Системы массового обслуживания

      (3.6)

7. Коэффициент простоя обслуживающих устройств

     (3.7)

8. Коэффициент занятости

      (3.8)

9. Относительная пропускная способность будет равна

    (3.9)

10. Абсолютная пропускная способность –

        (3.10)

11. Среднее число требований, находящихся в очередях

 (3.11)

12. В случае если , эта формула принимает другой вид –

13. Среднее число требований, находящихся в системе

        (3.12)

14. Среднее время ожидания требования в очереди

 (3.13)

Среднее время  ожидания в очереди определяется формулами Литтла –

Среднее время  пребывания заявки в СМО, как и  для одноканальной СМО, больше среднего времени ожидания в очереди на среднее время обслуживания, равное , поскольку заявка всегда обслуживается только одним каналом:

 

Пример 1. Автозаправочная станция (АЗС) с двумя колонками (n=2) обслуживает прибывающие машины. Поток машин имеет интенсивность машин в минуту; среднее время обслуживания одной машины . Площадка у АЗС может вместить не более m=3 машин. Машина, прибывшая в момент, когда все три места в очереди заняты, покидает АЗС (получает отказ).

Найти:

1. Вероятность отказа.

2. Относительную  и абсолютную пропускные способности.

3. Среднее число  машин в очереди.

4. Среднее время  ожидания машин в очереди.

 

Решение.

Имеем

По формуле (3.2) находим 

Тогда вероятность  отказа равна

Относительная пропускная способность 

Абсолютная  пропускная способность 

Среднее число  машин в очереди находим по формуле (3.11)

Среднее время  ожидания машины в очереди находим по формуле (3.13)

 

3.2 Одноканальная СМО с ограниченной длиной очереди

Описание такой  системы сводится к предыдущему  пункту при n=1. Граф такой системы имеет вид, представленный на рис. 3.2

Рисунок 3.2 – Граф состояний одноканальной СМО с ограничением на длину очереди m

Из (3.1) следует, что   (3.14)    и (3.15)

 

Основные  характеристики системы:

1. Вероятность  того, что система обслуживающее устройство свободно, равна .

2. Вероятность  того, что обслуживающее устройство  занято, равно  .

3. Вероятность  того, что устройство занято и  требований ожидают в очереди, равна .

4. Вероятность  отказа равна  .

5. Относительная  пропускная способность, равна .

6. Абсолютная пропускная способность равна .

7. Среднее число  требований, ожидающих в очереди, равно

.

8. Среднее время  ожидания и очереди равно .

 

Пример 2. Рассмотрим пример 1 в случае, когда на АЗС имеется только одна колонка (n=1). Тошда

Так как  то

Относительная пропускная способность ;

Абсолютная  пропускная способность 

Среднее число  машин в очереди равно

Среднее время  ожидания в очереди

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

За последние годы область применения математических методов теории массового обслуживания непрерывно расширяется и все больше выходит за пределы задач, связанных с "обслуживающими организациями" в буквальном смысле слова. Как своеобразные системы массового обслуживания могут рассматриваться: электронные цифровые вычислительные машины; системы сбора и обработки информации; автоматизированные производственные цехи, поточные линии; транспортные системы; системы противовоздушной обороны и т. д.

Близкими к задачам теории массового обслуживания являются многие задачи, возникающие при анализе надежности технических устройств.

Возможность применения теории принятия решений в системах массового обслуживания определяется следующими факторами:

1. Количество заявок в системе (которая рассматривается как СМО) должно быть достаточно велико (массово).
2. Все заявки, поступающие на вход СМО, должны быть однотипными.
3. Для расчетов по формулам необходимо знать законы, определяющие поступление заявок и интенсивность их обработки. Более того, потоки заявок должны быть Пуассоновскими.
4. Структура СМО, т.е. набор поступающих требований и последовательность обработки заявки, должна быть жестко зафиксирована.
5. Необходимо исключить из системы субъектов или описывать их как требования с постоянной интенсивностью обработки.

К перечисленным выше ограничениям можно добавить еще одно, оказывающее  сильное влияние на размерность  и сложность математической модели.

6. Количество используемых приоритетов должно быть минимальным. Приоритеты заявок должны быть постоянными, т.е. они не могут меняться в процессе обработки внутри СМО.

В ходе выполнения работы была достигнута основная цель – изучен основной материал, то есть характеристики, задачи, предмет СМО,  а также рассмотрели одноканальные и многоканальные СМО с ограниченной длиной очереди.

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

 

1. Фомин, Г. П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности / Г. П.  Фомин. – М.: Финансы и статистика, 2001.

2. Вентцель, Е. С. Теория вероятностей и её инженерные приложения / Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. – М: Наука, 1988.

3. Вентцель, Е. С. Исследование операций / Е. С. Вентцель. – М.: Наука, 1980.

4. Лифшиц, А. Л. Статистическое моделирование СМО / А. Л. Лифшиц. – М., 1978.

5. Советов, Б. А. Моделирование систем / Б. А. Советов, С. А. Яковлев. – М.: Высшая школа, 1985.

6. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В. Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 2001.