Уравнение состояния. Термодинамический процесс

В основу вывода положен закон  сохранения энергии, согласно которому вся теплота, выделенная внутренними  источникамиdQ_вн и внесенная извне в элементарный объем путем теплопроводности dQ_m за время dτ, идет на изменение внутренней энергии вещества, содержащегося в этом объеме:

.

(9.10)

 

Выделим в теле элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz (рис. 9.1). Количество теплоты, которое проходит путем теплопроводности внутрь выделенного объема в направлении оси ОX через элементарную площадку dy·dz за время dτ:

Рис. 9.1. К выводу дифференциального  уравнения теплопроводности

.

 
 

 

 

 

На противоположной грани  параллелепипеда температура получит  приращение   и будет составлять  .

Количество тепла, отведенного  через эту грань:

.

Разница количества теплоты, подведенного к элементарному параллелепипеду  и отведенного от него, представляет собой теплоту, внесенную путем  теплопроводности в направлении оси ОX:

.

 

Аналогично:

.

 

Полное количество теплоты  внесено в элементарный параллелепипед путем теплопроводности

 

.

 

Здесь произведение dx·dy·dz представляет собой объем элементарного параллелепипеда dv. Количество теплоты, которое выделилось в элементарном объеме за счет внутренних источников:

.

 

Приращение внутренней энергии  можно выразить через массу параллелепипеда ρ·dv, теплоемкость с и приращение температуры  :

.

 

Подставляя выражения  для dQ_m, dQ_вн и dU в уравнение (9.10), после соответствующих сокращений получаем:

.

(9.11)

 

Сумма вторых частных производных  любой функции в математическом анализе носит название оператора Лапласа и обозначается следующим образом:

.

 

Величину   называют коэффициентом температуропроводности и обозначают буквой a. В указанных обозначениях уравнение (9.11) примет вид:

.

(9.12)

 

Это уравнение называется дифференциальным уравнением теплопроводности или уравнением Фурье и лежит  в основе математической теории теплопроводности. Коэффициент температуропроводности a является физическим параметром вещества. Из уравнения (9.12) следует, что изменение температуры во времени для любой точки тела пропорционально величине a.

 

9.4.2.Краевые условия

Дифференциальное уравнение (9.12) описывает в самом общем  виде все без исключения задачи теплопроводности. Для решения конкретной задачи необходимо к дифференциальному уравнению  присоединить математическое описание частных ее особенностей. Эти дополнительные данные, которые характеризуют конкретное единичное явление, называются краевыми условиями, или условиями однозначности.

Существуют различные  условия однозначности: геометрические — характеризующие форму и  размеры тела, в котором протекает  процесс теплопроводности; физические — характеризующие физические свойства тела; временные — характеризующие распределение температуры тела в начальный момент времени; граничные — характеризующие взаимодействие тела с окружающей средой. Граничные условия в свою очередь бывают трех родов:

1) первого рода, задается  распределение температуры на  поверхности тела в функции  времени;

2) второго рода, задается  плотность теплового потока для  всей поверхности тела в функции  времени;

3) третьего рода, задаются  температура окружающей среды t_ж и закон теплоотдачи между поверхностью тела и окружающей средой — закон Ньютона—Рихмана:

,

(9.13)

 

где t_c — температура поверхности тела; α — коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом теплоотдачи, Вт/(м²·К). Коэффициент теплоотдачи численно равен количеству теплоты, отдаваемому или воспринимаемому единицей поверхности в единицу времени при разности температур между поверхностью тела и окружающей средой в один градус. Этот коэффициент учитывает все особенности явлении теплообмена, происходящие между поверхностью тела и окружающей средой. Плотность теплового потока, передаваемого от поверхности тела в окружающую среду,

.

(9.14)

 

Согласно закону сохранения энергии, эта теплота равна теплоте, подводимой к поверхности изнутри  тела путем теплопроводности:

.

 

Переписав последнее уравнение  в виде:

,

(9.15)

 

получаем математическую формулировку граничных условий  третьего рода. В результате решения  дифференциального уравнения теплопроводности совместно с условиями однозначности  можно найти температурное поле, а на основании закона Фурье —  соответствующие тепловые потоки.

 

9.4.3.Теплопроводность через  плоскую стенку при граничных  условиях первого рода

Рис. 9.2. Однородная плоская стенка

Рассмотрим однородную плоскую  стенку толщиной δ (рис. 9.2). На наружных поверхностях стенки поддерживаются постоянные температуры t_с1 и t_с2. Коэффициент теплопроводности стенки постоянен и равен λ. При стационарном режиме ( ) и отсутствии внутренних источников теплоты (q_v=0) дифференциальное уравнение теплопроводности примет вид:

.

(9.16)

 
 

При заданных условиях температура  будет изменяться только в направлении, перпендикулярном плоскости стенки (ось Оx). В этом случае

,

 
 

и дифференциальное уравнение  теплопроводности перепишется в  виде:

.

(9.17)

 

Граничные условия первого  рода запишутся следующим образом: при x=0 t=t_c1; при x=δ t=t_c2. Интегрируя уравнение (9.17), находим

.

 

После второго интегрирования получаем

.

(9.18)

 

Постоянные С₁ и С₂ определим из граничных условий: при x=0 t=t_c1, С₂=t_c1; при x=δ t=t_c2=С₁·δ+t_c1, отсюда  . Подставляя значения С₁ и С₂ в уравнение (9.18), получим уравнение распределения температуры по толщине стенки:

.

(9.19)

 

Для определения плотности  теплового потока, проходящего через  стенку в направлении оси Оx, воспользуемся законом Фурье, согласно которому  .

Учитывая, что  , получим

.

(9.20)

 

Общее количество теплоты, которое  передается через поверхность стенки F за время τ,

.

(9.21)

 

Отношение   называют тепловой проводимостью стенки, обратную ей величину   - термическим сопротивлением теплопроводности. Поскольку величина λ зависит от температуры, в уравнения (9.20), (9.21) необходимо подставить коэффициент теплопроводности λ_с, взятый при средней температуре стенки.