Экономико-математические методы и прикладные модели

Министерство  Образования и Науки Российской Федерации

Федеральное агентство  по образованию ГОУ ВПО

Всероссийский заочный финансово-экономический  институт

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

 «Экономико-математические методы и прикладные модели»

 

Вариант №2

 

 

Студент :       Морщинин Д.Н

Факультет :            3 курс, ФНО

Преподаватель: Черномордик В.Д. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ярославль 2012

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 1

Решить  графическим методом типовую  задачу оптимизации

  Совхоз для кормления животных использует два вида корма. В дневном рационе животного должно содержаться не менее 6 единиц питательного вещества А и не менее 12 единиц питательного вещества В. Какое количество корма надо расходовать ежедневно на одно животное, чтобы затраты были минимальными? Использовать данные таблицы.

 

Питательное вещество	Количество питательных  веществ в 1 кг корма
	1	2
А	2	1
В	2	4
Цена 1 кг корма, тыс. руб.	0,2	0,3

 

Построить экономико-математическую модель задачи,  дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?

 

Решение:

 

1) Построение экономико-математической модели задачи

Введем переменные : X₁- количество корма 1, X₂ - количество корма 2 (в кг).

Целевая функция в данном случае затраты на корма обоих видов. Требуется найти такое распределение кормов обоих видов, чтобы суммарные затраты на покупку кормов были минимальны. При этом значения переменных должны находиться в области допустимых решений.

Целевая функция  задачи :

 f(x) = 0,2X₁ + 0,3Х₂

Найдём минимум  целевой функции.

Область допустимых решений (ОДР) задачи, согласно условию:

 

≥6

≥12

х_1,2≥0

2) Построим область  допустимых решений (ОДР) задачи.

Условия неотрицательности  переменных означают, что область решений будет лежат в первой четверти Декартовой системы координат.

Функциональные  ограничения (неравенства) определяют область, являющуюся пересечением нижних полуплоскостей с граничными прямыми и осями координат :         

 

                    2X₁  + Х₂ = 6

               2X₁ + 4Х₂ = 12

Пересечение указанных полуплоскостей в первой четверти представляет собой область АВС (заштрихованная область для всех ограничений задачи ОДР).

3) Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент, соединив его вершину с началом координат О (0, 0). Строим градиент функции - вектор, показывающий направление возрастания функции f(x).

С=grad(f)= (δf/δx₁; δf/δx₂) = ( 0,2; 0,3)

4) Построим некоторую линию уровня .

Пусть, например, а = 0. На эскизе такой линии уровня отвечает прямая ОХ, перпендикулярная вектор-градиенту.

0,2 X₁+ 0,3 X₂ = 0

5) При максимизации целевой функции (ЦФ) необходимо перемещать линию уровня ОХ в направлении вектор - градиента, а при минимизации - в противоположном направлении. Предельной точкой при таком движении линии уровня ОХ является точка В - крайняя точка (вершина) ОДР (по - другому называемой многоугольником планов). Далее она (линия уровня) уже не пересекает единственную точку ОДР (так как область неограниченна сверху).

6) Определим координаты точки В, являющейся точкой пересечения граничных прямых, решив систему уравнений:

                                      2*X₁+ Х₂=6

                                    2*X₁ + 4*Х₂ = 12

Точка 0( 0; 0 ) - точка начала координат.

Получаем  точку В (2; 2) - вершину многоугольника (сектора) планов.

7) Точка В является так называемым оптимальным планом. В точке В целевая функция принимает свое минимальное значение при заданной системе ограничений. Эта точка отвечает минимально возможным затратам на корма при заданной ОДР. При заданной ОДР отсутствует точка максимума для целевой функции Смысл данного факта: затраты на корма при данной ОДР никак не ограничиваются (хотя в реальных случаях такая ситуация невозможна). Таким образом, целевая функция в задаче линейного программирования принимает, при заданной системе ограничений :

минимальное значение-min(f)=f(В)=0,2*2 + 0,3 *2 = 1. (тыс. руб).

максимальное  значение - отсутствует (функция неограниченна  сверху на ОДР). С помощью надстройки ЕХСЕL «Поиск решения" минимум целевой функции, также как и при использовании графического метода. Максимум найти не удается (сообщается, что результат не сходится); в таблице помещено только одно из возможных значений.

 

Ответ: максимального значения - нет (ОДР неограничен сверху);

min( x) = (2; 2); min(f)= 1 (тысяч денежных единиц).

 

 

 

 

 

 

Графическое решение

C - градиент ЦФ ОПР

B(min)

 
 2X₁+X₂ = 6

0,2 X₁ +0,3 X₂ = 0

2X₁+4X₂=12

 

Задача 2

Использовать  аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования

Для изготовления четырех  видов продукции используют три  вида сырья. Запасы сырья, нормы его  расхода и цены реализации единицы, каждого вида продукции приведены в таблице.

 

Тип сырья	Нормы расхода сырья  на одно изделие				Запасы сырья
		А	Б	В		Г
I	1	0	2	1	180
II	0	1	3	2	210
III	4	2	0	4	800
Цена изделия	9	6	4	7

 

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
• проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
• определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья II и III видов на 120 и 
  160 единиц соответственно и уменьшении на 60 единиц запасов сырья I вида;
• оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 12 единиц, на изготовление которого расходуется по две 
  единицы каждого вида сырья.

 

1. Сформулируем целевую функцию:  , которую необходимо максимизировать.

Сформулируем  функциональные ограничения для целевой функции:

≤180

≤210

≤800

х1,2,3,4≥0

С помощью надстройки Excel «Поиск решения» (рис.2.) найдем оптимальный план задачи (значения , и значение функции ).

Рис. 2. Решение с помощью  надстройки Excel « Поиск решения».

Подставим найденный  оптимальный план в систему функциональных ограничений: столбец «F» (рис 2), поскольку второе и третье ограничения содержат знаки равно между правой и левой частью переменные целевой y₁ и y₂ не будут равны нулю, и поскольку первое ограничение содержит знак неравенства, по второй теореме двойственности y₁=0.

2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

Minφ(x)=

 

≥9

≥6

≥4

≥7

≥0

По второй части второй теоремы двойственности, поскольку y₁ и y₂ >0 второе и третье ограничения содержат знаки равно между правой и левой частью, т.е. правомерно решить систему уравнений:

=9,

=6;   y₁=0;  y₂=1,5;  y₃=2,25.

3. y₁ = 0 – это самый не дефицитный ресурс, а y₃ = 2,25 – самый дефицитный.
4. Для анализа воспользуемся свойствами двойственных оценок:

Если увеличить запасы второго сырья на  120 единиц, третьего сырья на 160 единиц, и уменьшении первого сырья на 60 единиц, то выручка  увеличится на 700 единиц, а план выпуска  продукции изменится.

 

Тип сырья	Запасы сырья	Увеличение запасов сырья (Х)	Ресурсы (Y)
1	180	60	0	0
2	210	120	1,5	180
3	800	160	2,25	360
				540
F(x)	2115	+	540	2655

 

Из таблицы видно, что  при увеличении запасов сырья (1-го на -60, 2-го на 120, 3-го на 160) целевая функция  увеличилась на 540 ед.

max f(x) = 120y1+310y2+960y3=2655

 

 

 

Отчет по устойчивости

 

Изменяемые  ячейки
			Результ.	Нормир.	Целевой	Допустимое	Допустимое
	Ячейка	Имя	значение	стоимость	Коэффициент	Увеличение	Уменьшение
	$B$10	x1	75	0	9	0,333333334	9
	$C$10	x2	330	0	6	1E+30	0,166666667
	$D$10	х3	0	-0,500000001	3,999999999	0,500000001	1E+30
	$E$10	х4	0	-5	7,000000001	5	1E+30
Ограничения
			Результ.	Теневая	Ограничение	Допустимое	Допустимое
	Ячейка	Имя	значение	Цена	Правая часть	Увеличение	Уменьшение
	$F$13		75	0	120	1E+30	45
	$F$14		330	1,5	330	150	90
	$F$15		960	2,25	960	180	300

 

Из отчета видно, что  запасы дефицитных ресурсов, 2-го и 3-го видов сырья могут быть, как  уменьшены, так и увеличены. Увеличение запаса