Построение множественной эконометрической модели

 

Расчетное значение критерия сравниваем с критическими для n=15 b k=3: d_L =0,82, d_U=1,75 и делаем вывод об отсутствии автокорреляции остатков.

Мультиколлинеарность означает тесную линейную взаимосвязь между независимыми переменными модели. Если некоторые или все независимые переменные во множественной регрессии связаны сильной корреляционной зависимостью (мультиколлинеарны), то регрессионная модель не в состоянии разграничить их отдельные объясняющие воздействия на Y.

При мультиколлинеарности часто возникает противоречие между величиной и значимостью коэффициента детерминации и статистической надежностью коэффициентов регрессии. Так,  значение  коэффициента детерминации может быть высоким, и величина F-критерия подтверждает значимость коэффициента детерминации, следовательно, и уравнения регрессии в целом; в то же время  стандартные ошибки оценок параметров модели высоки, и поэтому соответствующие t-статистики свидетельствуют о ненадежности  этих коэффициентов.

Для выявления  мультиколлинеарности можно использовать критерий Фаррара-Глобера, включающего следующие шаги.

1. Определение корреляционной матрицы объясняющих переменных R, элементами которой являются коэффициенты парной линейной корреляции между независимыми переменным.
2. Определение критерия c²:

c² =  – ,

где - определитель корреляционной матрицы R.

Полученное  значение критерия c² сравнивается с табличным при степенях свободы и уровне значимости a. Если c²_факт > c²_табл, то в массиве независимых переменных существует мультиколлинеарность. (Табличные значения критерия c²  можно найти в Excel.)

3. Вычисление обратной матрицы:

С = R^-1 .

4. Расчет F-критериев:

, 

 

где  - диагональные элементы матрицы С.

 Фактические  значения критериев сравнивают с табличными  значениями  при n₁ = p – 1,  n₂ = n – p степенях свободы и уровне значимости a.  Если F_j > F_табл, то соответствующая i-я независимая переменная мультиколлинеарна с остальными. (Табличные значения критерия F   можно найти в  Excel.)

5. Определение частных коэффициентов корреляции:

 

,

где   – элемент матрицы С, расположенный в j-й строке и к-м столбце;   и - диагональные элементы матрицы С.

6. Вычисление t-критериев:

.

 

Фактические значения t-критериев сравнивают с табличными при n – p  степенях свободы и уровне значимости a.  Если , то между объясняющими переменными Х_k и X_j  существует мультиколлинеарность. (Табличные значения критерия  t   можно найти в Excel.)

 Пример применения  алгоритма Фаррара-Глобера рассмотрим  в следующем разделе.

В соответствии с алгоритмом Фаррара-Глобера выполним исследование на мультиколлинеарность факторов, влияющих на уровень производительности труда, поскольку при анализе модели производительности труда выявилось, что при статистической надежности коэффициента детерминации (и модели в целом)  имеются незначимые оценки параметров.

Для решения  используем стандартные функции Excel.

Получим корреляционную матрицу, используя программу функцию Корреляция, в результате выводится нижний треугольник корреляционной матрицы, которая, как известно, является симметричной:

R	Х1	Х2	Х3
Х1	1,000	0,992	0,974
Х2	0,992	1,000	0,985
Х3	0,974	0,985	1,000

 

Элементы этой матрицы   r_кj – парные коэффициенты корреляции между факторами X _k и X_j  (k,j =1,2,3).

Найдем определитель корреляционной матрицы с помощью  функции МОПРЕД в категории Математические:

½R½= 0,00045.

Поскольку определитель близок к нулю, то в массиве объясняющих переменных может существовать мультиколлинеарность.

     

Вычислим критерий c²:           

c² = -(15-1-1/6*(2*3+5))*LN(0,00045) = 93,757.

Найденное значение  c²  сравниваем с табличным значением c²_табл = 12,59, которое находим в таблице «Процентили c²»  при  степенях свободы и уровне значимости a = 5%. Табличное значение c² имеется в категории Статистические Мастера функций Excel, функция  ХИ2ОБР.

Поскольку  c²_факт > c²_табл, то имеется мультиколлинеарность.

Вычислим F-критерии, для чего найдем матрицу С, обратную к матрице корреляций R. Обращение матрицы можно выполнить и применением Excel/Математические/МОБР:

 

C=Rобр=	65,130	-72,712	8,221
	-72,712	115,289	-42,787
	8,221	-42,787	35,150

 

F1=	384,778
F2=	685,737
F3=	204,900
Fkp=	3,885

 

 

Вычисленные F-критерии сравниваем с табличным значением F_табл = 3,885.  Так как все F_j > F_табл, то каждая из объясняющих переменных мультиколлинеарна с остальными.

 

Определим коэффициенты частной парной корреляции для каждой пары переменной:

 

r12=	0,839
r13=	-0,172
r23=	0,672

 

Определим t-критерии для определения взаимосвязанных пар.

 

t12=	5,344
t13=	-0,604
t23=	3,145
tkp=	2,201

 

 

Вычисленные t-критерии сравниваем с табличным значением, которое при числе степеней свободы  15-3=12 и уровне значимости a = 5% составляет 2,201.  Поскольку t₁₂ > t_табл и t₂₃ > t_табл, то факторы Х₁ и Х₂, а также Х₂ и Х₃  составляют мультиколлинеарные пары.

Таким образом, показатели фондовооруженности труда  и коэффициент текучести кадров мультиколлинеарны; также слишком тесной линейной зависимостью связаны между потери рабочего времени и коэффициент текучести кадров.

Существуют  различные подходы для преодоления  сильной межфакторной мультиколлинеарности. Наиболее простым способом является не включение в модель оной из переменных мультиколлинеарной пары. Однако, часто удаление из модели некоторого фактора противоречит логике экономических связей. Тогда можно некоторым образом преобразовать объясняющие переменные:

1. взять отклонения от средней;
2. вместо абсолютных значений взять относительные;
3. стандартизовать объясняющие переменные и т.д.

При наличии  мультиколлинеарности переменных следует  обращать внимание и спецификацию модели. Иногда замена одной функции другою, если это не противоречит априорной информации, дает возможность избежать мультиколлинеарности.

Если же ни один из способов не дает возможности избавиться от мультиколлинеарности, то параметры  модели следует оценивать методом главных компонент.

4. Осуществить прогноз производительности труда на следующие четыре месяца

Одна  из важнейших целей моделирования  заключается в прогнозировании поведения исследуемого объекта. Обычно термин «прогнозирование» используется в тех ситуациях, когда требуется предсказать состояние системы в будущем.

Прогнозирование по построенной многофакторной линейной эконометрической модели осуществим, используя функцию ТЕНДЕНЦИЯ(Y;X1;X2;X3). Результат:

 

Ypr=

47,071

 

 

Таким образом, в задаче по заданным исходным данным была построена множественная линейная эконометрическая модель; оценены статистические оценки параметров модели и рассчитаны критерии ее качества; осуществлена проверка модели на мультикорллинеарность, гетероскедастичность и автокорреляцию остатков. По результатам построения модели было рассчитано прогнозное значение производительности труда, исходя из прогнозных значений влияющих на нее факторов.

 

ЗАДАНИЕ 2

 

Використовуючи  дані табл. 9.2, побудувати економетричну  модель попиту та пропозиції на основі системи одночасових структурних рівнянь непрямим методом найменших квадратів і двокроковим методом найменших квадратів. Порівняти моделі, отримані НМНК і 2МНК. обчисліть еластичність попиту та пропозиції залежно від ціни для середніх значень цих змінних.

Варіант 1

                                                                                            Таблиця 9.2

Номер спостереження	Рівноважна  кількість споживання продукту на душу населення	Ціна за одиницю  продукту	Дохід на душу населення	Затрати на виробництво  одиниці продукту
1	55	5	100,0	20
2	57	6	110,0	22
3	56	7	112,0	20
4	59	8	115,0	25
5	51	9	120,0	20
6	58	10	135,0	15

 

Решение.

Введем фиктивную переменную при свободном члене уравнения, тождественно равную 1 и введем обозначения:

Y_1t  -  показатель равновесного количества потребления на душу населения;

Y_2t  -  доход на душу населения;

X_1t  - фиктивная переменная при свободном члене уравнения, тождественно равная 1;

X_2t -   цена за единицу продукта;

X_3t -   затраты на производство единицы продукта,

е _{i t} - остатки уравнений,  являющиеся  реализациями  случайных  составляющих модели,  или возмущений.

Для построения модели выдвинем гипотезы о взаимозависимости исследуемых показателей. Для этого проанализируем матрицу коэффициентов корреляции между ними:

	Y1	X1	X2	Y2
Y1	1,000	0,000	0,151	0,151
X1	0,000	1,000	-0,420	0,950
X2	0,151	-0,420	1,000	-0,570
Y2	0,151	0,950	-0,570	1,000

 

Исходя из полученных значений коэффициентов корреляции и учитывая экономический характер показателей, предполагаем взаимосвязь  показателей:

1. показатель равновесного количества потребления на душу населения будет зависеть от доходов на душу населения и затрат на производство единицы продукта;
2. доход на душу населения будет зависеть от потребления на душу населения и цены за единицу продукции.

В соответствии с этим построим уравнения исходной модели:

 

                         Y_1t = a₁₂Y_2t+b₁₁X_1t + b₁₂X_2t+ b₁₃X_3t +e_1t , причем b₁₂=0,

                          Y_2t = a₂₁Y_1t+b₂₁X_1t+ b₂₂X_2t+b₂₃X_3t + e_2t , причем b₂₃=0                       

Уравнения, составляющие исходную модель, называются структурными уравнениями модели.