Определение оптимального производственного плана предприятия

1. Если 0≤ t ≤ 12, то цены меняются в следующем соотношении:

• С₁:  0 – 12;
• С₂: 16 - 28;
• С₃: 19 – 43.

Если цена на первый товар  колеблется в интервале [0;12], то вторая цена - [16;28], третья - [19;43], то целевая функция изменяется в этом же интервале. При изменении цен (первая уменьшится на единицу, вторая увеличится на единицу, а третья увеличится на 2 единицы), целевая функция увеличится на 12.

Для максимальной выручки  не надо производить продукты А и  С, а продукта В нужно производить  в количестве 12 шт., [Х*=(0;12;0)], тогда  выручка будет изменяться от 192 - 336 руб.

2. Если -4,8 ≤ t ≤ 0, то цены меняются в следующем соотношении:

• С₁:  12 -16,8;
• С₂: 11,2 - 16;
• С₃: 9,6 - 19.

Для максимальной выручки  не надо производить продукты А и  С, а продукта В нужно производить  в количестве 12 шт., [Х*=(0;12;0)], тогда  выручка будет изменяться от 134,4 - 192 руб.

3. Если -4,8  ≤ t ≤-9,5, то цены меняются следующим образом:

• С₁: 16,8 ÷ 21,5;
• С₂: 6,5 ÷ 11,2;
• С₃: 0 ÷ 9,6.

Для максимальной выручки  не надо производить продукты А и  С, а продукта В нужно производить  в количестве 12 шт., [Х*=(0;12;0)], тогда  выручка будет изменяться от 78 - 134,4 руб.

Теперь построим график по полученным точкам:

 

t	С(t)
-9,5	78
-4,8	134,4
12	336

 

 

5. РЕШЕНИЕ ОДНОКРИТЕРИАЛЬНЫЗ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРОМ В ОГРАНИЧЕНИЯХ

 

Теперь решим параметрическое уравнение с параметром в ограничениях. Предприятие может использовать не более чем 24+2µ ресурса R₁и 30-µ ресурса R_2.

С (х) = 12 х₁ + 16х₂ + 19х₃ → max

x₁ + x₂ + 3x₃<= 24+2µ

2x₁ + 2x₂ + 4 x₃<=30-µ

3x₁ + 2x₂ + 5x₃ = 24

х₁, х₂, х₃ >=0

 

 

 

1. Если 0 ≤µ ≤ 6 и цены

С1: 12

С2: 16

С3: 19

• 24≤R1≤36
• 24≤R2≤30

2. Если -6≤µ ≤ 0, и цены

С1: 12

С2: 16

С3: 19

• 12<=R1<=24
• 30<=R2<=36

3. Если -8 ≤µ ≤-6, и цены

С1: 12

С2: 16

С3: 19

• 8≤R1≤12
• 36≤R2≤38

Для максимальной выручки  не надо производить продукты А и  С, а продукта В нужно производить  в количестве 12 шт., [Х*=(0;12;0)], тогда  выручка будет равна 96.

Теперь построим график по полученным точкам:

µ	с(µ)
6	192
-6	192
-8	48

 

6. РЕШЕНИЕ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ

Рассмотрим решение многокритериальной задачи разными способами. В качестве критериев будем использовать выручку  и себестоимость.

 

6.1.Метод свёртки критериев:

Суть метода в том, что  решение многокритериальной задачи сводится к одному скалярному критерию, отражающему некоторую комбинированную  цель задач.

I. Переменные:

х₁- продукт А (единица изделия);

х₂ - продукт В (единица изделия);

х₃ - продукт С (единица изделия).

f₁ (х) = 12х₁ + 16х₂ + 19х₃ → max (выручка);

f₂ (х) = 9х₁ + 13х₂ + 15х₃ → min (себестоимость).

x₁ + x₂ + 3x₃<= 24

2x₁ + 2x₂ + 4 x₃<=30

3x₁ + 2x₂ + 5x₃ = 24

х₁, х₂, х₃ >=0

Введем коэффициенты α₁ и α₂-веса важности каждой из двух целевых функций соответственно.

Пусть α₁=0,1 и α₂=0,9, тогда

F(х) = 0,1*(12х₁ + 16х₂ + 19х₃)-0,9*(9х₁ + 13х₂ + 15х₃)=-6,9 х₁-10,1 х₂-11,6 х₃

С помощью надстройки MSExcel «Поиск решения» найдем суммарный функции при других значениях коэффициентов весов важности.

Таблица 6.1.1«Метод свёртки»

α1	α2	х1	х2	х3	Себестоимость	Выручка	Суммарная функция
0,1	0,9	0	12	0	156	192	79,2
0,2	0,8	0	12	0	156	192	62,4
0,3	0,7	0	12	0	156	192	45,6
0,4	0,6	0	12	0	156	192	28,8
0,5	0,5	0	12	0	156	192	12
0,6	0,4	8	0	0	72	96	-4,8
0,7	0,3	8	0	0	72	96	-21,6
0,8	0,2	8	0	0	72	96	-38,4
0,9	0,1	8	0	0	72	96	-55,2

Вывод:

Из данной таблицы можно  сделать вывод, что рациональнее всего использовать план, при котором  производится 8 единиц продукта А, а продукт В и С не выпускается. При этом себестоимость составит 72 тыс. руб., а выручка–96 тыс. руб. Важность каждой целевой функции при таком плане будет одинакова.

При изменении весового коэффициента до тех пор, пока большую значимость мы придаём максимизации выручки  – она будет составлять 192 тыс. руб. , а себестоимость -156 тыс. руб., продукт А и С производиться не будет, а продукт В будет выпускаться в размере 12 единиц.

Когда же предпочтение мы отдаем минимизации себестоимости – она будет составлять 72 тыс. руб., а выручка-96 тыс. руб., при этом производиться будет только продукт А в размере 8 единиц.

 

6.2.Метод главного критерия

Суть данного метода заключается  в том, что из множества критерий выбирается главный, а остальные  записываются в виде дополнительных ограничений.

В данной задаче возьмем  в качестве главного критерия максимум выручки, а минимум себестоимости  запишем в качестве дополнительного  ограничения.

Целевая функция  – выручка (руб.):

f₁ (х) = 12х₁ + 16х₂ + 19х₃ → max

Целевая функция  – себестоимость (руб.):

f₂ (х) = 9х₁ + 13х₂ + 15х₃ → min

 

x₁ + x₂ + 3x₃<= 24

2x₁ + 2x₂ + 4 x₃<=30

3x₁ + 2x₂ + 5x₃ = 24

х₁, х₂, х₃ >=0

Критерий себестоимости  был использован при решении  задачи в качестве ограничения. Для  этого с помощью надстройки MSExcel «Поиск решения» были определены максимальное и минимальное значение функции себестоимости:

f₂ (max) = 156

f₁ (max) = 72

Полученные значения позволяют  определить правую часть ограничения, полученного при использовании  функции себестоимости: d₁ = 85.

При этом условие задачи выглядит следующим образом:

f₁ (х) = 12х₁ + 16х₂ + 19х₃ → max

x₁ + x₂ + 3x₃<= 24

2x₁ + 2x₂ + 4 x₃<=30

3x₁ + 2x₂ + 5x₃ = 24

х₁, х₂, х₃ >=0

9х₁ + 13х₂ + 15х₃<= 85

При решении данной задачи с помощью надстройки MSExcel «Поиск решения» был получен оптимальный план задачи: Х₁^* = (6,76; 1,85; 0);

f₁(Х₁^*)=110,86;f₂ (Х₁^*) = 85.

Возьмем d₂=100, тогда условие задачи выглядит следующим образом:

f₁ (х) = 12х₁ + 16х₂ + 19х₃ → max

x₁ + x₂ + 3x₃<= 24

2x₁ + 2x₂ + 4 x₃<=30

3x₁ + 2x₂ + 5x₃ = 24

х₁, х₂, х₃ >=0

9х₁ + 13х₂ + 15х₃<= 100

При решении данной задачи с помощью надстройки MSExcel «Поиск решения» был получен оптимальный план задачи: Х₁^* = (5,33; 4; 0);

f₁ (Х₁^*)=128;f₂ (Х₁^*) = 100.

Возьмем d₃=130, тогда условие задачи выглядит следующим образом:

f₁ (х) = 12х₁ + 16х₂ + 19х₃ → max

x₁ + x₂ + 3x₃<= 24

2x₁ + 2x₂ + 4 x₃<=30

3x₁ + 2x₂ + 5x₃ = 24

х₁, х₂, х₃ >=0

9х₁ + 13х₂ + 15х₃<= 130

При решении данной задачи с помощью надстройки MSExcel «Поиск решения» был получен оптимальный план задачи: Х₁^* = (2,48; 8,29; 0);

f₁ (Х₁^*) = 162,3;f₂ (Х₁^*) = 130.

Вывод:

При увеличении предельной величины d  функции f₂ (х), т.е. себестоимости, значение функции f₁(х), т.е. выручки, также увеличивается. При этом для получения максимальной выручки необходимо уменьшать объем производства изделия вида А, и увеличивать объем производства изделия вида В и не производить изделие С.

 

3. Модифицированный метод идеальной точки

В основу метода "идеальной  точки" положен расчёт расстояния

критериев между точкой, соответствующейидеальной альтернативе, и точкой, соответствующей рассматриваемой альтернативе. Идеальной называется такая альтернатива, которая имеетнаилучшие значения всех критериев. Естественно, в реальности такойальтернативы не существует, но наиболее приемлемой считаетсяальтернатива, у которой расстояние от "идеальной точки" минимально.

Я буду решать задачу относительно следующих критериев:

Целевая функция  – выручка (руб.):

f₁ (х) = 12х₁ + 16х₂ + 19х₃ → max

Целевая функция  – себестоимость (руб.):

f₂ (х) = 9х₁ + 13х₂ + 15х₃ → min

С помощью надстройки MSExcel «Поиск решения» я нашла оптимальные значения указанных функций:

f₁ (х)= 192

f₂ (х)= 72