Транспортная задача

ТРАНСПОРТНАЯ  ЗАДАЧА

          В различных местах оправки имеется однородный груз, который требуется доставить в несколько пунктов назначения. Известно, сколько груза отправляется из каждого пункта и сколько груза должно поступить в пункт назначения. Причём безразлично, какой именно отправитель будет доставлять груз тому или иному получателю. Требуется так организовать перевозки, чтобы обеспечить минимальный общий пробег груза, т. е. минимизировать затраты на транспортировку. Экономико-математическая модель транспортной задачи представляется обычно в виде транспортной таблицы или матрицы

Рисунок 1. Экономико-математическая модель транспортной задачи

Условия задачи в принятых обозначениях следующие. 

1. Каждый поставщик должен дать ровно столько продукции, столько у него есть, т. е. сумма поставок по каждой строке должна будет равна мощности a_i этой строки:

.                                      

 

 

start="2"

 Каждый потребитель должен получить ровно столько продукции, сколько  ему требуется, т. е. сумма поставок по каждому столбцу должна будет  равна спросу b_i этого столбца:

.

3. Из вышеприведённых условий следует:

.

       В случае если , то транспортная задача линейного программирования называется открытой. Если , то это несбалансированная задача с дефицитом. Если , то это несбалансированная задача с избытком.

         Чтобы определить суммарные затраты на перевозки, достаточно просуммировать произведения объёмов каждой поставки на соответствующие им удельные затраты на транспортировку. План будет оптимальным, если эта сумма (целевая функция F) будет сведена к минимуму:

.

 

 

 

 

Исходные данные для решения транспортной задачи

Вариант №4

Таблица 1

Производственные  мощности предприятий

Пункты производства Ai	Мощности ai по производству запасных частей в тоннах по вариантам
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
A1	490	500	550	670	1000	450	670	540	640	570
A2	380	350	690	500	390	600	300	760	290	930
A3	600	640	370	850	740	840	880	580	850	810
A4	750	850	950	450	600	760	490	670	700	350
A5	800	700	450	620	520	620	750	450	580	490

 

Таблица 2

Потребности в  запасных частях

Пункт потребления	Потребности bj пунктов потребления по вариантам, т
	1	2	3	4	5	6
B1	170	340	140	190	180	360
B2	230	190	330	340	140	410
B3	260	220	520	150	360	230
B4	310	300	120	380	170	390
B5	120	210	390	420	300	100
B6	350	360	250	170	110	250
B7	290	320	100	310	320	310
B8	270	460	310	250	470	350
B9	400	250	430	390	490	220
B10	360	100	140	110	160	100

 

 

Таблица 3

Исходные данные для построения транспортной сети

Номера узлов	1–2	1–3	1–4	2–3	2–6	2–10	3–5	3–7	3–8	4–5
Расстояние, км	110	75	90	160	69	130	150	170	130	98
Номера узлов	5–8	5–9	6–7	6–10	7–8	7–11	8–9	8–12	9–12	9–13
Расстояние, км	49	112	125	98	117	135	100	95	110	113
Номера узлов	10–11	10–14	11–12	11–14	12–13	12–15	13–15	14–15	14–16	15–16
Расстояние, км	95	117	150	105	190	170	200	140	79	130

 

Таблица 4

Исходные данные для размещения пунктов отправления  
и назначения на транспортной сети

Вари- ант	Номера узлов  размещения  мощностей – индексы i					Номера узлов  размещения потребителей – индексы j
1	1	8	10	13	16	2	3	5	6	7	9	11	12	14	15
2	3	5	6	13	14	1	2	4	7	8	9	10	11	12	16
3	2	4	7	9	15	3	5	8	6	10	11	12	13	14	16
4	1	5	6	11	16	2	3	7	8	9	10	12	13	14	15

 

     Удельные затраты на производство рассчитываются по формуле, руб.,

.

      Расчет минимальных транспортных затрат между пунктами производства и потребления осуществляется по формуле, руб.,

.

где е – расходная ставка на 10 ткм. Для рассматриваемого рода груза принимается равной 4 руб.; L – минимальное расстояние, рассчитываемое для заданного полигона между пунктами производства и потребления, км.

 

 

Решение транспортной задачи

1. Постановка задачи и формулировка экономико-математической модели в соответствии с заданной размерностью.
2. Определение показателей производственных мощностей. Величины мощностей берутся из табл. 1, а производственные затраты рассчитываются по формуле:

Таблица 5

Производственные  мощности и затраты

		В1	В2	В3	В4	В5	В6	В7	В8	В9	В10	Вфикт
		190	340	150	380	420	170	310	250	390	110	380
А1	670	103,8	102,5	96,9	86,8	71,5	109,4	86,8	97,9	88,9	94,9
А2	500	122,1	129,1	85,4	102,5	120,0	92,2	143,8	81,3	147,4	73,8
А3	850	92,2	88,9	124,3	77,0	82,4	77,4	75,7	93,9	77,0	78,8
А4	450	81,8	77,0	73,1	109,4	92,2	81,3	103,8	86,8	84,8	129,1
А5	620	79,3	84,8	109,4	90,5	100,1	90,5	81,8	109,4	93,9	103,8

 

3.Расчет затрат на транспортировку единицы запасных частей между пунктами производства и потребления выполняется в следующем порядке: по данным табл. 3 строится схема рассматриваемого полигона железных дорог – транспортная сеть. Далее на полученной транспортной сети по соответствующему варианту выделяются узлы, в которых размещены производственные мощности и потребители запасных частей. Затем по сети рассчитываются кратчайшие расстояния между каждым пунктом производства и потребления.

Результаты расчета  заносятся в таблицу.

Затраты на транспортировку  рассчитываются по формуле    в таблице аналогичной формы.

Таблица 5

Кратчайшие  расстояния и затраты на транспортировку

Исходные данные			2	3	7	8	9	10	12	13	14	15
			В1	В2	В3	В4	В5	В6	В7	В8	В9	В10	Вфикт
			190	340	150	380	420	170	310	250	390	110
1	А1	670	110	75	245	205	300	240	300	413	357	470
5	А2	500	310	150	166	49	112	389	144	150	406	314
6	А3	850	69	229	125	242	342	98	337	300	215	438
11	А4	450	225	305	135	245	260	95	150	340	105	245
16	А5	620	326	489	319	395	410	196	300	330	79	130
Расчет затрат по формуле			2	3	7	8	9	10	12	13	14	15
			В1	В2	В3	В4	В5	В6	В7	В8	В9	В10	Вфикт
			190	340	150	380	420	170	310	250	390	110
1	А1	670	44	30	98	82	120	96	120	165,2	142,8	188
5	А2	500	124	60	66,4	19,6	44,8	155,6	57,6	60	162,4	125,6
6	А3	850	27,6	91,6	50	96,8	136,8	39,2	134,8	120	86	175,2
11	А4	450	90	122	54	98	104	38	60	136	42	98
16	А5	620	130,4	195,6	127,6	158	164	78,4	120	132	31,6	52