Методы линейного программирования

Мебели

 

Поскольку все  ограничения по ресурсам имеют одинаковый знак,  то их можно задать одновременно: D7:D10<=E7:E10 (рисунок 3).

 

 

 

 

 

 

Рисунок 3- Окно “Добавление ограничения”

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Задание параметров поиска. Нажав кнопку Параметры, устанавливаем параметры алгоритма поиска (рисунок 4).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 4- Окно “Параметры поиска решения”

Все параметры оставляем по умолчанию, устанавливаем только два флажка:

• флажок Линейная модель;
• флажок Неотрицательные значения.

5 . Запуск процесса решения. Нажатие кнопки Выполнить активизирует процесс поиска решения.   По окончании поиска  на экране появляется окно “Результаты поиска решения“ (рисунок 5).

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 5- Окно “Результаты поиска решения”

Задача успешно решена и в окне появляется сообщение “Решение найдено. Все ограничения и условия оптимальности выполнены”.  Устанавливаем  переключатель в положение Сохранить найденное решение, в списке “Тип отчета” выделяем все названия отчетов, а затем нажимаем кнопку OK. На листе Excel с условием задачи зафиксирован результат решения (изменяемые ячейки получат оптимальные значения, а также изменится результат в ячейках с формулами), а на отдельных листах сформированы отчеты по результатам, по устойчивости и по пределам.

6. Интерпретация результатов решения. Лист Excel с результатами решения показан на рисунке 6. Из него следует, что оптимальные значения переменных следующие: , , Таким образом, следует производить 151 единицу трельяжей, 1349 единиц трюмо, а тумбочки производить не выгодно. При этом общая прибыль составит 4706,11 денежных единиц. Левые части ограничений представляют собой расход ресурса каждого вида при оптимальном плане производства, а правые – имеющийся запас ресурсов. Сравнение этих данных показывает, что древесностружечные плиты и доски еловые будут израсходованы полностью. Доски березовые не будут полностью израсходованы,  их остаток составит 6,5 м³ (14-7,5), остаток по ресурсу «трудоемкость» составит 5143,6 чел/час (16800-11656,4).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 6- Результаты решения задачи планирования производства мебели

Содержимое  отчетов показано на рисунках 7 – 9.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 7 – Отчет по результатам

Отчет по результатам (рисунок 7) состоит из 3-х таблиц.

В первой таблице  приведены сведения о значении целевой функции. Для данного примера F^*=4706,11 – это максимальное значение прибыли, которое может быть достигнуто.

Во второй таблице  представлены исходные и оптимальные  значения переменных. Таким образом, для данного примера оптимальные значения переменных следующие:  

Третья таблица  показывает результаты оптимального решения  для ограничений и граничных условий. В графе формула приведены зависимости, которые были введены в диалоговое окно “Поиск решения”. В графе Значение находятся величины использованного ресурса, а в графе Разница показано количество неиспользованного ресурса. Если ресурс используется полностью, то в графе Статус указывается связанное, в противном случае указывается не связанное. Остатки ресурсов имеют следующие оптимальные значения:

Отчет по устойчивости (рисунок 8) состоит из 2-х таблиц.

В первой таблице  приведена информация по переменным:

• оптимальное значение переменных (j= );
• соответствующие значения нормированной стоимости, (j= );
• коэффициенты в целевой функции при переменных C_j (j= );
• допустимые приращения коэффициентов целевой функции ( и ), при которых не изменяется  оптимальное решение.

Из столбца  ”Нормированная стоимость” можно  выписать оптимальные значения дополнительных двойственных переменных:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 8– Отчет по устойчивости

Во второй таблице  показаны аналогичные значения для  ограничений:

• величины использованных ресурсов;
• теневые цены для каждого ресурса ;
• величины правых частей ограничений (запасы ресурсов) b_i (i= ) ;
• предельные приращения ресурсов Db_i⁺ и Db_i^- , при которых сохраняется структура решения.

Таким образом, из столбца ”теневая цена” второй таблицы отчета по устойчивости получаем оптимальные значения двойственных переменных: z₁^*=4,05; z₂^*=144,72; z₃^*=0; z₄^*=0;  z₅^*=0.

Отчет по пределам (рисунок 9) показывает, как может изменяться количество выпускаемой продукции в оптимальном плане производства при сохранении структуры решения. В отчете по пределам показаны значения целевой функции на нижнем и верхнем пределе для продукции, которая вошла в оптимальное решение_.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 9– Отчет по пределам

 

4 ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ ЗАДАНИЯ

1. Какие виды продукции необходимо выпускать мебельному комбинату? Какую сумму прибыли получит предприятие от выпуска продукции?

Мебельному комбинату  необходимо выпускать трельяжи (х₁^*=151) и трюмо  (х₂^*=1349). Предприятие получит максимальную прибыль 4706,11.

2. Какие ресурсы являются дефицитными при данном производстве?

Согласно отчету по устойчивости (рис. 8) дефицитными при данном производстве являются ресурсы «древесностружечные плиты» (z₁^*) и «доски еловые» (z₂^*), так как их теневые цены больше нуля и соответственно равны (z₁^*=4,05; z₂^*=144,72).

3. Как изменится прибыль от выпуска продукции при увеличении запаса досок еловых на 5 м³?

Теневая цена досок еловых составляет z₂^*=144,7, (рис. 8). При увеличении запаса досок еловых на 5 м³ прибыль от выпуска продукции увеличится на DF=5 * 5* 144,72=732,6 денежных единиц.

4. К чему приведет задание плана  выпуска по тумбочкам в количестве 100 штук?

Задание плана выпуска  по тумбочкам в количестве 100 штук приведет к снижению прибыли. Согласно отчету по устойчивости (рис. 8) нормированная стоимость тумбочек (v₃^*=0,91), это значит, что при производстве 100 шт., прибыль уменьшится на DF=100 * v₃^*=100*0,91=91 ден.ед.

 

 

Анализ решения задачи о планировании производства продукции  на основе теории двойственности

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В курсовой работе был изучен метод линейного программирования на примере задачи планирования производства продукции в цеху мебельного комбината и анализ решения на основе теории двойственности.

В результате решения  задачи с помощью надстройки MS Excel “Поиск решения” было получено оптимальное решение поставленной задачи, в соответствии с которой предприятию требуется производить 151 единицу трельяжей, 1349 ед. трюмо, а тумбочки производить не выгодно. При этом предприятие получит максимальную прибыль равную 4706,11 денежных единиц.

Была составлена  математическая модель задачи, математическая модель в канонической форме, модель двойственной задачи и модель двойственной задачи с ограничениями в форме равенства. Подробно описано решение задачи с помощью надстройки MS Excel “Поиск решения”. В виде рисунков 7-9 приведены отчеты по решенной задаче. Даны ответы на поставленные вопросы.

Экономические объекты относятся к классу сложных  систем. Использование моделирования позволяет не только проводить исследование простым и дешевым способом, но и анализировать поведение объекта в пограничных, экстремальных ситуациях.

Таким образом, использование экономико-математических методов позволяет существенно повысить эффективность принимаемых управленческих решений, а значит, совершенствует производственно-хозяйственный процесс и обеспечивает предприятиям получение максимальной прибыли.

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Бондарева, В.В. Автоматизация решения задач линейного программирования. Пособие для студентов дневной формы обучения экономических специальностей/ В.В. Бондарева, О.И. Еськова – Гомель, БТЭУ, 2003. (методичка 1350 – лабораторная работа №3)
2. Еськова, О.И. Экономико-математические методы и модели: курс лекций для студентов дневной формы обучения экономических специальностей / О.И. Еськова. – Гомель, БТЭУ, 2006.
3. Экономико-математические методы и модели. Компьютерные технологии решения: учеб. пособие/ И.Л. Акулич, Е.И. Велесько и др. – Мн.:БГЭУ, 2003.
4. Экономико-математические методы и модели: учеб. пособие/под ред.С.Ф. Миксюк, В.Н. Комкова.- Мн.:БГЭУ, 2006.
5. Зайцев, М. Г. Методы оптимизации управления для менеджеров. Компьютерно-ориентированный подход: учеб. пособие для вузов / М. Г. Зайцев. – М.:Дело, 2002.