Преобразование Хартли

 

1. Введение.

2. Преобразование Хартли.

2.1. Четная и нечетная составляющие.

2.2. Формулы связи.

2.3. Энергетический и фазовый спектры.

3. Теоремы.

3.1. Соответствие операций.

3.2. Свертка.

4. Дискретное преобразование Хартли.

4.1. Чётная и нечётная составляющие.

4.3. Степени свободы.

4.4. Другие вещественные ядра.

5. Заключение.

 

 

2. Преобразование Хартли.

В определение Хартли для преобразования y (w) в явном виде был включен коэффициент 1/ для получения симметричного выражения. Если опустить этот коэффициент, то оба интеграла одновременно не могут быть корректными. Однако следует признать нецелесообразным сохранение пары таких специфических коэффициентов, особенно при выполнении численных расчетов. Многие авторы отреагировали на подобную ситуацию применительно к преобразованию Фурье рассмотрением функции S(w) вместо S(w).В результате коэффициент 1/ исчезает в определении прямого преобразования Фурье, однако в формуле обратного преобразования Фурье появляется коэффициент 1/2p. Таким образом, эти авторы намеренно жертвуют симметрией формул. Справедливо замечание, что это дополнительная нагрузка для памяти, так как приходится запоминать, какая из формул содержит величину 2p .Один способ запоминания состоит в том, что коэффициент 1/2p стоит перед интегралом, в котором фигурирует дифференциал dw, что означает наличие величины вида w/2p , т. е. циклической частоты f. Отсюда естественно возникает вопрос: почему непосредственно не иметь дело с частотой? Именно к этому выводу в течение многих лет склонялось мнение разных исследователей. Приверженцев использования коэффициента 1/ в настоящее время практически уже нет, тогда как имеется достаточное количество сторонников правомерности записи dw/2p; но общепринятой практикой является применение множителя 2p под знаком экспоненты в интегралах для прямого и обратного преобразований. Данная процедура реализуется автоматически при использовании частоты вместо угловой частоты w. При этом имеем

 

2.1.Четная и нечетная составляющие.

Взаимосвязь преобразований Фурье и Хартли базируется на анализе  свойства симметрии. Для пояснения этого представим в виде четной и нечетной компонент и соответственно. Четная компонента определяется как полусумма функции и ее зеркального изображения, т.е. функции . Нечетная компонента определяется как полуразность этих функций и обладает свойством антисимметрии, а именно . Любая функция может быть представлена однозначно в виде суммы четной и нечетной компонент, и, обратно, при заданных четной и нечетной компонентах однозначно может быть восстановлена исходная функция. Одним из интересных свойств четной и нечетной компонент является равенство суммы их энергий энергии самого процесса.

Для установления связи  преобразования с преобразованием Фурье функции примем следующее определение.

Пусть где и - соответственно четная и нечетная составляющие функции . Тогда

Эти два интеграла известны под названиями соответственно косинус- и синус-преобразование Фурье.

Помня о том, что мнимая часть комплексной величины сама является вещественной, убеждаемся в том, что представляет собой вещественную функцию, как и должно быть при условии, что исходное колебание вещественно. Если бы не было вещественной функцией (в этом случае не могло бы представлять собой напряжение электрического колебания), то , а тем более и также не были бы вещественными. В результате можно резюмировать:

Преобразование  Фурье равно разности четной составляющей преобразования Хартли и нечетной составляющей, умноженной на i; напротив, преобразование Хартли определяется как разность вещественной и мнимой составляющих преобразования Фурье.

 

2.3.Энергетический и фазовый спектры.

Не всегда легко понять характер изменения комплексной функции, имея графики ее вещественной и мнимой частей, однако в оптике и других областях физики более привычным является использование понятия квадрата модуля преобразования, или энергетического спектра:

Энергетический спектр является четной функцией частоты и поэтому более прост для понимания. С другой стороны, энергетический спектр содержит в себе, по крайней мере, половину информации об исходном колебании, так как теряется информация о фазе. Тем не менее, для ряда приложений энергетический спектр может оказаться инструментом исследования, который необходим.

Энергетический спектр можно получить непосредственно  из преобразования Хартли. Имеем

В оптике представляет затруднение  измерение фазы преобразования Фурье, однако в анализе сигналов рассмотрение фазовых функций (фазочастотных характеристик) является привычной процедурой, хотя их понимание и толкование требуют определенной подготовки и опыта. Фазовая функция может быть непосредственно вычислена из выражения

Фаза преобразования Фурье  может быть также непосредственно получена из преобразования Хартли

В объяснении характера  изменения фазы при изменении  частоты оказывается полезным опыт. При интерпретации фазы следует учитывать, что поведение фазы непосредственно связано с амплитудой, причем большие фазовые изменения происходят вблизи нуля амплитуды, и наоборот - незначительные изменения фазы при больших амплитудах.

Имеем следующую формулу для определения фазы преобразования Фурье через преобразование Хартли:

3.Теоремы.

Теоремы преобразований полезны  тем, что они позволяют избежать сложного математического анализа. Владея рядом теорем, можно получить новые преобразования, исходя из традиционных, свести данную задачу к известной и объединить функции в более сложные формы без необходимости все выполнять с самого начала. За счет этого упрощается интегрирование функций, имеющих аналитическое описание.

Численные методы расчетов также оказываются выгодными, когда применяются теоремы, позволяющие перейти к более простым или быстрым операциям. Наконец, это обеспечивает владение необходимым аппаратом логического мышления.

Рассматриваются два класса теорем. Первый из них связан с такими процедурами, как усечение, модуляция, свертка, и другими общепринятыми операциями, которые могут выполняться над функцией. Этот класс теорем дает ответ на вопрос: какой процедуре подвергается (как видоизменяется) преобразование исходной функции? Например, каким образом изменяется преобразование функции, являющейся зеркальным изображением исходной функции? Ответ заключается в следующем: преобразование также изменяется на зеркальное, что может показаться не столько простым, сколько очевидным выводом. Тем не менее, опыт показывает, что подобные знания оказываются полезными, особенно если могут быть применены соображения относительно симметрии, как в данном примере.

Второй класс теорем связан с соотношениями между  функциями и их преобразованиями, что обычно может быть выражено в виде равенств. Например, интеграл от функции в бесконечных пределах равен главному значению ее преобразования. Здесь мы вновь имеем крайне простую теорему, которая, однако, избавляет от необходимости выполнять трудоемкое интегрирование, оказывается полезной при проверке численных расчетов и является сильным инструментом в случае, когда при решении какой-либо задачи возникает вопрос о выборе метода ее решения: аналитического или численного.

Значительная часть сведений об этих теоремах может быть сведена в таблицы, которые неизменны.

 

3.1.Соответствие операций.

Если колебание V(t) имеет преобразование Хартли H (f), то каким будет это преобразование для функции V (t/T), т. е. функции, получающейся из исходного колебания в результате растяжения шкалы времени в Т раз? Непосредственное определение интеграла для положительных Т приводит к выражению

Если Т отрицательно, то для новой переменной = t/T должно быть произведено изменение пределов интегрирования, вследствие чего результат равен - TH(Tf). Чтобы учесть обе возможности (положительных и отрицательных Т), можно сформулировать вывод следующим образом:

Если V(t) имеет преобразование Хартли H (f), то V(t/T) имеет преобразование Хартли вида |T|H(Tf). Для сравнения приведем теорему подобия, или теорему изменения масштаба, применительно к преобразованию Фурье:

Если V(t) имеет преобразование Фурье F(f), то V(t/T) имеет преобразование Фурье вида |T|F(Tf).

 

Благодаря этой очень близкой  аналогии удобно перечислить теоремы  для обоих преобразований так, чтобы  были наглядны и очевидны их различия. Ниже будут опущены выводы для простых соотношений, подобных рассмотренному примеру.

 

3.2.Свертка.

В таблице операции свертки и взаимной корреляции условно обозначены символами «звездочка» (*) и «пентаграмма» ( ). В соответствии с этими обозначениями имеем

V₁(t)* V₂(t)=

V₁(t)

V₂(t)=

Важным свойством теоремы о  свертке является следующее: если одна или обе функции, входящие в формулу свертки, являются либо четными, либо нечетными, то теоремы Хартли и Фурье (т. е. формулы прямых преобразований Хартли и Фурье для свертки) совпадают. Имеем теорему:

Если V₁(t) является четной функцией, то свертка V₁(t) V₂(t) имеет преобразование Хартли вида Н₁(f)Н₂(f).

Если одна из этих функций  является нечетной, то формула упрощается.

Если V₁(t) - нечетная функция, то свертка V₁(t)*V₂(t) имеет преобразование Хартли вида Н₁(f)H₂(-f).

 

4. Дискретное преобразование Хартли.

Хотя мы стремимся рассматривать  время как непрерывную переменную, на практике необходимо использовать дискретную переменную для описания временных рядов, например, когда для вычисления требуется дискретизация этой переменной или в случае накапливания данных на регулярных интервалах. Поэтому введем дискретную переменную τ, которая будет соответствовать времени, но принимать только целочисленные значения от 0 до N - 1. Выбран именно этот интервал, а не [1, N] или [- (N/2) + 1,N/2] в соответствии с общепринятой практикой. Таким образом, прямое дискретное преобразование Фурье (ДПФ) и обратное ему преобразование имеют стандартную форму

Функция f(τ) может быть дискретным представлением исходного непрерывного колебания или функцией переменной, дискретной по своей природе.

 

Дискретное преобразование Хартли (ДПХ) вещественной функции f(τ) и соответствующее обратное преобразование определяются соотношениями

                

где, как и выше, используется обозначение cas θ= cos θ + sin θ, введенное Хартли.

Для получения обратного  ДПХ воспользуемся свойством  ортогональности

Подставляя величину  определяющую преобразование H(v), в выражение   получим

,

что подтверждает справедливость обратного преобразования.

Коэффициент в ДПХ заимствуется из практики использования ДПФ, для которого величина F (0) равна постоянной составляющей функции ; другими словами, ДПХ является симметричной процедурой. Кроме этого, ДПХ является вещественным преобразованием, так как вещественной является функция .

 

 

4.2.Чётная и нечётная составляющие.

Как в случае непрерывного преобразования, ДПХ имеет  чётную и нечетную компоненты

,

однако должны быть высказаны некоторые соображения в отношении определений в силу принятого ограничения диапазона изменения ν от 0 до N - 1. Общепринятый способ учета этого ограничения заключается в присвоении функции вне области ее определения таких значений, чтобы сформировать циклическую (периодическую) функцию с периодом N. Таким образом, для ν = -1 мы присваиваем функции значение H(N - 1), так как ν = -1 и ν = N - 1 разделены периодом длины N. В общем случае будем присваивать функции Н(-ν), где -N ν -1, значения H(N-ν) для которых независимая переменная заключена в основном диапазоне изменения ν. С помощью данной процедуры мы приходим к более простому соотношению между ν и частотой: можно сказать, что ν/N представляет собой не что иное, как частоту в герцах в диапазоне -N/2<ν<N/2. Получим также соотношения для четной и нечетной составляющих, согласующиеся с равенствами, приведенными выше. Таким образом, имеем

4.3.Степени свободы.

Нами были установлены  взаимно однозначные соотношения  между дискретными преобразованиями Фурье и Хартли. При этом возникает вопрос из области теории информации. Как объяснить тот факт, что N вещественных значений ДПХ можно использовать вместо N комплексных значений ДПФ, которые содержат 2N вещественных чисел? Это можно понять, вспомнив о том, что эрмитово свойство ДПФ означает двойную избыточность.  Таким образом, ДПФ имеет только N степеней свободы, несмотря на то, что имеется 2N вещественных коэффициентов. Так как для ДПХ вследствие его симметрии не характерно свойство вырожденности, N его вещественных коэффициентов эквивалентны N комплексным коэффициентам ДПФ.