Метод статистического моделирования (метод Монте-Карло)

Задание 4

 

В бухгалтерии  организации в определенные дни  непосредственно с сотрудниками работают два бухгалтера. Если сотрудник заходит в бухгалтерию для оформления документов (доверенностей, авансовых отчетов и пр.) в тот момент, когда оба бухгалтера заняты обслуживанием ранее обратившихся коллег, то он уходит из бухгалтерии, не ожидая обслуживания. Статистический анализ показал, что среднее число сотрудников, обращающихся в бухгалтерию в течение часа, равно λ, а среднее время, которое затрачивает бухгалтер на оформление документа, – Т_ср мин:

λ = 15

Оцените основные характеристики работы данной бухгалтерии  как СМО с отказами (указание руководства  не допускать непроизводительных потерь рабочего времени!). Определите, сколько бухгалтеров должно работать в бухгалтерии в отведенные дни с сотрудниками, чтобы вероятность обслуживания сотрудников была выше 85%.

Решение:

λ = 15

 мин. или   часа.

Параметр экспоненциально  закона распределения времени обслуживания требований в системе (интенсивность  обслуживания) – величина, обратная среднему времени обслуживания , т.е.:

Нагрузка на систему α:

Рассчитаем по следующим  формулам основные показатели системы:

1. Вероятность отказа  в обслуживании:

,

где .

2. Относительная пропускная  способность В, т.е. вероятность того, что заявка будет обслужена:

.

3. Абсолютную пропускную способность А получим, умножая интенсивность потока заявок λ на В:

.

4. Среднее число занятых  каналов:

.

Расчеты выполним в MS Excel:

 

 

СМО загружена: их двух бухгалтеров занято в среднем около 1,4 бухгалтера, а из обращающихся в бухгалтерию организации сотрудников около 53% остаются необслуженными.

Построим график вероятности  отказа в обслуживании:

 

По графику видно, что минимальное число каналов обслуживания (бухгалтеров), при котором вероятность обслуживания сотрудников будет выше 85% (т.е. вероятность отказа будет меньше 15%), равно n = 5.

Задание 5

 

Статистический  анализ показал, что случайная величина Х (длительность обслуживания клиента в парикмахерской) следует показательному закону распределения с параметром μ, а число клиентов, поступающих в единицу времени (случайная величина Y), – закону Пуассона с параметром λ.

λ = 2,4

μ = 1,1

Организуйте датчики  псевдослучайных чисел для целей статистического моделирования (использования метода Монте-Карло).

Получите средствами MS Excel 15 реализаций случайной величины Х и 15 реализаций случайной величины Y.

Решение:

Имитационный эксперимент  проведем с использованием средств MS Excel.

Представим моделирующий алгоритм (табличную имитационную модель) при числе испытаний N = 15:

Для получения случайных  чисел с показательным законом  распределения использовано соотношение

.

Случайные числа P_i с равномерным их распределением в интервале от 0 до 1 получены с помощью функции =СЛЧИС() Мастера функций (категория Математические). Эти числа содержатся в ячейках $C$3:$Q$3.

Пятнадцать реализаций случайной величины длительности интервала Y (в часах) между очередными поступлениями требований (клиентов) содержатся в ячейках $C$4:$Q$4. Для получения, например, содержимого ячейки С4 использована функция =(-1/2,4)*LN(С3).

Соответственно, кумулятивным образом (строка 6) на временной оси [0,Т] зафиксировано время T_i (i = 1,2,…,15) поступления требований (в минутах, с округлением).

Для получения реализация случайной величины длительности обслуживания Х (в минутах, с округлением) в соответствующую ячейку электронной таблицы (строка 7) записываем формулу =60*(-1/1,1)*LN(СЛЧИС()).

Далее последовательно  сравниваем время окончания обслуживания парикмахерской (строка 8) и время выставления требований (строка 6).

В счетчике отказов (строка 9) фиксируем 0 (требование принято к  обслуживанию) или 1 (требованию отказано в обслуживании).

В соответствии со счетчиком  отказов (в ячейках $C$9:$Q$9) зафиксировано 10 отказов, т.е. статистическая оценка вероятности отказа в данной СМО при N = 15 равна (10 / 15) = 0,667 

 

Список использованной литературы

 

1. Гармаш А.Н., Орлова И.В. Математические методы в управлении: Учеб. пособие. – М.: Вузовский учебник: ИНФРА-М, 2012. – 272 с.

2. Колемаев В.А. Математическая  экономика. Учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. – 385 с.

3. Кремер Н.Ш. Исследование  операций в экономике. – М.: ЮНИТИ, 2006. – 474 с.

4. Малыхин В.И. Математика  в экономике: Учебное пособие. – М.: ИНФРА-М, 2002. – 378 с.

5. Орехов Н.А., Левин  А.Г., Горбунов Е.А. Математические  методы и модели в экономике. Учебное пособие для вузов / Под ред. проф. Н.А. Орехова – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. – 398 с.

6. Самаров К.Л., Шапкин А.С. Задачи с решениями по высшей математике и математическим методам в экономике: Учебное пособие – М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и Ко», 2007. – 287 с.

7. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов/ В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др.; Под ред. В.В. Федосеева. — М.: ЮНИТИ, 2009. - 391 с.

8. Экономико-математическое моделирование. Учебник для вузов / Под общ. ред. И.Н. Дрогобыцкого. – М.: Изд. «Экзамен», 2004. – 368 с.

9. Таха Х.А. Введение в исследование операций. – М.: Вильямс, 2007. – 474 с.

 

 

¹ Гармаш А.Н., Орлова И.В. Математические методы в управлении: Учеб. пособие. – М.: Вузовский учебник: ИНФРА-М, 2012. – С.158.

² Гармаш А.Н., Орлова И.В. Математические методы в управлении: Учеб. пособие. – М.: Вузовский учебник: ИНФРА-М, 2012. – С.160.

³ Гармаш А.Н., Орлова И.В. Математические методы в управлении: Учеб. пособие. – М.: Вузовский учебник: ИНФРА-М, 2012. – С.167.