Средние величины

 

 

3. Виды средних величин.

В статистике выделяют несколько видов средних величин:

1. По наличию признака-веса:

а) невзвешенная средняя величина;

б) взвешенная средняя величина.

2. По форме расчета:

а) средняя арифметическая величина;

б) средняя гармоническая величина;

в) средняя геометрическая величина;

г) средняя квадратическая, кубическая и т.д. величины.

3. По охвату совокупности:

а) групповая средняя величина;

б) общая средняя величина.

Средние величины различаются в зависимости от учета признаков, влияющих на осредняемую величину.

Если средняя величина рассчитывается для признака, без учета влияния на него каких-либо других признаков, то такая средняя величина называется средней невзвешенной или простой средней.

Если имеются сведения о влиянии на осредняемый признак некоторого признака или нескольких признаков, которые необходимо учесть при расчете для корректного расчета средней величины, то рассчитывается средняя взвешенная.

 

3.1. Средняя арифметическая

Средняя арифметическая - самый распространенный вид средней. Она используется, когда расчет осуществляется по несгруппированным статистическим данным, где нужно получить среднее слагаемое. Средняя арифметическая - это такое среднее значение признака, при получении которого сохраняется неизменным общий объем признака в совокупности.

 

 Формула средней арифметической (простой) имеет вид:

где n - численность совокупности.

 При расчете средних величин отдельные значения признака, который осредняется, могут повторяться, поэтому расчет средней величины производится по сгруппированным данным. В этом случае речь идет об использовании средней арифметической взвешенной, которая имеет вид:

Можно выделить три основных свойства. Свойство первое (нулевое): сумма положительных отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна сумме отрицательных отклонений. Свойство второе (минимальное): сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем от любого другого числа (а), т.е. есть число минимальное. Свойство третье: средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной:                

при а = const.

Кроме этих трех важнейших свойств средней арифметической существуют расчетные свойства: если индивидуальное значение признака каждой единицы умножить или разделить на постоянное число, то средняя арифметическая увеличится или уменьшится во столько же раз; средняя арифметическая не изменится, если вес (частоту) каждого значения признака разделить на постоянное число; если индивидуальные значения признака каждой единицы уменьшить или увеличить на одну и ту же величину, то средняя арифметическая уменьшится или увеличится на ту же самую величину.

 

3.2. Средняя гармоническая

Средняя гармоническая. Эту среднюю называют обратной средней арифметической, поскольку эта величина используется при k = -1. Простая средняя гармоническая используется тогда, когда веса значений признака одинаковы:

В статистической практике чаще используется гармоническая взвешенная, формула которой имеет вид:

 

3.3. Средняя геометрическая

Среднегеометрическая величина дает возможность сохранять в неизменном виде не сумму, а произведение индивидуальных значений данной величины.

Ее можно определить по следующей формуле:

Среднегеометрические величины наиболее часто используются при анализе темпов роста экономических показателей.

 

Геометрическая простая

Для расчетов средней геометрической простой используется формула:

где:

х i— цепной коэффициент роста

n — число этих коэффициентов роста

П -  знак произведения

m - количество уровней  ряда

 уо - значение начального уровня ряда

 уn- значение конечного уровня ряда

 

Геометрическая взвешенная

Для определения средней геометрической взвешенной применяется формула:

 

Средняя квадратическая и средняя кубическая

В ряде случаев в экономической практике возникает потребность расчета среднего размера признака, выраженного в квадратных или кубических единицах измерения. Тогда применяется средняя квадратическая (например, для вычисления средней величины стороны и квадратных участков, средних диаметров труб, стволов и т.п.) и средняя кубическая (например, при определении средней длины стороны и кубов).

Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин, то средняя будет являться квадратической средней величиной, простой или взвешенной.

 

Средняя квадратическая простая

Простая используется, если каждое значение признака х встречается один раз, в общем имеет вид:

где x² -  квадрат значений осредняемого признака;  n - число единиц совокупности.

 

Средняя квадратическая взвешенная

Средняя квадратическая взвешенная применяется, если каждое значение осредняемого признака х встречается f раз:

где f – вес варианты х.

 

Средняя кубическая простая

Средняя кубическая простая является кубическим корнем из частного от деления суммы кубов отдельных значений признака на их число:

где x³- значения признака, n- их число.

 

 

 

Средняя кубическая взвешенная:

где f-вес варианты х.

Средние квадратическая и кубическая имеют ограниченное применение в практике статистики. Широко пользуется статистика средней квадратической, но не из самих вариантов x, и из их отклонений от средней  при расчете показателей вариации.

 

Структурные средние

К наиболее часто используемым структурным средним относятся статистическая мода и статистическая медиана.

Статистическая мода

Статистическая мода - это наиболее часто повторяющееся значение величины X в статистической совокупности.

Если X задан дискретно, то мода определяется без вычисления как значение признака с наибольшей частотой. В статистической совокупности бывает 2 и более моды, тогда она считается бимодальной (если моды две) или мультимодальной (если мод более двух), и это свидетельствует о неоднородности совокупности.

Например, на предприятии работает 16 человек: 4 из них - со стажем 1 год, 3 человека - со стажем 2 года, 5 - со стажем 3 года и 4 человека - со стажем 4 года. Таким образом, модальный стаж Мо=3 года, поскольку частота этого значения максимальна (f=5).

Если X задан равными интервалами, то сначала определяется модальный интервал как интервал с наибольшей частотой f. Внутри этого интервала находят условное значе ние моды по формуле:

ХНМо – нижняя граница модального интервала;

hМо – размах модального интервала (разность между его верхней и нижней границей);

 fМо – частота модальноого интервала;

 fМо-1 – частота интервала, предшествующего модальному;

 fМо+1 – частота интервала, следующего за модальным.

 

Статистическая медиана

Статистическая медиана – это значение величины X, которое делит упорядоченную по возрастанию или убыванию статистическую совокупность на 2 равных по численности части. В итоге у одной половины значение больше медианы, а у другой - меньше медианы.

Если X задан дискретно, то для определения медианы все значения нумеруются от 0 до N в порядке возрастания, тогда медиана при четном числе N будет лежать посередине между X c номерами 0,5N и (0,5N+1), а при нечетном числе N будет соответствовать значению X с номером 0,5(N+1).

Если X задан в виде равных интервалов, то сначала определяется медианный интервал (интервал, в котором заканчивается одна половина частот f и начинается другая половина), в котором находят условное значение медианы по формуле:

где Ме – медиана;

ХНМе – нижняя граница медианного интервала;

hМе – размах медианного интервала (разность между его верхней и нижней границей);

 fМе – частота медианного интервала;

fМе-1 – сумма частот интервалов, предшествующих медианному.

Заключение

Средние величины — это обобщающие показатели, в которых находят выражения действие общих условий, закономерность изучаемого явления. Статистические средние рассчитываются на основе массовых данных правильно статистически организованного массового наблюдения (сплошного или выборочного). Однако статистическая средняя будет объективна и типична, если она рассчитывается по массовым данным для качественно однородной совокупности (массовых явлений).          Применение средних должно исходить из диалектического понимания категорий общего и индивидуального, массового и единичного.

Средняя отражает то общее, что складывается в каждом отдельном, единичном объекте благодаря этому средняя получает большое значение для выявления закономерностей присущих массовым общественным явлениям и незаметных в единичных явлениях.

Отклонение индивидуального от общего — проявление процесса развития. В отдельных единичных случаях могут быть заложены элементы нового, передового. В этом случае именно конкретных фактор, взятые на фоне средних величин, характеризует процесс развития. Поэтому в средней и отражается характерный, типичный, реальный уровень изучаемых явлений. Характеристики этих уровней и их изменений во времени и в пространстве являются одной из главных задач средних величин. Так, через средние проявляется, например, свойственная предприятиям на определенном этапе экономического развития; изменение благосостояния населения находит свое отражение в средних показателях заработной платы, доходов семьи в целом и по отдельным социальным группам, уровня потребления продуктов, товаров и услуг.

Средний показатель — это значение типичное (обычное, нормальное, сложившееся в целом), но таковым оно является по тому, что формируется в нормальных, естественных условиях существования конкретного массового явления, рассматриваемого в целом. Средняя отображает объективное свойство явления. В действительности часто существует только отклоняющиеся явления, и средняя как явления может и не существовать, хотя понятие типичности явления и заимствуется из действительности.     Средняя величина является отражения значения изучаемого признака и, следовательно, измеряется в той же размеренности что и этот признак. Однако существуют различные способы приближенного определения уровня распределения численности для сравнения сводных признаков, непосредственно не сравнимых между собой, например средняя численность населения по отношению к территории (средняя плотность населения). В зависимости от того, какой именно фактор нужно элиминировать, будет находиться и содержание средней.

Сочетание общих средних с групповыми средними дает возможность ограничить качественно однородные совокупности. Расчленяя массу объектов, составляющих то или иное сложное явления, на внутренне однородные, но качественно различные группы, характеризуя каждую из групп своей средней, можно вскрыть резервы процесс нарождающегося нового качества. Например, распределения населения по доходу позволяет выявить формирование новых социальных групп. В аналитической части мы рассмотрели частный пример использования средней величины. Подводя итог можно сказать, что область применения и использования средних величин в статистике довольно широка. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

1. Гусаров В.М. Теория статистики: Учебное пособие для вузов. – М.: Аудит, ЮНИТИ, 1998. – 247 с

2. Общая теория статистики Учеб. для вузов / В.С. Козло, Я.М. Эрлих и  др. М.: Финансы и статистика, 1985

3. Практикум по статистике: Учебное  пособие для вузов / под редакцией  В.М. Симчеры / ВЗФЭИ. – М.: ЗАО "Финстатинформ", 1999. – 259 с

4. Ряузов Н.Н. Общая теория статистики: Учеб. для вузов. – М.: Финансы  и статистика, 1984

5. Теория статистика: Учеб. для вузов / Под ред. Р.А. Шмойловой. – М.: Финансы  и статистика, 1996