Основные принципы построения математической гипотезы

        Первый вариант квантовой механики (матричная механика) был разработан в работах В. Гейзенберга, М. Борна, П. Йордана. На протяжении нескольких лет в рассуждениях физиков преобладала следующая схема. Сначала изучаемый процесс рассматривался в рамках классических теорий с использованием квантовых условий Бора-Зоммерфельда, потом использовался принцип соответствия, координату и импульс раскладывали в ряды Фурье, а от полученной совокупности классических частот, фаз и амплитуд этих рядов переходили к квантовым частотам. Этот путь был "обходным", а отсутствие точных правил преобразования "классика–кванты" приводил часто к ошибкам. В работе же Гейзенберга предлагалось заменить операции над величинами операциями над их совокупностями. Мысленный анализ материала позволил Гейзенбергу, опираясь на подобие математической формы важных уравнений классической теории и условия частот Ритца, записать основные уравнения новой теории, экстраполировать на квантово-механические явления старые уравнения, придать им новый смысл. Рассмотрение предыстории матричной механики показывает также, что этот мысленный анализ стал следствием накопления практики применения математических гипотез на протяжении ряда лет в рамках теории Бора (многократное использование идеи соответствия Бора, связанные с этим неудачи и успехи показали, как нужно истолковывать эту идею, следовательно, сама практика подсказала, какой новый математический аппарат нужно создавать, какими должны быть исходные уравнения новой теории). В то время как основатели матричной механики в основном развивали идеи Бора, в работах Луи де Бройля основную роль играла гипотеза световых квантов Эйнштейна. Он искал выход из затруднений теории Бора-Зоммерфельда и пришел к выводу о том, что для объяснения таинственной дискретности в явлениях микромира нужно обратиться к понятию волны, то есть опереться на представления о непрерывности. Кванты света Эйнштейна к 1925 году обретали все большую популярность, ряд теоретических исследований говорил в пользу этой гипотезы, однако решающую роль сыграло объяснение теорией световых квантов эффекта Комптона, явно противоречащего классической теории излучения. Возврат к корпускулярной теории света (отвергнутой в XIX веке) ставил вопрос о том, правомерно ли считать свет только волной или только потоком частиц. К такому же выводу пришел и де Бройль, но не только на основе успехов теории квантов, а в ходе размышлений над схожестью математической формы уравнений оптики и механики. Речь шла об аналогии между фундаментальными законами: принципом наименьшего действия (ПНД) в механике и принципом Ферма в оптике. Впервые такой вопрос возник в работах Мопертюи еще в XVIII веке, однако тогда он имел наивный, полуэмпирический характер, вызванный представлением о свете как о потоке корпускул, кроме того, сам Мопертюи объяснял принцип наименьшего действия неким божественным предвидением. Наиболее математически доскональную форму ПНД обретает в работах Гамильтона, которые были результатом использования оптико-механической аналогии (канонические уравнения– оптические уравнения, ПНД –принцип Гюйгенса). После Гамильтона оптико-механическая аналогия была практически забыта. Ее открыли вновь, когда развитие науки стало невозможным без ее использования.

        Де Бройль заметил полную аналогию математического выражения принципов Ферма и Мопертюи при замене фазовой скорости на величину, обратно пропорциональную скорости перемещения материальной частички, откуда был сделан вывод о том, что корпускулы (материальные точки) и волны тесно взаимосвязаны. Итак, путем преобразования старых, классических уравнений, наделения входящих в них величин новым физическим смыслом, де Бройль пришел к новым уравнениям, имеющим принципиально новую физическую интерпретацию, то есть, применил метод    математической гипотезы.

        Каждой движущейся частице он сопоставил действительную волну, и наоборот, любой волновой процесс связал с частицей, движущейся вдоль луча волны. Для этого необходимо было связать корпускулярные характеристики (импульс, энергия) с волновыми (частота, длина волны). Для электромагнитных волн связка была очевидной: формула Планка, связывавшая энергию и частоту излучения, и формула Эйнштейна для импульса фотона. Де Бройль обобщил эти уравнения связи на материальные частички и связанные с ними волны. Кроме того, предложенная им форма уравнений для волн материи была обладала релятивистской инвариантностью, то есть удовлетворяло едва ли не главному требованию, предъявляемому к любой физической теории. Из этого видна важная эвристическая роль теории относительности при построении новых теорий. Де Бройль также обобщил уравнения для фазы волны (частичке теперь придавался смысл плоской волны, распространяющейся в пространстве. Однако в этот момент возникли трудности с интерпретацией скорости движения волны, которая во всех случаях, кроме электромагнитных волн, оказывалась гораздо больше скорости света в вакууме–предельной скорости передачи взаимодействия. Характер волн материи де Бройля стал совсем неясным. Причина парадокса была в проникновении классических представлений о "волнах в воздухе" в теорию де Бройля. Оказалось, что для волн материи существует совершенно невозможный для классики разрыв между волной и энергией: волны могут быть лишены энергии! На этом примере виден типичный источник затруднений при интерпретации результатов математической экстраполяции: проникновение в теорию старых представлений. Безусловным успехом теории де Бройля явилось волновое объяснение квантовых условий, оказалось, что в атоме могут существовать устойчиво электроны лишь на тех орбитах, на которые укладывается целое число фазовых волн материи. Так квантовое условие впервые обрело реальные физический смысл, хотя сам физический смысл фазовых волн оставался пока неясным. Однако речь шла о мостике между теорией Бора-Зоммерфельда и оптикой, а, вслед за ней, и классической механикой, что свидетельствовало о некоторой связи квантовой и классической теорий. Однако для уточнений характера этой связи требовалось более детальное изучение оптико-механической аналогии.

         Следующий шаг в изучении проблемы был сделан Э. Шредингером. На основе аппарата классической физики ему удалось отыскать уравнение, положенное в основу волновой механики. В отличие от создателей матричной механики, отказавшихся от наглядности своей теории, Шредингер изначально надеялся на объяснение наглядных атомных явлений в рамках своей теории, стремясь связать квантовую теорию с классической физикой, показать их тесную связку.

         Шредингер допустил, что все многообразие атомных явлений можно объяснить, экстраполируя волновую оптику на механику атома, то есть видоизменить и обобщить математические схемы волновой оптики применительно к условиям микромира. Так, на основе математических преобразований, он ввел понятие волновой функции (а с ней амплитуду и частоту), выразил длину волны через механические величины, показав, что аналогия с геометрической оптикой совершенно неприменима к внутриатомным явлениям (когда размеры системы сравнимы с длиной волны). Далее, используя классической волновое уравнение, Шредингер приходит к квантовому волновому уравнению.

        Математическая гипотеза Шредингера состояла в экстраполяции волнового уравнения на область микропроцессов. К мысли о такой экстраполяции он пришел, развивая идею де Бройля про необходимость синтеза волновых и корпускулярных представлений, детально проанализировав оптико-механическую аналогию. Именно эта аналогия и легла в основу экстраполяции классической теории волнового движения на внутриатомную область

       Вскоре после вывода своего уравнения Шредингер показал тождественность волновой и матричной механики.

       Но для того, чтобы полученный формализм имел право называться физической теорией, необходимо было дать физическую интерпретацию входящим в него величинам. Гейзенберг, Шредингер и другие вынуждены были полностью покориться логике метода математической гипотезы. Применение полученного ими аппарата означало выход за рамки макроскопических представлений, что физики начали мыслить категориями микромира. Это мышление носило след отрыва от системы понятий классической физики и еще не привело к развитию новых понятий и представлений. Проблема интерпретации, таким образом, была проблемой снятия этой абстрактно-математической формы конкретного физического знания, приведение математических форм в соответствие с представлениями физики. Элементы физического объяснения появились в виде статистического толкования квантовой механики и принципа неопределенности.

         Открытие дифракции электронов ставило вопрос, о каких же волнах идет речь в волновой механике. Раз волна де Бройля–абстрактное понятие, то почему же она так явно проявляет себя в эксперименте? Так как в теории Шредингера волна описывалась волновой функцией, то естественным образом стал вопрос и о смысле волновой функции как таковой. После серии неудачных попыток связать эти понятия с представлениями классической физики (о частичке как о волновом пакете и т. д. ) они, наконец, обрели совсем необычное для классики объяснение в рамках понятия вероятности. Сам формализм волновой механики приводил к выводу о вероятностном характере квантовых процессов, а квантовая характеристика состояния, волновая функция, тоже должна была, таким образом, иметь вероятностный смысл. Квантовая теория не давала ответ на вопрос о том, что произойдет. Она говорила лишь, с какой вероятностью может произойти тот или иной исход из многих возможных. Волны материи де Бройля были волнами вероятности наступления того или иного события. В матричном методе Гейзенберга существенную роль играли так называемые коммутационные соотношения, математическое выражение неперестановочности операции умножения матриц. Фундаментальную роль играло такое соотношение для матриц координаты и импульса, возникшее как обобщение постулатов Бора-Зоммерфельда. Из него напрямую следовала невозможность точного одновременного измерения координаты и импульса частички. То есть, к микрообъектам совершенно неприменимы классические представления о положении в пространстве и скорости движения. Таким образом, от квантовых условий Бора, через постулаты Бора-Зоммерфельда, физика пришла к соотношению неопределенностей Гейзенберга, которое привело уже к физическому толкованию входящих в него величин. По сути, в 1927 году была найдена физическая интерпретация тех принципов, развитие которых началось еще Планком в 1900 году, когда он на основе математической гипотезы пришел к идее кванта. Столь быстрое развитие квантовых представлений стало возможно благодаря досконально развитым математическим теориям: математическому анализу, линейной алгебре, матричной алгебре (матричная механика), потом методам математической физики (волновая механика), наконец, теории самосопряженных линейных операторов (тождественность матричных и волновых представлений). Дав толчок развитию квантовой механики, теория операторов сама столкнулась с новым набором задач, что привело к ее дальнейшему развитию.

Заключение

 

         В отличие от классической физики, когда математический аппарат создавался только вслед за физической интерпретацией величин, неклассическая физика часто оперирует с абстрактными объектами, о смысле которых изначально ничего не известно. Одним из возможных методов построения новых неклассических теорий является математическая гипотеза, оперирование абстрактными математическими объектами, их преобразование на основе уже существующих уравнений без изначального постулирования физического смысла входящих в них величин. Практически вся теоретическая схема микромира– квантовая теория –была построена именно в результате математической экстраполяции классических объектов и уравнений. Так родились теории Планка, Бора, Бора-Зоммерфельда, корпускулярно-волновой дуализм де Бройля, матричная механика Гейзенберга, волновая Шредингера, квантовая электродинамика, хромодинамика и т. д. К достоинствам метода математической гипотезы следует отнести его эвристическую роль в развитии физики, математическую логичность его преобразований, наконец, возможности по отысканию новых теоретических схем.

        Наряду с этим у метода есть и существенные недостатки. Так, он, как правило, приводит к трудностям при физической интерпретации математических объектов, непросто также и выбрать изначальные предпосылки для введения гипотезы. Метод математической гипотезы сыграл огромную роль в развитии неклассических представлений в физике, фактически, был механизмом формирования нового типа мышления на уровне микрообъектов, отрыва от классических представлений в физике микромира, объяснению микроявлений.

         В постнеклассической науке акценты в познавательной деятельности смещаются на системные, саморазвивающиеся образования, теоретические и экспериментальные исследования сращиваются, объединяются прикладные и фундаментальные знания. В этой ситуации метод математической гипотезы не отвергается полностью, но отходит на второй план, как и все методы неклассической науки, ставшие теперь не определяющими. Его применение ограничено лишь некоторыми познавательными ситуациями.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

 

1.  Степин В. С. Философская антропология и философия науки. М. , 1995.

2.  Степин В. С. Становление научной теории. Мн. , 1996.

3. Степин В. С. , Томильчик Л. М. Практическая природа познания и методологические проблемы современной физики. Мн. , 1990.

4.  Эвристическая роль математики в физике и космологии. Сборник научных трудов методологических семинаров ленинградских физико-математических институтов АН СССР. Л. , 1975.

5.  Степин В. С. , Елсуков А. Н. Методы научного познания. Мн. , 1998

6.  Свириденко В. М. Роль математичної гіпотези в пізнанні мікроявищ. Київ, 1992. Акунов А. А.

7.  Особенности познания в современной физике. Фрунзе, 1997.

8. Мандельштам Л. И. Лекции по оптике, теории относительности, квантовой механике. М. , 1982.

 9.    Вавилов С. И. Избранные сочинения, т. 3. М. , 1986.

10.   Ландау Л. Д. Собрание трудов, т. 1. М. , 1966.