Парная регрессия и корреляция

Наличие тенденции среднего уровня на графике становится более заметным, когда на нем отражены сглаженные значения исходных данных.

Процедура сглаживания необходима при построении некоторых математических моделей и для устранения аномальных наблюдений. Чаще всего для сглаживания применяются методы простой скользящей средней, взвешенной скользящей средней и экспоненциального сглаживания.

Традиционными показателями, характеризующими развитие экономических процессов, были и остаются показатели роста и прироста. Для характеристики динамики изменения экономических показателей все чаще используется понятие автокорреляции, которая характеризует не только взаимозависимость уровней одного и того же ряда, относящихся к разным моментам наблюдений, но и степень устойчивости развития процесса во времени, величину оптимального периода прогнозирования и т.п.

Второй, третий, четвертый и пятый этапы построения модели и прогноза по временным рядам рассмотрим на примере (задача 8).

4. Типичные примеры анализа моделей

Задача 1

Торговое предприятие имеет  сеть, состоящую из 12 магазинов, информация о деятельности которых представлена следующими данным¹ (табл. 3).

Таблица 3

№   мага-зина	Среднее   число посетителей в день,   тыс. чел, х	Годовой товарооборот, млн руб., у	№   мага-зина	Среднее   число посетителей в день,   тыс. чел, х	Годовой товарооборот,   млн руб., у
1	8,25	19,76	7	12,36	75,01
2	10,24	38,09	8	10,81	89,05
3	9,31	40,95	9	9,89	91,13
4	11,01	41,08	10	13,72	91,26
5	8,54	56,29	11	12,27	99,84
6	7,51	68,51	12	13,92	108,55

Задания:

1. Построить линейную модель y = b₀ + b₁x, параметры которой оценить методом наименьших квадратов.

2. Оценить тесноту и направление  связи между переменными с  помощью коэффициента корреляции, найти коэффициент детерминации и пояснить его смысл.

3. Проверить значимость уравнения  регрессии на 5%-м уровне по  
F-критерию, проверить значимость коэффициента регрессии по  
t-статистике.

Решение:

При анализе статистических зависимостей широко используются графические методы, которые задают направление его  дальнейшего анализа. В Excel для этого можно использовать средство Мастер диаграмм. Для создания диаграммы необходимо выделить данные, запустить мастер диаграмм, выбрать тип и вид диаграммы (для нашего примера тип диаграммы – Точечная), выбрать и уточнить ориентацию диапазона данных и ряда, настроить параметры диаграммы.

Для описания закономерностей в  исследуемой выборке наблюдений строится линия тренда.

Для добавления линии тренда в диаграмму  необходимо выполнить следующие  действия:

1) щелкнуть правой кнопкой мыши по ряду данных;

2) в динамическом меню выбрать команду Добавить линию тренда. На экране появится окно Линия тренда (рис. 2);

3) выбрать вид зависимости регрессии. Для нашего примера тип тренда определим, как Линейный;

4) перейти на вкладку Параметры. В поле Показать уравнение на диаграмме установить подтверждение;

5) в случае необходимости можно задать остальные параметры.

Изобразим полученную зависимость  графически точками координатной плоскости (рис. 2). Такое изображение статистической зависимости называется полем корреляции.

По расположению эмпирических точек можно предполагать наличие линейной корреляционной (регрессионной) зависимости между переменными х и у.

По данным табл. 2 найдем уравнение  регрессии у по х. Расчеты произведем в Excel по формулам (4) – (10), промежуточные вычисления представим в табл. 4.

Рис. 3. Поле корреляции

Таблица 4

N	X	Y	X*Y	X*X	Y*Y
1	8,25	19,76	163,02	68,0625	390,4576
2	10,24	38,09	390,0416	104,8576	1450,848
3	9,31	40,95	381,2445	86,6761	1676,903
4	10,01	41,08	411,2108	100,2001	1687,566
5	8,54	56,29	480,7166	72,9316	3168,564
6	7,51	68,51	514,5101	56,4001	4693,62
7	12,36	75,01	927,1236	152,7696	5626,5
8	10,81	89,05	962,6305	116,8561	7929,903
9	11,89	91,13	1083,536	141,3721	8304,677
10	13,72	91,26	1252,087	188,2384	8328,388
11	12,27	99,84	1225,037	150,5529	9968,026
12	13,92	108,55	1511,016	193,7664	11783,1
Сумма	128,83	819,52	9302,173	1432,684	65008,55
Среднее	10,73583333	68,2933	775,1811	119,3903	5417,38
Дисперсия	4,132174306	753,4001222	b1	10,163
Cov(x,y)	41,99527222		b0	-40,8149

Итак, уравнение регрессии у по х:

= -40,81 + 10,16x.

Из полученного уравнения регрессии  следует, что при увеличении среднего числа посетителей на 1 тыс. чел. годовой товарооборот увеличивается в среднем на 10,16 млн руб.

По исходным данным вычислим коэффициент  корреляции.

Расчеты произведем в Excel, промежуточные вычисления см. табл. 4 и формулы (11), (12).

= 0,753,

т.е. связь между переменными  достаточно тесная.

Оценим на уровне значимости a = 0,05 значимость уравнения регрессии у по х.

1-й способ. Используя данные табл. 5 вычислим необходимые суммы по формулам табл. 1:

= 9040,801 (см. столбец 6);

Q_R = = 5121,574 (см. столбец 7);

Q_e = Q - Q_R = 9040,801 – 5121,574 = 3919,228

По формуле (19)

F =

= 13,07.

По статистическим таблицам F-распределения F_0,05;1;10 = 4,96. Так как  
F > F_0,05;1;26, то уравнение регрессии значимо.

Таблица 5

N	X	Y	Yрег	Yi-Yрег	(Yi-Yср)^2	(Yрег-Yср)^2	(Xi-Xcp)^2
1	8,25	19,76	43,03	-23,2698	2355,484	638,2452	6,179367
2	10,24	38,09	63,254	-25,1642	912,2413	25,39306	0,245851
3	9,31	40,95	53,802	-12,8526	747,6579	209,9815	2,033001
4	10,01	41,08	60,916	-19,8367	740,5655	54,41484	0,526834
5	8,54	56,29	45,977	10,3129	144,08	498,0148	4,821684
6	7,51	68,51	35,509	33,0008	0,046944	1074,799	10,406
7	12,36	75,01	84,799	-9,7897	45,11361	272,4612	2,637917
8	10,81	89,05	69,047	20,0029	430,8392	0,568147	0,005501
9	11,89	91,13	80,023	11,1069	521,5133	137,588	1,332101
10	13,72	91,26	98,621	-7,3614	527,4678	919,7921	8,905251
11	12,27	99,84	83,886	15,9549	995,1922	243,102	2,353667
12	13,92	108,55	100,654	7,8960	1620,599	1047,213	10,13892
Сумма	128,83	819,52		0,00	9040,801	5121,574	49,58609
Среднее	10,736	68,293
b1	10,163
b0	-40,8149

2-й способ. Учитывая, что b₁ = 10,163, = 49,586  
(табл. 4), = =391,92 (табл. 1), по формуле (20)

t =

= 3,61.

По таблице t-распределения t_0,95;10 = 2,23. Так как t > t_0,95;26, то коэффициент регрессии b₁, а значит, и уравнение парной линейной регрессии значимо.

Найдем коэффициент детерминации и поясним его смысл. Ранее  было получено Q_R = 5121,574, Q = 9040,801. По формуле (22) = 0,5665 (или R² = r² = 0,753² = 0,95665). Это означает, что изменения зависимой переменной у – годовой товарооборот – на 56,7% объясняется вариацией объясняющей переменной х – численностью покупателей.

Задача 2.

При изучении зависимости  потребления материалов у от объема производства продукции х по 20 наблюдениям были получены следующие варианты уравнения регрессии:

1. у = 3 + 2х + е.

^(6,48)

2. lnу = 2,5 + 0,2lnx + e,  r² = 0,68.

^(6,19)

3. у = 1,1 + 0,8lnх + е,  r² = 0,69.

^(6,2)

4. у = 3 + 1,5х + 0,1х² + е, r² = 0,701.

^{(3,0) (2,65)}

В скобках указаны фактические значения t-критерия.

Задания:

1. Определите коэффициент детерминации для 1-го уравнения.

2. Запишите функцию, характеризующую зависимость у от х во 2-м уравнении.

3. Определите коэффициенты эластичности для каждого из уравнений для х₀ = 2,5 тыс. шт.

Решение:

1. Чтобы определить коэффициент  детерминации воспользуемся формулой (21).

 

Для уравнения парной линейной регрессии  коэффициент детерминации r² = 0,70.

2. Уравнение 2 – это степенная функция, к которой применили преобразование. В качестве преобразования выполнили логарифмирование. Чтобы записать функцию проведем обратные преобразования.

lnу = 2,5 + 0,2lnx + e Þ у = е^2,5 ∙ х^0,2 Þ у = 1,28х^0,2.

3. Чтобы рассчитать коэффициенты эластичности воспользуемся данными табл. 2. Результаты расчетов объединим в табл. 6.

Таблица 6

Вид функции

<span class="dash041e_0431_044b_04