестных, удовлетворяющих ограничительным условиям задачи, при котором целевая функция достигает экстремальной величины.  
Реальные экономические процессы весьма сложны. При их математическом описании приходится учитывать множество различных факторов. Поэтому математическая модель содержит большое число ограничительных условий со многими неизвестными. Если неизвестные входят в модель только в первой степени, то задача относится к разделу линейного программирования, в противном случае к разделу нелинейного программирования. Оптимизационные задачи, в которых приходится учитывать последовательность действий или фактор времени, рассматриваются в разделе динамического программирования. Если в задаче фигурируют параметры, являющиеся случайными величинами, то она относится к задачам стохастической оптимизации.  
Предметом исследования математического программирования являются математические модели, связанные в большинстве случаев с определенными экономическими процессами, описывающими экономику предприятия, агрофирмы, промышленного объединения, отрасли народного хозяйства, наконец, всего народного хозяйства или отдельных экономических процессов в них.  
Математическое программирование это область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения многомерных экстремальных задач с ограничениями, т. с. задач па экстремум функции многих переменных с ограничениями на область изменения этих переменных.

В научных исследованиях  стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывало  все новые области научных  знаний: техническое конструирование, строительство и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки. Большие успехи и признание  практически во всех отраслях современной  науки принес методу ХХ в. Однако методология долгое время развивалась независимо отдельными науками. Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь постепенно стала осознаваться роль как универсального метода.

1. Особенности применения метода математического программирования в экономике.

Проникновение математики в экономическую науку  связано с преодолением значительных трудностей. В этом отчасти была "повинна" математика, развивающаяся  на протяжении нескольких веков в  основном в связи с потребностями  физики и техники. Но главные причины  лежат все же в природе экономических процессов, в специфике экономической науки.

Большинство объектов, изучаемых экономической наукой, может быть охарактеризовано кибернетическим  понятием сложная система.

Наиболее распространено понимание системы как совокупности элементов, находящихся во взаимодействии и образующих некоторую целостность, единство. Важным качеством любой  системы является эмерджентность - наличие таких свойств, которые не присущи ни одному из элементов, входящих в систему. Поэтому при изучении систем недостаточно пользоваться методом их расчленения на элементы с последующим изучением этих элементов в отдельности. Одна из трудностей экономических исследований - в том, что почти не существует экономических объектов, которые можно было бы рассматривать как отдельные (внесистемные) элементы.

Сложность системы  определяется количеством входящих в нее элементов, связями между  этими элементами, а также взаимоотношениями  между системой и средой. Экономика  страны обладает всеми признаками очень  сложной системы. Она объединяет огромное число элементов, отличается многообразием внутренних связей и  связей с другими системами (природная  среда, экономика других стран и  т. д. ). В народном хозяйстве взаимодействуют природные, технологические, социальные процессы, объективные и субъективные факторы.

Сложность экономики  иногда рассматривалась как обоснование  невозможности ее моделирования, изучения средствами математики. Но такая точка  зрения в принципе неверна. Моделировать можно объект любой природы и  любой сложности. И как раз  сложные объекты представляют наибольший интерес для моделирования; именно здесь моделирование может дать результаты, которые нельзя получить другими способами исследования.

Потенциальная возможность  математического моделирования  любых экономических объектов и  процессов не означает, разумеется, ее успешной осуществимости при данном уровне экономических и математических знаний, имеющейся конкретной информации и вычислительной технике. И хотя нельзя указать абсолютные границы  математической формализуемости экономических проблем, всегда будут существовать еще неформализованные проблемы, а также ситуации, где математическое моделирование недостаточно эффективно. 
 
  2.  Экономическая сущность и математическое программирование транспортных задач.

Известны: пункты производства (А₁, А₂ … A_i … А_m); m – пунктов, производящих конкретную продукцию;

а_i – мощность i-поставщика (сколько необходимо реализовать продукции, т. е. перевести из А_i)

– суммарная мощность поставщиков  в плановом периоде;

пункты потребления (В₁, В₂ … B_j … В_n); n – пунктов потребления конкретной продукции;

b_j – потребность (спрос, ёмкость) j-поставщика в конкретной продукции;

  – суммарный спрос n-потребителей.

1)   – сбалансированные спрос и предложение, такие задачи называются закрытыми транспортными задачами;

  – открытая транспортная задача.

2) возможна поставка продукции  из любого пункта производства  в любой пункт потребления.

3) с_ij – затраты на поставку продукции, т. е. критерий оптимальности (может быть и на производство, и на транспортировку).

 

В задаче требуется найти  план транспортных связей между поставщиками и потребителями продукции, при  котором потребности всех потребителей были бы удовлетворены с минимальными суммарными затратами на поставку всей продукции.

 

x_ij – объём поставки от i-поставщика к j-потребителю (искомая величина)

 

Поставщики и их мощности		Потребители и их спрос
		B1 ………………………….. Bj ………………………………….. Bn
		b1 …………………………… bj ………………………………….. bn
		С=[ сij] mxn / Х=[ xij]mxn
A1	a1	c11	……………………. x11…………………	c1j	…………………. ………x1j………	c1n	……………… ………….. x1n
. . .	. . .	. . .	.            .                 . .            .                 . .            .                 .	. . .	.             .             . .             .             . .             .             .	. . .	.          .         . .          .         . .          .          .
Ai	ai	ci1	……………………. xi1…………………	cij	…………………. ………xij………	cin	……………… ………….. xin
. . .	. . .	. . .		. . .		. . .
Am	am	cm1	……………………. xm1…………………	c11	…………………. ………xmj………	c11	……………… …………..xmn

 

 

Целевая функция:

  (1)

Условие реализации продукции  у каждого из поставщиков:

  (2)

Условие обеспечения всех потребителей продукцией по их потребности:

   (3)

Условие не отрицательности  переменных:

     

В решении системы линейных уравнений 2 и 3 необходимо найти такие  не отрицательные значения переменных, чтобы целевая функция принимала  минимальное значение.

 

m+n-1 – линейно независимых уравнений, ранг системы, r= m+n-1.

В каждом опорном плане  должно быть m+n-1 базисных элементов (x_ij>0), если таких переменных равно или больше, чем m+n-1, план называется невырожденный; если одна или несколько базисных переменных равна нулю, то такой план считается вырожденным.

Открытые транспортные задачи.

 

a)

  (1)

  (2)

   (3)

B_n+1: – потребность какого-то потребителя, находящегося за пределами района (фиктивный потребитель).

  (1)

  (2)

   (3)

с_{i, n+1}=0 (i=1,2…m)

 

б)

  (1)

  (2)

   (3)

     

А_n+1: – фиктивный поставщик.

  (1)

  (2)

   (3)

     

Ограничение транспортных возможностей.

 

а) x_ij=0 => c_ij=М, где М»0;

б) 0 ≤ х_ij ≤ d_ij

d_ij – характеризует транспортные возможности между i-поставщиком и j-потребителем.

Тогда поставщик А_i условно делится на А_i` и А<sub>i</sub>``, при этом a<sub>i</sub>`=d_ij и a_i``= a<sub>i</sub>`-d<sub>ij</sub>, c<sub>ij</sub>`=c<sub>ij</sub> и c<sub>ij</sub>``=М, где М»0.

3. Оптимизация замены оборудования. Динамическое программирование в планировании производством и управлении им.

 

Под динамическим программированием  понимается вычислительный метод, опирающийся  на аппарат рекуррентных соотношений.

Динамическое программирование – планирование многошагового процесса, при котором на каждом шаге решения, оптимизируется только этот шаг. Идея динамического программирования заключается  в том, что отыскание множества  переменных, что имело место в  линейном программировании, заменяется на многократное отыскание одной или очень небольшого числа исходных переменных.

Весь процесс динамического  программирования планируется в  виде составления функциональных уравнений, которые решаются на каждом шаге.

Под функциональными уравнениями  понимаются такие уравнения, в которых  выражается функциональная зависимость  между множеством функций – это  сущность и отличие динамического  программирования от линейного.

Содержание проблемы и  сущность алгоритма решения.

 

Процесс решения задачи осуществляется следующим способом. Берётся период в N лет. К этому времени оборудование отработало некое количество лет и пришло t₀ возраста.

Решение задачи начинается с последнего N-го года, составляется пара функциональных уравнений в предположении, что пришло старое оборудование без замены:

1. рассчитывается доход от эксплуатации оборудования при замене;
2. рассчитывается доход от эксплуатации оборудования  в течение года при условии его старения.

Вторая гипотеза: к N-ому году оборудование могло прийти замененным в каком-то году, тогда составляется пара уравнений, в которых определяется доход за год от эксплуатации единицы оборудования при условии замены или сохранения оборудования.

Шаг второй: рассматриваем (N-1) год.

Рассматриваются две гипотезы:

• пришло старое оборудование без замены;
• пришло оборудование, которое было заменено.

Шаг третий: рассматривается (N-2) год при двух гипотезах, составляются уравнения, рассчитывается доход.

Решение продолжается по всем шагам. На первом году будет одна гипотеза, что пришло старое оборудование, используемое t₀ лет.

Составление функциональных уравнений.

 

Под критерием оптимальности  может быть принят любой экономический  показатель, если он хорошо подготовлен, т.е. он должен быть отчищен от факторов, не зависящих от работы оборудования.

r(t) – стоимость продукции, созданной единицей оборудования возраста t лет за год.

U(t) – затраты на содержание в течение года единицы оборудования возраста t лет.

С(t) – затраты на замену единицы оборудования возраста t лет (затраты на приобретение, отладку за вычетом остаточной стоимости старого оборудования).

i – год установки нового оборудования.

Доход замены оборудования рассчитывается:

f’=r(t)-U(t)-C(t)

Доход от сохранения оборудования:

f’’=r(t)-U(t)

Если f’>f’’, то оборудование необходимо заменить, если f’≤f’’ – оставить.

 

Шаг 1-ый: N-ый год.

Гипотеза 1: пришло старое оборудование возраста N+t₀ лет.

Тогда доход за N-ый год при условии замены или сохранения оборудования:

Гипотеза 2: пришло новое  оборудование.

 

 

Возьмём N-t-й год:

 

 

Шаг 2-ой: (N-1)-ый год.

Рассчитывается суммарный  условный доход, при условии замены или сохранения.

Гипотеза 1: пришло старое оборудование.

Гипотеза 2: пришло новое  оборудование.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

Есть  различные точки зрения на процессы, происходящие в нашем обществе в  настоящий момент. Но независимо от того, как различные политические силы воспринимают эти процессы (как  откат назад или как прогресс, движение вперед), ни одна их них не может отрицать того, что экономические  условия жизни стали намного  сложнее. Стало намного труднее  принять решение, как касающееся частных интересов, так и общественных. Эти трудности не могли не вызвать  волны нового интереса к математическим методам, применяемым в экономике; т.е. к тем методам, которые позволили  бы выбрать наилучшую стратегию  как на ближайшее будущее, так  и на дальнюю перспективу. В то же время многие люди в таких случаях  предпочитают обращаться к собственной  интуиции, опыту, или же к чему-то сверхественному. По отношению к этому вопросу следует избегать двух крайних мнений: полное отрицание применимости математических методов в экономике и фетишизация, преувеличение той роли, которую математика могут или могли бы сыграть. Оба этих подхода основаны на незнании реального положения вещей, поскольку человек, хотя бы частично знакомый с этим вопросом, никогда не поставит его ребром: да или нет; а будет говорить лишь об удельном весе математического программирования в экономике во всей системе исследования. Кроме того, математического программирования в экономике  могут развиваться, также как и сами экономические системы. Это происходит как вследствие изменений в экономике, так и по внутренней логике развития. При этом необязательно, что новые методы с неизбежностью отбрасывают старые, может происходить взаимопроникновение, включение старых теорий в новые (в качестве частного случая).