Построение и анализ однофакторной и многофакторной эконометрической модели

 

По расчетам таблицы находим:

   

  

 

Находим средние квадратические отклонения:

 

Находим коэффициент парной корреляции:

 

 

Связь между у и х₁ – сильная; с увеличением х₁ признак у уменьшается.

Связь между у и х₂ – сильная; с увеличением х₂ признак у увеличивается.

Связь между х₁ и х₂ средняя, с увеличением х₁ признак х₂ уменьшается.

3. Находим коэффициент частичной корреляции.

Связь между ух₁ и х₁  слабая.

Связь между ух₁ и х₂  слабая.

Связь между х₁х₂ и у сильная.

4. Составим общий вид линейной модели в матричной форме.

 или в матричной форме.

 

Вводим следующие матрицы.

   

 

находим матрицу В.

Затем находим 

 Находим определитель матрицы х

Находим обратную матрицу:

Находим имеющие параметры

5. Находим коэффициент детерминации и множественный коэффициент корреляции.

   

Находим коэффициент множественной корреляции

т.е. 35,02% вариация результативного  признака у вызваны вариацией признаков факторов х₁ и х₂.

Находим множественный коэффициент  корреляции.

6. Проверим модель на адекватность по критерию Фишера.

, т.к.  , то линейная модель неадекватна реальной.

7. Находим точечный прогноз при и

8. Оценим качество модели по средней относительной ошибке апроксиляции.

 

 

 

 

х1	х2	у
32,5	81,6	2,08	2,3284	0,1194
33,4	79,4	1,99	2,3389	0,1753
37,8	69,5	1,96	2,3814	0,215
35,8	85,4	2,18	2,2435	0,029
34,2	84,3	1,91	2,2769	0,1421
37,2	71,4	2,37	2,3699	0,000042
38,2	78,1	1,92	2,2865	0,1909
39,4	90,8	2,15	2,2753	0,0583
37,2	92,1	2,41	2,3626	0,0197
315,7	712,6	18,97	20,86	0,999763
35,077	79,177	2,1077	2,31815	0,111085

Следовательно, линейная множественная модель имеет высокую точность прогноза.

9. Используя построенную линейную модель, рассчитаем экономические показатели:

I) средняя эффективность фактора х₁

т.е. при условии, что  , то средняя эффективность фактора х₁ равна 0,066 ден. ед.

ІІ) средняя эффективность фактора х₂

т.е. при условии, то , то средняя эффективность фактора х₂ равна 0,0293 ден. ед.

ІІІ) Предельная эффективность факторов х₁ и х₂

IV) мера эффективности использования факторов.

V) находим эластичности е₁ и е₂ функции у.

- n₀ x₁ 

- n₀ x₂ 

VI) находим суммарную эластичность функции у

т.е. при одновременным  движении факторов х₁ и х₂ на 1% признак у уменьшится на 0,5622%.

 

Задание 3

 

Исследование  наличия мулътиколлинеарности по алгоритму  Феррара-Глобера

Предположим, что на  уровень рентабельности предприятий общественного питания Iвлияют такие показатели хозяйственной деятельности: относительный уровень затрат оборота(%), Iчасть продукции собственного производства (%). и численность сотрудников в расчете на I тыс. грн.. товарооборота (чел.).

Чтобы построить  эконометрическую модель этой зависимости  по методу 1МНК, необходимо быть уверенным, что между факторами относительного уровня  затрат оборота, частью собственной продукции и трудоемкостью не существует мультиколлинеарности. Проследить наличие

мультиколлинеарности  между этими факторами по данным о десяти предприятиях общественного питания города  Для решения задачи использовать алгоритм Феррара-Глобера.

Алгоритм  Феррари-Глобера.

Шаг 1 Стандартизация переменных.

Шаг 2. Нахождение корреляционной матрицы R.

Шаг 3. Критерий      X

Шаг 4. Нахождение матрицы С, обратной к матрице R.

Шаг 5. F- критерий Фишера.

Шаг 6. Нахождение коэффициентов частичной корреляции.

 Шаг 7. I- критерий Стьюдента.

 

 

 

 

 

Задание № 3

 

у	х1	х2	х3
2,85	8	0,4	3,4
1,15	4	0,2	1,6
1,8	5	0,3	2,8
3,35	9	0,2	4
1,3	4	0,3	2,4
1,76	5	0,18	1,4
4,5	12	0,3	6,6
0,95	3	0,2	1,7
2,9	8	0,3	3,6
3,425	9	0,15	3,2
24,185	6,7	2,63	30,7

Решение

1. По исходной таблице находим:

     

Находим дисперсии, используя расчетную  таблицу.

1,3 -2,7 -1,7 2,3 -2,7 -1,7 5,3 -3,7 1,3 2,3	0,137 -0,063 0,037 -0,063 0,037 -0,083 0,037 -0,063 0,037 -0,013	0,33 -1,47 -0,27 0,93 -0,67 -1,67 3,73 -1,37 0,53 0,13	1,69 7,29 2,89 5,29 7,29 2,89 28,09 13,69 1,69 5,29	0,018769 0,003969 0,001369 0,003969 0,001369 0,006889 0,001369 0,003969 0,001369 0,000169	0,1089 2,1609 0,0729 0,8649 0,4489 2,7889 12,4609 1,8769 0,2809 0,0169	0,149 -0,3095 -01949 0,2637 -0,3095 -0,1949 0,6076 -0,4241 0,149 0,2637	0,659 -0,303 0,178 -0,303 0,178 -0,3992 0,178 -0,303 0,178 -0,0625	0,0719 -0,32016 -0,0588 0,2026 -0,1459 -0,1637 0,769 -0,2984 0,1154 0,0283
			76,1	0,04321	21,081

 

 

 

 

 

 

 

Находим корреляционную матрицу

 

 

 

 

 

т.е. коэффициенты парной корреляции будут равны:

 - между х₁ и х₂ слабая связь

 - между х₁ и х₃ самая сильная связь

 - между х₂ и х₃ слабая связь

3. Затем используем метод Феррара-Глобера, чтобы узнать связаны ли переменные х₁ х₂ х₃ мультиколлинеарностью, находим

 

находим критерий х²

критическое значение критерия х² при уровне значимости α=0,05 и числу степеней свободы

т.к. х²>х²_кр, то между переменными х₁ х₂ х₃ присутствует мультиколлинеарность

4. Находим матрицу обратную К

5. Используя диагональные элементы матрицы С находим F критерии.

 

Находим критическое значение критерия F_кр при уровне значимости α=0,05 и R₁=7 R₂=2

F_кр(0,05:7:2)=4,74

F₁>F_кр F₂<F_кр F₃>F_кр

Значит переменные x₁ и x₃ мультиколлинеарны.

6. Для проверки наличия корней мультиколлинеарности находим частные коэффициенты корреляции.

7. Находим t-критерии

Находим критическое значение критерия t при α=0,05 и t=n-m=7

t_кр(0,05:7)=2,36

   

х₁ и х₂ – нет мультиколлинеарности

х₂ и х₃ – нет мультиколлинеарности

х₁ и х₃ - присутствует мультиколлинеарность

Следовательно фактор х₃ можно исключить из рассматриваемой модели.

 

Задание 4

Дать развернутый  ответ на теоретический вопрос (по указанию преподавателя):

1. Для нелинейной регрессии - показательной и квадратической указать метод вычисления оценок параметров; привести расчетные формулы оценок параметров и эластичности функции; построить графики и привести примеры использования в экономических моделях.

 

Ответ

1. Для уравнения квадратичной нелинейной регрессии  имеем:

 

Параметры этого уравнения  находим , используя метод наименьших квадратов. Решаем систему уравнений.

 

 

 

 

 

 

 

Решая эту систему  находим a_{1  ,}  a₂   и  a₃ . 

 

 

2. Для уравнения показательной регрессии имеем

 

параметры a    и b

находим следующим образом:

 

 

log y= log a + x log b      log a=A logb =B

 

log y = A+Bx

 

 

 

 

 

 

Решая систему уравнений  находим параметры А и В , а  затем параметры а и b

 

Пример для квадратичной  нелинейной регрессии это связь  стажа работы и производительности труда. Теоретически с ростом стажа уровень производительности труда повышается, а затем с каждым годом производительность труда начинает уменьшаться.

Пример

Х - стаж, у - производительность труда.

 

 

Стаж - х	Проивод. труда  - у
1	7
3	17
6	16
8	29
12	26

 

 

 

 

Показательной зависимостью связаны:

Х - размер денежного дохода и у - удельный вес расходов на питание.

 

х	у
26	32
31	44
32	49
34	46
36	41
40	44
44	43